{#{QQABZQKEggiAQBIAAAgCAwFaCACQkACAAKoOxBAIMAAASQFABAA=}#}
{#{QQABZQKEggiAQBIAAAgCAwFaCACQkACAAKoOxBAIMAAASQFABAA=}#}唐山市 2023～2024 学年度高二年级第一学期期末考试
数学参考答案
一．选择题：
1－4 ACDC 5－8 BDCB
二．选择题：
9．AC 10．ACD 11．AD 12．ABC
三．填空题：
1
13． 14．－6
2
15．x－y－1＝0(或 x＋y＋1＝0；x－y＋3＝0；x＋y－3＝0)
16．2，(－2，5) (第一空 2 分，第二空 3 分)
四．解答题：
17．解：
（1）圆 C：(x－2)2＋y2＝2，圆心 C(2，0)，半径 r＝ 2， …2 分
|6＋0－1|
圆心到直线的距离 d＝ ＝1， …4 分
5
所以点 P 到直线 l 的最大距离为 2＋1． …6 分
|AB| |AB|
（2）r2＝d2＋( )2，即( 2)2＝1＋( )2， …8 分
2 2
解得|AB|＝2． …10 分
18．解：
（1）因为 a3＝2a2＋3，a1＝1
所以 q2＝2q＋3， …2 分
q＝3 或－1，又因为 q＞0，所以 q＝3 …4 分
－1
所以 an＝3n ． …6 分
－1
（2）an＋n＝3n ＋n，
－1
则 T ＝30n ＋1＋31＋2＋32＋3＋…＋3n ＋n …8 分
－1
＝(30＋31＋32＋…＋3n )＋(1＋2＋3＋…＋n) …10 分
1－3n n(n＋1) 3n－1 n2＋n
＝ ＋ ＝ ＋ ． …12 分
1－3 2 2 2
19．解： z
（1）证明：如图，取 PC 的中点 F，连结 EF，DF． P
因为 E 为 PB 的中点，
1 E F
所以 EF∥BC，EF＝ BC． …2 分 O D
2 A y
1 B
因为 AD∥BC，AD＝ BC， G C
2 x
高二数学 第 1 页 共 4 页
{#{QQABZQKEggiAQBIAAAgCAwFaCACQkACAAKoOxBAIMAAASQFABAA=}#}
所以 EF∥AD，EF＝AD． …3 分
所以四边形 AEFD 是平行四边形，所以 AE∥DF，
又因为 AE 平面 PDC，DF 平面 PDC，
所以 AE∥平面 PDC． …5 分
（2）取 AD 的中点 O，BC 的中点 G，连结 PO，OG，则 OG⊥AD，
因为△PAD 为等边三角形，所以 PO⊥AD，
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
所以 PO⊥平面 ABCD，OG 平面 ABCD，
所以 PO⊥OG． …7 分
如图，以 OG，OD，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，
PO＝ 3，则 P(0，0， 3)，A(0，－1，0)，B( 3，－2，0)，C( 3，2，0)，
→ → →
PC＝( 3，2，－ 3)，AP＝(0，1， 3)，AB＝( 3，－1，0)， …8 分
设平面 PAB 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
→AP ·n＝0， y＋ 3z＝0，
由 得 令 x＝1，则 n＝(1， 3，－1) …10 分
→ 3x－y＝0， AB ·n＝0，
设直线 PC 与平面 PAB 所成角为 θ，则
→ |
→
PC·n| 3＋2 3＋ 3 2 6
sin θ＝|cos PC，n |＝ ＝ ＝ ．
|→PC||n| 10× 5
5
2 6
所以直线 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值为 ． …12 分
5
20．解：
（1）a3＝9，a4＝16． …2 分
（2）因为 an＋2－2an＋1＋an＝2，所以 (an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2， …4 分
又因为 a2－a1＝4－1＝3
所以数列{an＋1－an}是以 3 为首项，2 为公差的等差数列． …6 分
（3）由（2）可得 an＋1－an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， …8 分
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) (n≥2) …9 分
＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)
n(1＋2n－1)
＝
2
＝n2，
当 n＝1 时，a 2 1＝1 满足上式，所以 an＝n ． …10 分
1 1 1
bn＝ ＝ 2 ＝ (
1 1
－ )， …11 分
an＋2n n ＋2n 2 n n＋2
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
1 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 1 1 ＝ 1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ ( － )
2 3 2 2 4 2 3 5 2 n n＋2
高二数学 第 2 页 共 4 页
{#{QQABZQKEggiAQBIAAAgCAwFaCACQkACAAKoOxBAIMAAASQFABAA=}#}
1 1 1 1
＝ (1＋ － － )
2 2 n＋1 n＋2
3 1 1
＝ － － ． …12 分
4 2n＋2 2n＋4
21．解：
（1）证明：
因为 AB⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1＝A，所以 AB⊥平面 A1ACC1， …2 分
又因为 AC 平面 A1ACC1，所以 AB⊥AC． …4 分
（2）如图，以 AA1，AB，AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
A-xyz，D(2，0，1)，O(1，1，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，
→ z
DO＝(－ →1，1，－1)，CB＝(0，2，－2)， …6 分 C
由→CE＝ →λCB（0＜λ＜1）， C E 1
得 E(0，2λ，2－2λ)， …7 分
得→DE＝(－2，2λ，1－2λ)， D A B
设平面 DEO 的法向量为 m＝(x，y，z)． y
O m·→DE＝0， －2x＋2λy＋(1－2λ)z＝0， A1 B1
由 得 x
→ －x＋y－z＝0， m·DO＝0，
取 m＝(－1，2λ－3，2λ－2)， …9 分
取平面 A1ACC1的一个法向量为 n＝(0，1，0)． …10 分
设面 ODE 与面 A1ACC1 夹角为 θ，则
|m·n| 3－2λ 6
cosθ＝|cos m，n |＝ ＝ ＝ ， …11 分
|m||n| 8λ2－20λ＋14 3
1
即 4λ2－4λ＋1＝0，解得 λ＝ ． …12 分
2
22．解：
（1）已知长轴长为 4，则 2a＝4，解得 a＝2， …1 分
3
因为 Γ的离心率为 ，
2
c 3
所以 ＝ ，解得 c＝ 3， …2 分
a 2
所以 b2＝a2－c2＝1， …3 分
x2
所以 Γ的方程为 ＋y2＝1． …4 分
4
（2）A(－2，0)，B(2，0)，D(－1，0)，
S1 |AD| 1
①当 l 斜率不存在时，易知 ＝ ＝ ， …5 分
S2 |BD| 3
②当 l 斜率存在时，显然斜率不为零，
设 l：x＝ty－1(t≠0)，M(x1，y1)(y1＞0)，N(x2，y2)(y2＜0)，
高二数学 第 3 页 共 4 页
{#{QQABZQKEggiAQBIAAAgCAwFaCACQkACAAKoOxBAIMAAASQFABAA=}#}
x＝ty－1
联立 x2 ，得(t2＋4)y2－2ty－3＝0， …6 分 ＋y2＝1 4
显然 Δ＞0，
2t 3
所以 y1＋y2＝ ，y1y2＝－ ， …7 分
t2＋4 t2＋4
1 1
|AD||y | (－y )
S1 2
2 2 2 1 y2
＝ ＝ ＝－ · ， …8 分
S2 1 3 3 y1
|BD||y
2 1
| y
2 1
4t2
(y ＋y )2 (t2＋4)2 4t21 2 4 1 4
因为 ＝－ ＝－
y y 3 3(t2
＝－ · ＞－ ，
1 2 ＋4) 3 4 3
1＋
t2＋4 t2
4 (y 21＋y2)
所以－ ＜ ＜0，
3 y1y2
(y 2
2 2
1＋y2) y1＋y2＋2y1y2 y1 y2
又 ＝ ＝ ＋ ＋2，
y1y2 y1y2 y2 y1
y2 4 1
设 ＝k，则 k＜0，－ ＜k＋ ＋2＜0，
y1 3 k
1
解得－3＜k＜－ 且 k≠－1， …10 分
3
S1 1 y2 1 1 1
所以 ＝－ · ∈( ， )∪( ，1)，
S2 3 y1 9 3 3
S1 1
因为当 l 斜率不存在时， ＝ ，
S2 3
S1 ( 1 所以 的取值范围为 ，1)． …12 分
S2 9
高二数学 第 4 页 共 4 页
{#{QQABZQKEggiAQBIAAAgCAwFaCACQkACAAKoOxBAIMAAASQFABAA=}#}
