乐山市高中 2025 届期末教学质量检测
数学参考答案及评分意见
2024.1
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. D 2. C 3. B 4. A
5. D 6. B 7. D 8. C
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
9. ACD 10. BC 11. BCD 12. ACD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3
13. ； 14. x y 4 0；
2
5 6 6 2
15. ； 16. ； .
2 2 2
四、解答题： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 .
17.解：（1） AC1=AB BC+CC1=a b c . ………………2分
∴ AC1 (a b c)
2 (a)2 (b)2 (c)2 2a b 2a c 2b c
1 1 1 1 1 1 6 . ………………4分
（2） AC=AB AD a b . ………………5分
∴ AC (a b)2 (a)2 (b)2 2a b 1 1 1 3 . ………………6分
∴ AC1 AC (a b c)(a b) (a)
2 2a b (b) 2 a c b c
1 2 1 1 1 1 1 1 4 .
2 2 2 ………………8分
cos AC AC = A C 1 A C = 4 = 2 2∴ 1， . ………………10分
AC1 AC 6 3 3
18.解：（1）∵渐近线为 y b x，
a
b
∴ 2即b 2a .
a ………………2分
∵ c2 a2 b2，∴ c 3a . ………………4 分
∴ e 3 . ………………5 分
（2）∵ 2c 6，∴ c 3. ………………6 分
∵ c 3a，∴ a 3 . ………………7 分
∵ MF1 MF2 2a 2 3， ………………8 分
∴ MF 9 3 32 或 .2 2 ………………10分
高二数学答案 第 1页（共 5 页）
{#{QQABBQqAggAgQhBAAAhCAwUaCAGQkAAAAIoOBBAMIAAASAFABAA=}#}
∵ MF2 c a 3 3，
∴ MF 9 32 .2 ………………12分
19.证明：（1）取 PD中点G，连结 AG , EG .
∵ E,G分别是 PC,PD的中点，
∴ EG / / DC且EG 1 DC . ………………2分
2
∵ F 是 AB中点， AB / /CD，
∴ EG / / AF 且 EG AF . ………………4分
∴ AFEG为平行四边形.
∴ EF / / AG . ………………5分
又∵ EF 平面 PAD， AG 平面 PAD，
∴ EF / / 平面 PAD . ………………6分
（2）∵E是 PC中点，
∴点E 1到平面 ABCD的距离为 d PD 1. ………………7分
2
∵ AD 2 , BAD 30 , AF 1 AB 3 ,
2
∴DF 1且 DFA 90 . ………………8分
1 3
∴ S△BDF BF DF . ………………9分2 2
∵ AFEG为平行四边形，
∴ EF AG AD 2 DG 2 5 . ………………10分
1
∵DE PC 2，
2
2
∴DF DE 2 EF 2 ，即 EDF 90 .
S 1∴ △DEF DE DF 1. ………………11分2
∵VB DEF VE BDF ,
1
∴ S 1△DEF d S3 3 △BDF
d .
3
∴点B到平面DEF 的距离 d . ………………12分
2
高二数学答案 第 2页（共 5 页）
{#{QQABBQqAggAgQhBAAAhCAwUaCAGQkAAAAIoOBBAMIAAASAFABAA=}#}
20.解：（1）设 P x, y ，
P 2∵ 在抛物线上，∴ y x . ………………1分
PC 2 x 3 2 y2∴ (x 5 )2 11 . ………………3分
2 4
∴ PC 11的最小值为 . ………………5分
2
（2）显然直线斜率不为零，设直线 AB的方程为 x my t， A x1, y1 、B x2 , y2
y2 x
联立 得 y2 my t 0，
x my t
m2有两个交点故 4t 0 .
∴ y1 y2 m， y1 y2 t . ………………7分
∵ kOA kOB 2，
∴ y1 y2 2x1 x2 . ………………8分
∴ y1 y2 2 my1 t my2 t 2，得 2t t 0，
∴ t 1 - 或 t 0（舍）. ………………10分
2
1
∴直线 AB过定点 (- ，0) . ………………12分
2
21.解：（1）∵ AB 2， AC 2 2， BAC 45 ，
2 2 2
∴ BC AB AC 2AB AC cos45 4 . ………………1分
AB2 2∵ BC AC2 .
∴ BC AB . ………………2分
建立如图所示空间直角坐标系，设 B z1D a， A D1 B1
C 1
则D(a,0,2)，E(1,1,0)，F(0,0,1)，C 1(0, 2,2) . ………………4分
F
∴DE (1 a,1, 2)，C1F (0, 2, 1) . ………………5分
x A B
∴DE C1F 0 E
C
y
∴DE C1F . ………………6分
（注：取 BC中点G，通过DE / / B1G， B1G C1F 也可以证明）
高二数学答案 第 3页（共 5 页）
{#{QQABBQqAggAgQhBAAAhCAwUaCAGQkAAAAIoOBBAMIAAASAFABAA=}#}
（2）∵DE (1 a,1, 2)，CE (1, 1,0)，
设平面DEC的法向量为： n1 (x, y, z)
(1 a)x y 2z 0
∴
x y 0
令 x 2，∴ n1 (2, 2, 2 a) . ………………8分
∵ AB 平面 BB1C1C，
∴平面 BB1C1C的法向量为： n2 (1,0,0) . ………………9分
cos n 1 n 2 2 2 2∴ . ………………11分
| n || n | a2 4a 12 (a 2)21 2 8 2
2
∴当 B1D 2时，平面DEC与平面 BCC1B1所成的二面角的正弦值最小，最小值为 .2
………………12分
22.解：（1 2）设椭圆T的方程为mx ny2 1, m 0,n 0,m n ，
m 02 2 m
1
n 2 1 3
∴ 3 ，解得 . ………………2分m( )2
n 1 2 1 n 1 2 4
y2 x2
则椭圆的标准方程为 1. ………………4 分
4 3
（2）①以线段 AB为直径的圆经过O点,∴OA OB .
当直线OA的斜率不存在时，OA 2，OB 3， AB 7
AB 21
∴ . ………………5分
OA OB 6
当直线OA的斜率存在时，设 lOA : y kx k 0
1
，则 lOB : y x .k
设 A x1, y1 、 B x2 , y2 ，
y kx x2
12
1 3k 22 2 4联立 y x 得 . ………………6分2
14 3 y2
12k
1
3k 2 4
高二数学答案 第 4页（共 5 页）
{#{QQABBQqAggAgQhBAAAhCAwUaCAGQkAAAAIoOBBAMIAAASAFABAA=}#}
x2 12k
2
2
4k 2 3
同理可得 . ………………7分
y2 122 4k 2 3
( AB )2 AB
2 OA2 OB 2 1 1
∵ 2 2 2 2 ，OA OB OA OB OA OB OA2 OB 2
AB 3k 2 2 2( )2 4 4k 3 7k 7 7∴
OA OB 12k 2
12 12k 2
.
12 12k 2 12 12
AB 21
∴ . ………………8分
OA OB 6
②当直线OA斜率不存在时,显然 S△AOB 3 . ………………9 分
当直线OA的斜率存在时，
2
OA2 12k 12
2
OB2 12k 12由①知 2 ， ，3k 4 4k 2 3
2 1 362 2 2
2
k 1
∴ S△AOB OA OB . ………………10 分4 3k 2 4 4k 2 3
令 t k 2 1 1，
S 2 36t
2 36 36
∴ △AOB . ………………11分12t 2 t 1 1 1 12 1 1 （ ）2 492 t t t 2 4
1 0,1 S 2 144 ，3 ∵ ，∴ △AOB ，即 S
12
t 49 △AOB
, 37
.
12
综上，△AOB的面积的范围是 ， 3 . ………………12分 7
S [ 1 , 1（注： △AOB 1 1 ab]）
2
a2 b2
高二数学答案 第 5页（共 5 页）
{#{QQABBQqAggAgQhBAAAhCAwUaCAGQkAAAAIoOBBAMIAAASAFABAA=}#}机密★启用前〔考试时间：2024年1月21日下午3：00一5：00)
乐山市高中2025届期未教学质量检测
数
学
(考试时间：120分钟试卷总分：150分)
注意事项：
1.答题前先符自己的姓名、准考证号，考场号，座住号竦写在诚卷和答题卡上，认真核准准
芳证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位罡，
2.济按题号颁序在答题卡上各颇目的答随区城内作答，写在试卷、苹稿纸和答题卡的非答
题区战均无效·
3.选择题用2卫铅笔在答题卡上把所选答策的标号涂黑；非选择题用黑色签宁笔在答题
卡上作答：学体工整，笔迹清楚·
4.考试结束后·诗将波卷和答题卡-一并交回，
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1.个儿何体，它的轴截面龙是圆面，则这个儿何体是
A.圆柱
B.圆笔
C.圆台
).球
2.已知白线1经过两点P(一1,1)，P(3,一1)，则白线1的斜率是
A
B.2
8-司
13.-2
3.工人师博在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚"的两条线段，看心
们是否相交，就知道它们是否合格·工人师傅运用的数学原理是
A.两条平行直线确定一个平面
B.两条相交直线确定一个平面
C.四点确定一个平面
1).直线及直线外一·点确定一个平
4.己知圆C的圆心在x:轴上且经过A(1·1),乃(2，一2)两点·则圆C的标推方程是
A.(x-3)2-y2=5
B.(x-3)2十y2=17
.(x13)°y2=17
D.x21(y1)2=5
5.如图，正方形1'出'()'是州斜二测画法画出的水平放置的·个平
面四边形ABCD的直观图，若A'D'一1，则四边形ABCD周长为
八.√2
.4
C.2v2
D.8
高二数学第1页（共4页）
6.已知直级五：12x+5y一1=0，直线过点（一5,7），且（∥，则有线与直线2问的距离是
A得
B.2
C.3
n器
7,已知正方体ABC)一A1BCD,棱长为1，点P是正方体表而上一个动点，满足BP⊥A1C,
则点”的轨迹长度为
A.2
B.2w2
C.1
D.32
8.已知点P(x,y)是直线y=2c+3上一动点，PM与PN是圆C:(c一1)+y2=1的两条切
线，M、N为切点，由四边形PcN的最小面积为
八.4
B.2v5
(.2
I.1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是
A.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a,b共线
B.空间的基底有且仅有个
.两两垂肖的三个非零向景可以构成空间的·个基底
D.若{a,b,c}是空间的一个基底，则{a十b,a一b,c}也是竿间的一个某底
10.心知直线t:x一y一4-0，圆C1:(x-3)2+y=9,与回C2:x2+(y一1)2=1.则下列结论正
确的是
A.直线1与圆，的位置关系是相切B.直线1与圆，的位置关系是相离
C.圆C与圆C:的公共弦长是3I而
).圆C上的点到直线1的距离为1的点有3个
11.如图，在正方体1BD一AB,CD,,1B=2,点P为线段A1,上的·动点，则下列结论
正确的地
D
A.DP BD
A
3
B.三校能B,一PBC1的体积为龙值
(.当点P与点A,重合时，平面PB(∥平面1(D,
D,当A方-Pi时，直线PG,与平可B,CC所成角的正切催为2
高二数学第2页（共4页）
