贵州省黔南州2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试卷（含答案）

黔南州2023—2024学年度第一学期期末质量监测试卷
高二数学
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上．
3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线的横截距为（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知向量，且，，与的夹角为直角，则y的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
3．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明的日影长之和为28.5尺，则谷雨的日影长为（ ）
A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺
4．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知A，B，C三点在直线l上，点O在直线l外，满足，其中，为等差数列中的项，记为数列的前n项和，则（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
6．直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．春天的公园里，花团锦簇，有很多美丽的蝴蝶在花丛中飞来飞去．一只正飞着的小蝴蝶被明明抓住了，他用长为6cm的细绳子把蝴蝶绑在一个封闭的正方体空盒子底面一条棱的中点处（忽略捆绑长度与蝴蝶的身长），若盒子的棱长大于12cm，则蝴蝶的活动范围的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，分别为双曲线C：（）的左、右焦点，点到渐近线的距离为2，过点的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且，则下列说法正确的为（ ）
A．的面积为8 B．双曲线C的离心率为2
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．部分选对得2分，有错项得0分，全部选对得5分．）
9．若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，则下列选项中说法正确的是（ ）
A．的公比为或 B．的第5项是24
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l的倾斜角为，则直线l的斜率为
B．点关于直线的对称点Q的坐标为
C．直线：与直线：互相垂直的充要条件是
D．圆（）与圆可能内含、内切或相交
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成如图2的组合，这个组合再转换成如图3所示的空间几何体．若如图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
图1 图2 图3
A．点到直线CQ的距离是 B．
C．平面ECG与平面的夹角的余弦值为 D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为
12．已知抛物线C：（）的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分．）
13．若数列满足，（），则数列的通项公式为 ．
14．若直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为 ．
15．若椭圆（）的左焦点关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
16．已知底面半径为1，体积为的圆柱，内接于一个高为的圆锥（如图），线段AB为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为 ．
四、解答题（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题10分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形．，E，F分别是AP，BC的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求直线CD与平面CEF所成角的正弦值．
18．（本小题12分）
已知⊙C关于直线对称，且过点和原点O．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）过点的直线l与⊙C交于A、B两点，且，求此时直线l的方程．
19．（本小题12分）
设数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求．
20．（本小题12分）
已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求．
21．（本小题12分）
已知数列满足，且数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
22．（本小题12分）
已知椭圆C：（）的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆C的上顶点，点A，B是椭圆C上两个不同的动点（不在y轴上），直线MA，MB的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．
黔南州2023—2024学年度第一学期期末质量监测试卷
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D A C B A D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）
题号 9 10 11 12
答案 AC BD BCD AD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）
13． 14． 15． 16．
四、解答题（本题共6小题，共计70分）
17．
（1）证明：如图1，取DP的中点G，连接EG，CG，
图1
又E是AP的中点，
所以EG∥AD，且．
因为四边形ABCD是矩形，
所以且BC∥AD，
所以，且EG∥BC．
因为F是BC的中点，所以，
所以且EG∥CF，
所以四边形EFCG是平行四边形，故EF∥CG．
因为平面PCD，平面PCD，所以EF∥平面PCD．
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直，
以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图2所示）．
图2
设，所以．
因为E，F分别为AP，BC的中点，所以，，，，
所以，，．
设平面CEF的一个法向量为，由，即，
令，则，，所以．
又，设直线CD与平面CEF所成角为，
所以，
所以直线CD与平面CEF所成角的正弦值为．
18．解：
（1）设圆C的标准方程为（），
由题意可知：，
解得，，，
可得圆C的标准方程为：．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：，此时，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l：，即为．
因为，所以，
解得，所以直线l：．
综上所述：直线l的方程为或．
19．解：
（1）因为，
所以当时，，
则，即，．
又当时，，则，满足，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）可知，
所以
．
20．解：
（1）由题可知，，解得，
故抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
两式相减，得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，
故直线l的斜率为2．
所以直线l的方程为：．
联立直线与抛物线方程，得，
由韦达定理可得，．
由弦长公式得
．
21．解：
（1）因为，所以，
故是公差为2的等差数列．
在中，令，得，解得，
则．
（2），
故①，
则②，
①－②得
，
故．
22．
（1）解：由题意可得，，，
解得，，
所以椭圆C的方程为：．
（2）证明：由（1）知，，
设，，
所以，．
因为，
所以．①
设直线AB的方程为，与椭圆联立，
消去y，得．
由，得，
所以，．②
因为，，
所以由①，得，
即，③
把②代入③，得，
整理，得，解得，（舍），
所以，即直线AB过定点．