四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（含答案）

西昌市2023-2024学年度上期期末检测
高二数学
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页。全卷满分为150分，考试时间120分钟。
2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域。考试结束后将答题卡收回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出15位同学进行项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.3
3.已知为等比数列，若，则的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
4.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5.若直线与圆相切，则m的值为（ ）
A.21或 B.或1 C.5或 D.或15
6.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（ ）
A.210 B.220 C.230 D.240
7.如图，正方体的棱长为1，P是线段的中点，Q是线段上任意一点，E，F为上的两个动点，且的长为定值，则Q到平面的距离（ ）
A.等于 B.和的长度有关
C.和点Q的位置有关 D.等于
8.已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第二象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量，，满足，则.
B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面.
C.若空间向量，，则.
D.对于任意空间向量，，必有.
10.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的焦点坐标是
B.焦点到准线的距离是4
C.的最小值为8
D.若点P的坐标为，则的最小值为6
11.已知首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A.数列为等比数列 B.数列不是等比数列
C. D.中任意三项不能构成等差数列
12.秋末冬初，人们受冷空气的影响容易遭到各种流行病毒的侵袭，影响到正常的工作以及生活.健康部门认为：某群体若任意连续10天，每天不超过7人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.已知四个学校在过去10天体温高于37.3℃的人数统计数据，能判定该学校没有发生群体性发热的为（ ）
A.甲学校中位数为2，极差为5 B.乙学校平均数为2，众数为2
C.丙学校平均数为2，标准差为 D.丁学校平均数为1，方差大于0
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______.
14.如图，电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率______.
15.已知等差数列的前n项和为，若，，则取得最大值时n的值为______.
16.在中，，，，P为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时，______，此时三棱锥的体积为______.
四、解答题（本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
18.（本题12分）某学校组织全校1000名学生参加了主题为“健康生活，积极运动”的大运会文创大赛，抽取了100名学生的得分进行分析，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生得分不低于80分的人数；
（2）试估计该校学生比赛得分的众数和80%分位数（80%分位数保留小数点后2位）；
（3）若样本中有得分在的学生甲、乙两人，得分在的学生a，b，c三人，从这五人中抽取2人集中学习，请写出抽取的样本空间，并求出这2人得分都在的概率.
19.（本题12分）已知圆，直线.
（1）求证：直线恒过定点.
（2）直线被圆C截得的弦何时最长、何时最短 并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长.
20.（本题12分）已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
21.（本题12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，E点在上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）已知直线与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值.
22.（本题12分）已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆的右顶点为A，若直线与椭圆E相交于M，N两点（异于点A），且满足，求面积的最大值.
2023—2024年度高二上期数学期末测试卷
参考答案
一、单选题：
BCBA DADC
二、多选题：
BD BCD ABD AC
三、填空题：
13. 14. 15.8 16.①. ②.
四、解答题：
17.解：（1）因为点E为的中点，
所以.……5分
（2）因为，
所以
.……10分
18.解：（1）由频率分布直方图可知，
，解得.……2分
该校学生得分不低于80分的人数为：.……4分
（2）众数：75.……6分
因为，所以中位数为：.……8分
（3）样本空间为……10分
2人得分在的情况有，，三种，所以这2人得分都在的概率为…12分
19.解：（1）直线方程变形为：
所以得所以直线过定点.……4分
（2）当直线过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长.……5分
当直线时，直线被圆截得的弦长最短.……7分
直线的斜率为，
由
解得.……9分
此时直线的方程是……10分
圆心到直线的距离为
所以最短弦长是.……12分
20.解：（I）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
由题得，即……2分
解得，，……4分
所以，；……6分
（II）……8分
则
故.……12分
（裂项求和的结果正确2分，等比数列求和正确2分，共4分）
21.解：（1）证明：∵平面，平面，∴，……1分
∵，，，平面，∴平面，……2分
∵平面，∴平面平面.……3分
（2）∵，且，∴，
∵，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，
∴，取中点G，连接，
∴，即
以A为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系.……5分
由（1）可得，平面，
∴为直线与平面所成角，即……7分
设平面的法向量为
∵，
∵，，
∴，令，则，，∴.……9分
∵x轴平面，∴平面的法向量，
设为二面角的平面角，
∴……11分
∵由图可知，为锐角，所以二面角的余弦值为……12分
22.解：（1）由题可得，解得，
所以椭圆的方程为……3分
（2）由（1）知，
设直线的方程为，
设，，
由得，，
因为，所以，即，
所以，即，……4分
所以，，……5分
因为，
所以，即，
所以，
所以，即，解得或（舍），……7分
所以直线的方程为，即直线恒过定点，……8分
……10分
令，，
则，
当时，最大值为.……12分