张家界市 2023 年普通高中二年级第一学期期末联考
数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B C D C D A
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 ACD ABD AB ABC
三、填空题：
13．2 14． y2 2x 15． , 1 16 4 25． ； 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）由题设 f (x) 3x2 2ax， ......................................................................1分
则 f ( 1) 3 2a 5 a 1； ........................................................................................2分
f (x) x3 x2， f (x) 3x2 2x，则 f (1) 0， f (1) 1，
所以点 (1, f (1))处的切线方程为 y x 1，即 x y 1 0；............................................5分
（2）由（1） f (x) x(3x 2)， ..............................................................................7分
由 f (x) 0
2 2
，有 x 0或 x ，由 f (x) 0，有 0 x ，
3 3
2
故在区间 ( , 0)， ( , ) f (x) (0,
2 )
3 上 单调递增，在 上单调递减， ................8分3
所以 f (x) f (
2) (2)3 (2)2 4的极小值为 f (0) 03 3 3 27 ，极大值为 . .....................10分
18. 解：（1）圆C可化为 (x 1)2 (y 2)2 4 ， ........................................................2分
则圆心为C 1,2 ，半径为 2； ..........................................6分
（2）设与直线 l : 3x 4y 12 0垂直的直线的方程为 4x 3y a 0 ...........8分
已求出圆C的圆心坐标为 1,2 ，
又因为直线 l经过圆心，所以 4 1 3 2 a 0，即 a 10， .................10分
张家界市 2023年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 1 页（共 5页）
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故所求直线方程为 4x 3y 10 0 ..............................................................12分
19．（1）解：因为数列 an 是等比数列，设公比为q， S2 6，且 4a2 ，2a3，a4成等
a1 a1q 6
差数列，所以 4a q a q3 4a q2 ， ..............................................................2分 1 1 1
解得 a1 2,q 2， .................................................................................4分
a 2 2n 1 2n所以 n ； .................................................................................6分
2 a 2n（ ）把 n 代入bn an log2 an，化简得，b n 2 nn ...................................7分
则Tn 1 2 2 2
2 3 23 (n 1) 2n 1 n 2n ①
由 ① 2得
2 Tn 1 2
2 2 23 3 24 (n 1) 2 n n 2 n 1 ② .................................9分
① ② 2 3 n 1 n n 1由 得 Tn 2 2 2 2 2 n 2 ；
T 2 2
n 1
化简得 n 1n n 21 2
解得 Tn (n 1) 2
n 1 2 .......................................................................12分
20．（1）证明：连接 EM ，因为 AB//CD， PQ //CD，所以 AB//PQ，
又 PQ AB，所以 PABQ为平行四边形， .....................................................2分
因为点 E，M分别为 AP，BQ的中点，所以 EM / /AB,EM AB，
因为 AB / /CD,CD 2AB， F 为CD的中点，所以CF / /AB,CF AB，
则EM / /CF ,EM CF，
所以四边形EFCM 为平行四边形，
则EF / /MC， .......................................................................4分
又因为EF 面CPM ，MC 面CPM ，
所以 EF //平面CPM . ......................................................................................6分
（2）解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则
D 0,0,0 ,Q 0,1,2 ,P 0,0,2 , A 2,0,0 ,B 2,1,0 ,M 1,1,1 ,C 0,2,0 ，
PM 1,1, 1 ,PQ 0,1,0 ,CM 1, 1,1 ,CP 0, 2,2 ， ..................................8分
张家界市 2023年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 2 页（共 5页）
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设平面 ABQP的法向量为 n1 x1, y1, z1 ，
n1 PM x1 y1 z1 0
则 ，令 z1 1，则 x1 1，即 n1 1,0,1 ，
n1 PQ y1 0
设平面CPM 的法向量为 n2 x2 , y2 ,z2 ，
n 2
PM x2 y2 z2 0
则 ，令 z2 1，则 y2 1, x2 0，
n2 CP 2y2 2z2 0
即 n2 0,1,1 ， ..........................................................................................10分
设平面 ABQP与平面CPM 所成夹角为 ，
则 cos
n 1 n 2 1 1 ， ...............................................................11分
n1 n2 2 2 2
所以平面 ABQP与平面CPM 所成夹角为 60 ...............................................12分
1
21．（1 c 3）解：依题意可得 e ， PF1F2 的面积是 2c b bc 3，
a 2 2
2
解得 a 2，b 1 x， c 3， 所以椭圆方程为 y2 1 ...................5分
4
2 2 4
（2）存在，其定圆的方程是 x y . ..............................................6分
5
设原点 O到直线 l的距离为 d，
当直线 l斜率不存在时，直线 l的方程为 x n，
n2
4
4n2 4 n2 d 2 5所以 ， ，此时 ， ..................................................7分5 5
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y kx m， A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
m
所以 d，
12 k 2
2 2 2
整理得m d k 1 ， .........................................................................................8分
张家界市 2023年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 3 页（共 5页）
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x2
y2 1
由 4 ，可得 4k 2 1 x2 8kmx 4m2 4 0，
y kx m
8km 2 4 4k 2 1 4m2 4 16 4k 2 m2 1 0，
x 8km 4m
2 4
1 x2 2 ， x1x2 ， ....................................................................9分4k 1 4k 2 1
y y kx m kx m k 21 2 1 2 x1x2 km x1 x2 m 2
4m2k 2 4 8km m
2 4k 2
2 km m
2
4k 1 4k 2 1 4k 2 1
2 2 2
OA OB x x y y 4m 4 m 4k 5m
2 4k 2 4
1 2 1 2 0 ....................10分4k 2 1 4k 2 1 4k 2 1
5m2 4k 2 4 0 5d 2 ， 1 k 2 4k 2 4 0，恒成立，
2 2
即 5d 4 k 1 0恒成立 ，
所以5d 2 4 0 2 5 ，所以 d ，
5
2 2 4
所以定圆的方程是 x y ； ..............................................................................11分
5
综上，当OA OB 0时，存在定圆始终与直线 l相切，
2
其方程是 x y2 4 . ...................................................................................12分
5
22．（1）解：由 g(x) ax ln x， x 0， a R.
求导可得 g (x) a 1 ， ..........................................................................................1分
x
当 a 0时， g (x)
1
a 0，此时，函数 g(x)在 (0, )上单调递增； ...........2分
x
当 a 0时，令 g (x) 0 x
1
，解得 ；
a
1 1
若 g (x) 0，解得0 x ， g(x)在 (0, )上单调递增；
a a
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g (x) 0 x 1若 ，解得 ， g(x)
1
在 ( , )上单调递减； ..........................4分
a a
综上，当 a 0时，函数 g(x)在（0，+∞）上单调递增；
1 1
当 a 0时，g(x)在 (0, )上单调递增，在 ( , )上单调递减。.....................5分
a a
x
（2）令 h x ex ax ln x 1 0 a e ln x 1，分离参数得 ，
x
x
令H x e ln x 1 ，其中 x 0， .................................................................................7分
x
ex 1 x ex ln x 1 则 x x 1 e
x ln x
H x ， ...................................................8分 2 x x2
= ( )
当0 x 1时， x 1 ex 0， ln x 0，H x 0；
当 x 1时， x 1 ex 0， ln x 0，H x 0，
函数H x 的减区间为 0,1 ，增区间为 1, ，
所以当 x 1时，H x 取得最小值
H 1 e 1， .............................................................................................................10分
由图可知，当 a e 1时，直线 y a与函数H x 的图象有交点，
故实数 a的取值范围是 e 1, . .........................................................................12分
注：如有其他解法，请酌情计分。
张家界市 2023年普通高中二年级第一学期期末联考数学试题卷 第 5 页（共 5页）
{#{QQABDQKAggAgQgAAAQhCEwHKCgCQkAEAAIoOAAAIMAAACAFABAA=}#}张家界市2023年普通高中二年级第一学期期末联考
数学试题卷
命题人：黄赐斌 朱银坪 审题人：谭俊凭
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．35是等差数列3，5，7，9，…的（ ）
A．第16项 B．第17项 C．第18项 D．第19项
2．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的焦点到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C． D．4
4．已知向量若与、共面，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（ ）
A．－2 B．0 C．4 D．0或4
6．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；......，依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（ ）
A．“徵 商 羽”的频率成等比数列 B．“宫 徵 商”的频率成等比数列
C．“宫 商 角”的频率成等比数列 D．“商 羽 角”的频率成等比数列
7．设，为椭圆与双曲线 的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知直线l：，则（ ）
A．直线l过点 B．直线l的斜率为
C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1
10．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是等差数列
C. 当时， D. 当或4时，取得最大值
11．如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则（ ）
A．
B．⊥平面
C．异面直线与所成角的大小为45°
D．平面到平面的距离等于
12．已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则
C．若的斜率的范围为，则的斜率的范围为
D．存在直线：，使得弦的中点坐标为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且，则实数 .
14．已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 ．
15．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
16．记R上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数 ，数列 为牛顿数列，设 已知，，则 ，数列的前项和为，若不等式 ≤对任意的恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知函数，且.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
18．（12分）
已知直线：和圆：.
（1）求圆C的圆心坐标和半径；
（2）求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程.
19．（12分）
已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
20．（12分）
如图，平面，，，，，，点E，F，M分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小.
21. （12分）
在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，点P为椭圆短轴的一个端点，的面积是.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆，使得动直线l始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知函数，，R.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若存在零点，求实数的取值范围．
