湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题（含解析）

湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，第二册至5.2
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（ ）
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.在数列中，已知，，若，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.在三棱锥中，M为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
6.若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C相交于A，B两点，若的面积是面积的3倍，则（ ）
A. B. C.或 D.或
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A.的公差为1 B.的公差为2 C. D.
10.下列结论正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段上的一个动点，则（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点G，使得平面平面
C.当时，直线与所成角的余弦值为
D.当G为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
12.已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点是点在坐标平面内的射影，则__________.
14.已知是函数的导函数，且，则__________.
15.若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为__________.
16.在数列中，，，其中e是自然对数的底数，令，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知数列满足，且对于任意m，，都有.
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18.（12分）
已知四边形的三个顶点，，.
（1）求过A，B，C三点的圆的方程.
（2）设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积.若四边形为平行四边形，求直线l的方程.
19.（12分）
已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直.
（1）求a，b的值；
（2）求经过点且与曲线相切的切线方程.
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值.
21.（12分）
已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）在中，对每个正整数k，在和之间插入k个，得到一个新数列，设是数列的前n项和，比较与20000的大小关系.
22.（12分）
已知椭圆与双曲线的焦距之比为.
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：.
湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试
数学参考答案
1.A 在这段时间里，该物体的平均速度为.
2.D 由题可知l的斜率为，则l的倾斜角为.
3.C 因为，所以，，则是递减数列.
，，，故.
4.B 连接（图略）..
5.A 设，，则，则.因为线段中点的坐标为，所以，解得.
6.D 若，则.若，则.若，，交于一点，联立方程组解得代入，解得，故a的取值集合为.
7.B 由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.设最小的正三角形的边长为米，则，则，得，故最小的正三角形的边长为米.
8.B 设到直线的距离为，到直线的距离为，则，.因为的面积是面积的3倍，所以，即，解得或.联立方程组整理得，由C与l相交，得，得，故.
9.ACD 设的公差为d，则解得则，.故选ACD.
10.BCD 若，则.A不正确.若，则.B正确.若，则.C正确.若，则.D正确.
11.ABD 对于A，由于的面积为定值，点G到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，A正确.
建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.
对于B，易知是平面的一个法向量.设平面的法向量为，因为，，，设，，所以.
由令，可得.
若平面平面，则，解得，所以B正确.
对于C，当时，，，设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为，C错误.
对于D，如下图，当G为的中点时，，，，.
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确.
12.BD 设为椭圆C的左焦点，所以，，则.由椭圆的对称性，得四边形为平行四边形，故，且A，B两点不在y轴上，则.故选BD.
13. 因为点是点在坐标平面内的射影，所以，，.
14. .
15.1 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，圆心与的距离为2，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为.
16. 由，得，则，则，故.
17.解：（1）取，则由，得.
因为，所以，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
故.
（2）由（1）可知，
则，
故.
18.解：（法一）（1）因为，，，所以，.
由，得，
则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点，半径，
则过A，B，C三点的圆的方程为.
（2）因为四边形为平行四边形，直线l平分四边形的面积，所以l经过对角线的中点.
设，由，得则.
由，得l的方程为，整理得.
（法二）（1）设过A，B，C三点的圆的方程为，
则解得
故过A，B，C三点的圆的方程为.
（2）因为四边形为平行四边形，所以.
因为线段上靠近点A的三等分点为E，所以，则.
设l与相交于点F，由直线l平分四边形的面积，可得，则.
则l的方程为，整理得.
19.解：（1）由，得.
因为的图象在点A处的切线与直线垂直，所以解得
（2）由（1）可设切线与曲线相切于点，
则切线的方程为，
将点代入方程整理得，解得或.
当时，切线方程为.
当时，切线方程为.
故经过点且与曲线相切的切线方程为或.
20.解：（1）因为平面，，所以以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系.
设，由，得，，，.
因为F是的中点，所以，则，.
又，所以，
解得，故.
（2）由（1）可知，，则，，.
设平面的法向量为，则
令，得.
设平面的法向量为，则
令，得.
，故二面角的正弦值为.
21.解：（1）设数列的公差为d，由，得，
由，得，即，解得
所以，.
（2）因为，当时，，所以，.
令，
则，
所以，
所以，所以，
则.
22.（1）解：椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率.
（2）证明：由（1）可知，
因为，所以直线的方程为.
联立方程组整理得，
则，则，.
，，，
则，，
故.