怀仁市2023——2024学年度上学期高三
第二次教学质量调研试题
数 学
注意事项：
1. 考试时间120分钟，满分150分.
2. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将
自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
4. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
5. 考试结束后，将答题卡交回。
第 I 卷
一 . 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1. 已知集合，集合，若，则的取值范围为
A. B. C. D.
2.是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若,则
A. B. C. D.
4. 将4个1和2个0随机排成一个六位数，则2个0不相邻的六位数的概率为
A. B. C. D.
5. 龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台. 现有一龙洗盆高, 盆口直径,盆底直径。现往盆内倒入水，当水深时，盆内水的体积近似为
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的上、下焦点分别为,过的直线与双曲线的上支交于两点，若 成等差数列，且,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
7. 已知函数的图像如图所示，是直线与曲线的两个交点，且则的值为
A. B. -1 C. D.
8. 已知定义在上的奇函数满足, 且当时，, 则 不等式在上的解集为
A. B. C. D.
二. 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1,2,3,4分别为2023年中国乡 村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是
A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19～50岁之间的男性占比超过
B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%
C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30. 6%
D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元(同一花费区间内的数据用其中间值作代表)
10. 等差数列的前项和记为, 若，则错误的是
A. B. 的最大值是
C. D. 当时，最大值为32
11. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的任意两点，则正确的是
A. 若，则
B. 若直线的方程为则
C. 若, 则直线恒过定点
D. 若直线过点, 过两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点, 则点在直线上
12. 在三棱锥中，,为内的一个动点(包括边界), 与平面所成的角为,则
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 有且仅有一个点,使得
D. 所有满足条件的线段形成的曲面面积为
第Ⅱ卷
三 . 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知平面向量, 若与共线，则
14. 若的展开式中所有系数绝对值之和为81,则其常数项为
15. 意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”,那么是斐波拉契数列中的第 项.
16. 已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数, 都有,当时，。若,则实数的取值范围是
四. 解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)设数列的前项和为。,已知
（1）求的通项公式：
（2），求数列的前项和。
18. (本小题满分12分)记△的内角所对的边分别为已知
（1）若，求角;
（2）若，求△的周长.
19. (本小题满分12分)如图，已知圆的直径长为2,上半圆圆弧上有一点,,点是弧上的动点，点是下半圆弧的中点，现以为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接
（1）当//平面时，求的长；
（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值.
20. (本小题满分12分) 已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行. 其规则为：每 一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛(第一场在甲队主场比赛),若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军. 已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，且场比赛的胜负均相互独立.
（1）当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
（2）若主办方在决赛的前两场中共投资(千万元),则能在这两场比赛中共盈利(千万元). 如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资 (千万元),则能在该场比赛中盈利(千万元). 若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元
21. (本小题满分12分)已知函数
（1）证明：有唯一的极值点；
（2）若,求的取值范围.
22. (本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为, 是椭圆上不同的两点，且点在轴上方,,直线交于点. 已知当轴时， .
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点在以为焦点的定椭圆上.怀仁市 2023~2024学年度上学期高三第二次教学质量调研数学答案
一.选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D D B C D A
二．选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分。
9 10 11 12
BC AD BCD ACD
三．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分
3 2
13. 14. 8 15. 2024 16.
2
,0
3
四．简答题：本大题共 6小题，共 70分，其中第 17题 10分，其它每题 12分，解答
应写出文字说明 证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）【详解】(1)由 2Sn 3an 1,得2Sn 1 3an 1 1（, n 2）
两式相减得 an 3an 1，（n 2）,又令 n 1，得a1 1，所以 an 是以 1为首项，3为公比的等比
. a 3n 1数列 所以 n （n N
）............................................................................3分
n 3n 1n为奇数
（2 ）由（1）得bn ， n 3n 1 ,n为偶数
记数列 bn 的前 2n项中的奇数项单的和为 S ，偶数项的和为奇数项 S偶数项
n
S （1 3 5 2n 1） (30 32 34 32n 2 2 9 1则 奇数项 ) n ..........5分8
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
S 2 31 4 33 6 35 （2 n 1） 32n 3 2n 32n 1 ...........偶数项 ①
则9S偶数项 2 3
3 4 35 6 37 （2 n 1） 32n 1 2n 32n 1 ........②
8S 2 31 33 35 37 32n 1 2n 32n 1 2 3（ 1 9
n）
①-② 2n 1得： 偶数项 （ ） 2n 3 ,1 9
S （24n 3） 3
2n 3
所以 偶数项 ................................................................................................9分32
9nT n 2 1 (24n 3) 3
2n 3 2nn 2 (24n 1) 3 1所以 2n ........................10分8 32 32
18. (本小题满分 12分)（本小题满分 12分）【详解】（1）由 csin A B bsin C A 得：
c sinAcosB cosAsinB b sinCcosA cosCsinA ,
由正弦定理得：
cacosB bccosA bccosA abcosC ,
则cacosB abcosC 2bccosA ,
c2 a2 b2 a2 b2 2 2 2ca ab c 2bc b c a
2
由余弦定理得：即 ，
2ca 2ab 2bc
化简并整理得b2 c2 2a2，
2 2 2 π
又 a2 bc，则 cosA b c a 1 , 所以 A ...............................................................8分
2bc 2 3
（2）由题意有 a 2,cosA
4
，
5
由（1）得b2 c2 2a2 8 ,
2 2 2 2
cosA b c a a 4所以 ,
2bc 2bc 5
所以 2bc 5，
由b2 c2 (b c)2 2bc 8，
所以 (b c)2 13,b c 13，
则 ABC的周长为C ABC a b c 13 2 ..............................................................12分
3
19．（本小题满分 12分）【答案】（1） PC 1；（2）.
3
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得 AB//PC，然后根据角度证得三角形为正三角形，从
而求得结论.
（2）根据二面角为直二面角，证得 DO 平面COP，由等体积法证得当CO OP时，三棱锥
P COD体积最大，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量数量积的运算求得二面
角的余弦值.
而VP COD VD COP，【详解】解：（1）∵ AB//平面 PCD， AB 平面O CP ，平面OCP 平
面 PCD PC，
∴由线面平行的性质定理得 AB//PC .又 COB 60 ，可得 OCP 60 .
而OC CP，△OCP为正角形，所以 PC 1 ................................................................5分
（2）∵二面角为直二面角，DO AB，所以DO 平面COP，
∴当CO OP时，三棱锥 P COD体积最大..................................................................6分
方法一：因为OP，OD，OC两两垂直，
所以OP，OD，OC分别为 x， y， z轴建空间直角坐标系，
P(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1),PC ( 1,0,1),DP (1, 1,0)
P C n1 0令平面DPC的法向量为 n1 (x, y, z), DP n
，
1 0
x z 0
n ，取 1 = (1,1,1) ..............................................................................................8分
x y 0
又取平面 PCO的法向量为 n2 (0,1,0) ...........................................................................10分
n
1
n2 3
设二面角D PC O的平面角为 ， cos ；..................................12分
n1 n 32
方法二：取 PC的中点H ，连接OH ，DH .因为OC OP，DC DP，
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
所以OH ，DH 都与 PC垂直，即 OHD为所求二面角的平面角.
Rt OPC OH 2在 中可得 ，
2
2
在Rt OHD中，DH 12 2 6 ，
2 2
2
所以 cos
3
OHD 2
6 3
2
所以：二面角D PC O 3的余弦值的为 .
3
【点睛】本题主要考查线面角的性质的应用及二面角的求法，意在考查学生的数学抽象的学科素养
及数学运算的学科素养，属中档题.
6
20. （本小题满分 12分）【答案】（1）
11
（2）主办方在决赛的前两场的投资额应为0.75千万元，即750万元.
【解析】
【分析】（1）根据条件概率的知识求得正确答案.
（2）先其的总盈利的分布列，然后计算出对应的数学期望，利用换元法，结合二次函数的性质求
得正确答案.
【详解】（1）记“甲队获得冠军”为事件A，“决赛进行三场比赛”为事件 B，
由题可知 P(AB) (
1 2 + 1 1) 2 1 = ，
2 3 2 3 5 5
P(A) (1 2 + 1 1 ) 2 + 1 1 = 11 ，
2 3 2 3 5 2 3 30
∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为
P ABP B A 6 ...................................................................................................5分P A 11
（2）设主办方在决赛前两场中共投资 x（千万元）， 其中0 x 1，
若需进行第三场比赛，则还可投资1 x（千万元），
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
x x记随机变量 为决赛的总盈利，则 可以取 ， 1 x，
2 2
P( x) 1 1+ 1 2= 1 P( x 1 x ) 1 2+ 1 1 1∴ ， ，
2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2
∴随机变量 的分布列为
x x 1 x
2 2
P 1 12 2
1 x 1 x
∴ 的数学期望 E ( ) + ( 1 x ) = 1 ( x 1 x ) ，
2 2 2 2 2
t 1 x (0 t 1) E( ) t
2 t 1 1 1 5
令 ，则 (t ) 2 ，
2 2 2 8
1 3
∴当 t ，即 x 时， E( )取得最大值，
2 4
∴主办方在决赛的前两场的投资额应为 0.75千万元，即750万元...........................12分
1
21.（本小题满分 12分）【答案】（1）略（2）a
2
【详解】（1）证明： f x 2 2x ln x x 2ax x 2ln x 2 2 1 2a
，x x
设 g x 2ln x 2 1 2a 2 4 2 ，则 g x 3 0，x x x
所以 g x 在 0, 上单调递增，
2a 1 2a 1
又 g e 2 2ln e 2 1 2a 0 ，
1 2a 1 2a
取 x 1，且 x e 21 1 ，且 g x1 2ln x1 2 1 2a 2ln e 2 1 2a 0，
2a 1
所以存在唯一 x0 e 2 , x1 ，使得 g x0 0，
当 x 0, x0 时， g x 0， f x 单调递减，
当 x x0 , 时， g x 0， f x 单调递增，
当 x x0时， f x 取得极小值，所以 f x 有唯一极值点；...........................................6分
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
2 x2
（2）解：由（1）可知， g x0 2ln x0 2 1 2a 0 2 2，即 ax 0x 0 1 x0 ln x0 ，0 2
2 2 1
依题意， f x0 x0 ln x0 2ln x0 ax0 0，2
x2ax2 1 0 x2 ln x x
2 1
将 0 0 0 代入整理可得， 2ln x0 0 0，2 2 2
2
设 h x 2ln x x 1 ，则 h x 2 x 0，
2 2 x
所以 h x 单调递减，又 h 1 0，所以 h x0 h 1 ，故 x0 1，
所以 g x0 0 g 1 2a 1，解得 a
1
，
2
a a 1所以 的取值范围是 ..................................................................................................12分
2
1 e2
2 2 1
a b
22.（本小题满分 12分）【解析】（1）由题知，c 1，点 1,e 在椭圆 C上，则 a2 b2 c2 ，解
e c
a
得 a2 2， b2 1
x2
所以椭圆 C的方程为 y2 1；........................................................................................3分
2
（2）证明：∵ F1A F2B 0 ，且点 A在 x轴上方
∴设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ， y1 0， y2 0，设直线 F1A的方程为my x 1，则直线 F2B的方程为
my x 1，
x2
1 y2 1 2 22
由 2 1 ，得 m 2 y21 2my 1 0 m 2 m 1，∴ m 2 m 1 1 y 或1 2 y 0（舍），
my x 1 m 2
1 m2 2
1 1
m m2 1 2 m2 1
∴ AF1 x
2 2
1 1 y1 m2 1y1 m2 2
2 m2 1 m m2 1 2 2 m2 1 2
同理 ，所以 AF BF , AF BF m 1BF2 ，m2 2 1 2 m2 2 1 2 m2 2
PB BF
F A F B 0 2由 1 2 ，得 PF1 AF1
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
PF1 PB PF1 PB BF
∴
1
AF1 BF2 AF1 BF2 AF1 BF2
AF1
∴ PF1 BFAF1 BF
1
2
又点 B在椭圆 C上，∴ BF1 BF2 2a 2 2，则 BF1 2 2 BF2
AF
∴ PF 11 2 2 BFAF1 BF 2 2
BF2 BF2
同理： PF2 AF2 ，所以 PF2 2 2 AFAF1 BF2 AF1 BF 1 2
m22 12 AF BF 2
∴ PF1 PF
3 2
2 2 2
1 2 2 2 m 2
AF1 BF 22 2 2 m 1 2
m2 2
FF 3 2又 1 2 2， 2
2
∴ PF1 PF2 F1F2
∴点 P在以F1，F2为焦点的定椭圆上................................................................................12分
{#{QQABDQIAggiAQhBAAQhCAwFKCAKQkAEAAAoORAAIMAAAyQFABAA=}#}
