2022-2023学年辽宁省沈阳120中学高一（下）期初数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳120中学高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
2.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.中，为边上的点，且，满足，，则( )
A. 有最大值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值
6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. D.
7.空间复杂度是指一个算法运行过程所占用的空间，根据相关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而中国象棋空间复杂度的上限约为参考数据：，则下列各数中与最接近的是( )
A. B. C. D.
8.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程且有且只有个不同的根，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中是真命题的有( )
A. 有，，三种个体按：：的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为
B. 一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 某一组样本数据为，，，，，，，，，，则样本数据落在区间内的频率为
10.若：，则成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，，若存在，，使得，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
12.已知函数，下列说法正确的有( )
A. 当时，函数的定义域为
B. 当时，函数的值域为
C. 函数有最小值的充要条件为：
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的增区间是______．
14.已知，，，则、、的大小关系为______ 用“”连接．
15.已知、是常数，且，若函数的最大值为，则的最小值为______．
16.已知函数是二次函数又是幂函数，函数，函数，则的值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设，，
当时，求的子集的个数；
当且时，求的取值范围．
18.本小题分
为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本样本容量为进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图茎叶图中仅列出了得分在，的数据，如图所示．
求样本容量和频率分布直方图中，的值；
试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数；
在，内按分层抽样的方法抽取名学生的成绩，从这名学生中随机抽取人，求人成绩都在的概率．
19.本小题分
如图，为的中线的中点，过点的直线分别交，两边于点，，设，请求出、的关系式，并记
求函数的表达式；
设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围．
参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．
20.本小题分
已知函数且，．
求实数的值；
，，求的最小值、最大值及对应的的值．
21.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数的图象恒经过与无关的定点．
求点的坐标；
若偶函数，的图象过点，求、、的值．
在的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：函数，
，，且函数的图象在上连续，
函数在上至少存在一个零点，
又函数在上单调递增，
函数只有一个零点．
故选：．
利用函数的零点存在定理，结合函数的单调性求解即可．
本题主要考查了函数的零点存在定理，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，
故选：．
根据题意，函数的解析式变形可得，结合反比例函数的性质可得，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意函数解析式的化简变形，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数的值域为，
由是增函数，
也是增函数，，解得，
函数的值域为，，解得．
实数的取值范围是．
故选：．
根据分段函数的值域为，具有连续性，由是增函数，可得也是增函数，故得，且，再求出的取值范围．
本题考查了分段函数的性质的运用能力和计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以，
因为当时，，
则．
故选：．
由已知奇偶性及对称性先求出函数周期，结合周期及已知函数解析式即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：中，为边上的点，且，
，且，，
，
当且仅当时，即，，，
，又，
当，时取得等号．
有最小值，
故选：．
根据向量共线定理的推论，基本不等式即可求解．
本题考查共线定理的推论，基本不等式，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，
对于，事件与事件能同时发生，故A错误；
对于，事件与事件能同时发生，故B错误；
对于，抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，
包含的基本事件个数为，
，故C正确；
对于，，故D错误．
故选：．
事件与事件能同时发生，从而与不是互斥事件，也不是对立事件；抛掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数，包含的基本事件个数为，从而．
本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
．
故选：．
根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可求出结果．
本题考查指数式与对数式的互化以及对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．
由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为，将方程恰有个不同的实数解，转化为函数的与函数的图象恰有个不同的交点，数形结合即可得到实数的取值范围．
【解答】
解：对于任意的，都有，
，
函数是一个周期函数，且．
又当时，，且函数是定义在上的偶函数，
若在区间内关于的方程恰有个不同的实数解，
则函数与在区间上有四个不同的交点，如下图所示：
又，
则对于函数，
由题意可得，当时的函数值小于，
即，
由此解得：，
的范围是
故选D．
9.【答案】
【解析】解：对于，由分层抽样原理知，样本容量为，所以选项A错误；
对于，数据，，，，，的平均数为，
众数为，中位数也是，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B正确；
对于，甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，；
它的平均数是，
方差为，
这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C错误；
对于，由题意知样本容量为，样本数据落在区间内的频数是，
所以频率为，选项D正确．
故选：．
中，由分层抽样原理求出样本容量的值；
中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；
中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；
中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可．
本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：不等式，可化为，即且，
解得或，
又，，，
则成立的一个充分不必要条件是和．
故选：．
解出不等式，然后根据条件成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果．
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
即，则的值域为，
当时，，
即，
则的值域为，
若存在，，使得，
则，
若，
则或，
得或，
则当时，，
即实数的取值范围是．
故选：．
根据条件求出两个函数的值域，结合存在，，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．
本题考查对数函数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：选项A：当时，函数，的定义域为，判断正确；
选项B：当时，函数，，故函数的值域为，判断错误；
选项C：若函数有最小值，
则有最小正值，则，即．
又当时，有最小正值，
则函数有最小值．
则函数有最小值的充要条件为：，判断正确；
选项D：若在区间上单调递增，
则，解之得．
则实数的取值范围是，判断正确．
故选：．
求得当时函数的定义域判断选项A；求得当时函数的值域判断选项B；求得函数有最小值的充要条件判断选项C；求得实数的取值范围判断选项D．
本题主要考查函数的定义域、值域、最值、复合函数的单调性，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：令，由可得，
函数的增区间是，减区间是，
在上单调递增，
函数的增区间是，
故答案为：
求出函数的定义域，利用二次函数的单调区间及指数函数的单调性，即可得出结论．
本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，
根据幂函数的性质可得在定义域上单调递增，
，即，
，，
，
综上：．
故答案为：．
根据已知结合指对运算得出，根据幂函数的单调性比较、，根据指对函数单调性得出、与的大小关系，即可比较、的大小，即可得出答案．
本题主要考查了幂函数和对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数定义域为，设为奇函数，
，所以，
所以，
故答案为：．
利用函数的奇偶性，求出的最小值即可．
考查奇函数与最值的关系，基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数是二次函数又是幂函数，所以，
因为在上恒成立，所以函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
所以，
所以，且，
则．
故答案为：．
由题意可知，所以，再利用奇函数的定义可知函数为奇函数，进而可得，且，从而求出结果．
本题主要考查了二次函数和幂函数的定义，考查了奇函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
中有个元素，所以的子集的个数为个．
当且，则，
当时，，，；
当时，，，满足
综上，的取值范围是：或．
【解析】本题主要考查集合关系中的参数取值问题．此类题常用分类讨论思想求解．
对，根据集合表示求出集合，解决即可．
对，利用分类讨论分析满足的条件，然后综合答案．
18.【答案】解：由题意可知，样本容量，，．
；
设中位数为，则，所以．
在，成绩分组的学生分别为人，人，
现要按分层抽样抽取人，则在，成绩分组中各抽取人，人；
记成绩在的学生为，，，，成绩在的学生为．
则从这人中抽取人有，，，，，，，，，共种情况．
人成绩都在的有，，，，，共种情况．
所以从这名学生中随机抽取人，人成绩都在的概率．
【解析】利用的频数及频率可得出样本容量，进而求出，的值；中点值以及占比计算出平均值，面积法得到中位数；使用列举法得出人成绩都在的概率．
本题考查了频率分布直方图以及古典概型相关知识，属于中档题．
19.【答案】解为的中点，为的中点，
，
又三点共线，故，
故，故，即，．
设的面积为，
则的面积，
令，则，所以
故，因为，所以
【解析】由为的中点，为的中点，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于的方程，进而可得函数的表达式；
设的面积为，则的面积，，利用换元法结合基本不等式，求出函数的值域，可得答案
本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档
20.【答案】解：因为且，，
所以且过点，
即，解得，
所以；
，
令，因为，所以，
所以，开口向上，对称轴为，
所以，此时；
，，
所以，此时；
所以；．
【解析】由可知，代入求解；
由题意可得，令，所以，求出的最值及对应的值，再求的值即可．
本题考查了对数函数的性质、换元法、二次函数的最值，属于基础题．
21.【答案】解：因为与在上均为增函数，
所以在上为增函数，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是．
因为关于的不等式恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
所以，
因为，
所以当，即时，取得最小值，
所以，即实数的取值范围是．
【解析】根据指数形复合函数的单调性结合单调函数的运算性质得出的单调性，根据解析式得出，即可根据其单调性解不等式得出答案；
根据参变分离得出恒成立，根据二次函数形复合函数值域的求法得出的最小值，即可得出答案．
本题主要考查函数恒成立问题，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，即时，由对数函数的性质可知，，
所以函数过定点．
因为偶函数，，
所以，
解得，，
又函数图象过点，
所以，解得．
由知，，
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，
当时，，
当时，，
若时，有最小值，
所以，解得；
若时，有最小值，
所以，解得；
所以，
综上，的取值范围为．
【解析】由对数函数图象过定点的性质可知时，即可求出函数图象所过定点；
根据函数是偶函数可求出，，再根据函数图象过点可求出；
由题意可转化为，利用对数函数与二次函数求函数的最值即可求解．
本题考查了对数函数的性质以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
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