2023/2024学年度第一学期
联盟校期末考试高二年级数学试卷
（总分150分 考试时间120分钟） 2024.01
注意事项:
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一．单项选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．函数（是的导函数），则（ ）
A． B． C． D．
3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（ ）
A．4951 B．4 953 C．4955 D．4957
4．在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为,河岸所在直线方程为,将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知数列满足，且，若，数列前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
6．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆与轴正半轴的交点为，从直线2x+y=6上任一动点向圆作切线，切点分别为，，过点（0，）作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题.本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A.，若，则或
B.直线和以为端点的线段相交，则k≤-或k≥
C.直线与直线之间的距离是
D.与点的距离为1，且与点的距离为4的直线共有3条
英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列是递减数列
C．数列是等比数列
D．
11．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（ ）
A．点 B．轴 C． D．
12．已知函数及其导函数的定义域为，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数是周期为4的周期函数
C．函数的图象关于点对称 D．
三．填空题.本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知数列满足，，则________．
14．曲线上一点到直线的最短距离为 ．
15. 学校餐厅每天供应1050名学生用餐，每周一有A，B两种套餐可供选择.调查表明，凡是本周一选A套餐的，下周一会有20%改选B套餐；而选B套餐的，下周一会有30%改选A套餐.用，分别表示第个周一选A套餐的人数和选B套餐的人数.第一个周一选A套餐的人数为人.
（1）如果每个周一选A套餐人数总相等，则_____________.2（分）
（2）若，则从第______________个周一开始，选A套餐人数首次超过选B套餐的人数.3（分）
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________．
四．解答题.本题共6小题,共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知圆过，两点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值.
18．已知函数.
(1)求的极值；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知抛物线的焦点为为上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.
20. 设数列的前n项和为，已知，.
（1）证明数列为等比数列；
（2）设数列的前n项积为，若对任意恒成立，求整数的最大值.
21．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
（1）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
（2）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.
22．已知函数f(x)＝lnx＋2ax，a∈R．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈(0，＋∞)，都有恒成立，求a的取值范围．2023/2024 学年度第一学期
联盟校期末考试高二年级数学试卷（答案）
一．单选题
1.B 2.C 3.A 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B
二．多选题
9.BD 10.ACD 11.BCD 12.ABD
三．填空题
13. 4082 14. 4 2 15. 630 2（分） 3 3（分） 16. 6
3
四．解答题
17.（1）根据题意，设圆的圆心为 (a ,b)，半径为 r，
(1 a)2 (0 b)2 r 2
则有 (0 a)2 ( 1 b)2 r 2 ，解可得 a 1，b 1， r 5；
a b 2 0
故要求圆的方程为 (x 1)2 (y 1)2 5； …………………4（分）
（2）根据题意，四边形 PMCN的面积
S S 1 PMC S PNC (|CM | |MP | |CN | |NP |) 5 |PM | ， …………………6（分）2
而 | PM |2 | PC |2 |CM |2 | PC |2 5 ，当 | PC |最小时，四边形PMCN面积的最小，
| 4 ( 1) 3 1 8 |
而 | PC |的最小值为点C到直线 x y 2 0的距离，则 | PC |的最小值为 | PC |min 3 ；16 9
故 | PM |的最小值为 2，故四边形 PMCN面积的最小值为 2 5． …………………10（分）
2x
18（1）解：由函数 f x e 2x，可得 f x 2e2x 2，
令 ，即 e2xf (x) 0 1 0，解得 x 0；，即 e
2x 1 0，解得 x 0，
所以函数 f x 在区间 ( , 0)单调递减， (0, )单调递增，
当 x 0时， f x 取得极小值，极小值为 f 0 1，无极大值. …………………4（分）
（2 2x）解：由不等式 f x 2 e 1 x m恒成立，即e 2x 2 e 1 x m恒成立，
即对于任意 x R ，不等式 e2x 2ex m恒成立， …………………6（分）
设 g x e2x 2ex 2x，可得 g x =2e 2e，
{#{QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=}#}
令 g x 0 1，即 2e2x 2e 0，解得 x ；令 g x 0，即 2e2x 1 2e 0，解得 x ，
2 2
1 1
所以 g x 在 ( , )上单调递减，在 ( , )单调递增，
2 2
1 1
所以，当 x 时，函数 g x 取得极小值，同时也时最小值， g( ) 0， …………………10（分）
2 2
所以m g x min，即m 0，所以实数m的取值范围为 ,0 . …………………12（分）
19.（1）因为 A 2 3, y0 在C : x2 2 py( p 0)上，所以12 2py0，
又 AF 4
p
，所以 y0 4，则 y
p
4 ，
2 0 2
所以12 2 p 4
p
2 ，则 p 8 p 12 0，解得 p 2或 p = 6，
2
当 p 2时， y0 3，满足要求；当 p = 6时， y0 1，不满足 p y0 ，
故 p 2，所以抛物线的方程为 x2 4y …………………4（分）
x
2 4y
（2）设D x 21, y1 ,E x2 , y2 ，联立 ，消去 y整理得y kx b x 4kx 4b 0
，
x2 2
所以Δ 16k 2 16b 0，且 x x 4b，所以 y y 1
x2 2
1 2 1 2 b ，16
因为OD OE x1x2 y1y2 4b b
2 4，解得b 2， …………………8（分）
所以直线 l1的方程为 y kx 2，则直线 l1过定点 P 0,2 ，
直线 l2 : x my 3m 2 0 ，即 x 2 m y 3 0过定点Q 2,3 ，
又 F 0,1 1，所以 PF 1，所以 S FPQ 1 2 1 . …………………12（分）2
20.（1）因为 2Sn 3an 3 0，①当n 2时， 2Sn 1 3an 1 3 0 ，②
a
① ②得： an 3an 1 n 2 n，即 3 n 2 ，经检验 a1 3a 符合上式，n-1
所以数列 an 是首项为 3，公比为 3的等比数列. …………………4（分）
a 3n 3 1 3
n 3n 1 3
（2）由（1）知 n ，所以 S ，n 1 3 2
n n 1
Tn a1a2 an 3 3
2 3n 31 2 n 3 2 ，
{#{QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=}#}
(1 2k)(S 2a 3) (1 2k)(3
k 1 3
2 3 k 3n k k n ) n
2 2 2 (2k 1) 3
k
所以
log T k k 1
k 1 3 k k 1 k k 1log 3 2 k 1 3
n 3k 1 3k 3
n 1
3 …………………8（分）
k 1 k 1 k n 1
3n 1 3 a 3
n 1 n n 1
所以 n 恒成立，即 3 3 ，化简得： 3 ， ……………10（分）
n 1 n 1 n 1 n 1 3n 1
b 3 n 1 n 2 n 1 b b 3 3 2n 1令 n n 1 ，所以 n 1 n n n 1 n 0，3 3 3 3
所以数列 bn
1 1
是递增数列，最小值为b1 3 1 1 1，所以 1，故整数 的最大值为 0.…………12（分）3
21（1）因为直线OP : y k1x，OQ : y k2x与圆 M相切，
所以直线OP : y k1x与圆M : x x 20 y y
2
0 4联立，
可得 1 k 2 21 x 2x0 2k1y0 x x2 y2
2
0 0 4 0 同理 1 k2 x2 2x0 2k2y0 x x20 y20 4 0 ，
可得 k1，k2是方程 x20 4 k 2 2x0 y0k y20 4 0的两个不相等的实数根，
y20 4 x2
∴ k1k2 2 因为点M (x0 , y0 )在椭圆 C上，所以 y2 5 00 ，所以 k1k
1
2 ；……………6（分）x0 4 4 4
（2）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设 P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，
因为 4k1k2 1 0 y2 2
1 2 2
，所以 1 y2 x1 x2 ，16
2 2
因为 P x1, y1 ,Q x2 , y2 2 2
x x 1 2 2
在椭圆 C上.所以 y y 5 11 2 4
5 2 x
4 16 1
x2
2
整理得 x1 x
2 20 y2 y22 ，所以 1 2 5所以 OP
2 OQ 2 25 . …………………10（分）
（ii 2 2）当直线落在坐标轴上时，圆M 方程为 (x 2)2 (y 2)2 4，易求得 OP OQ 25，
2 1
综上： OP OQ 2 25，所以| OP OQ
2 OP
2 OQ 2 25 2
所以 OP OQ
25
的最大值为 ． …………………12（分）
2
1
22.（1） f (x) 2a
x
当 a 0时， f (x) 0, f (x)在（0， ）是增函数 ………………2（分）
{#{QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=}#}
当 a 0时，令 f (x) 0, 1得x , 1 1所以（0， ）上，f (x) 0（, , ）f (x) 0
2a 2a 2a
综上所述， a 0， f (x)在（- ， ）是增函数，
a 0, f (x) 0 - 1 1 在（ ， ）是增函数，在（ - ， ）是减函数 ………………4（分）
2a 2a
3x 3x ln x
法一：（2） ln x 2ax 1 xe3x , a xe ln x 1 e ln x 1 min
2x 2x
e3x ln x ln x 1 3x ln x 1 ln x 1 3
，当且仅当 3x+lnx=0 时等号成立。 ………………8（分）
2x 2x 2
g(x) 3x ln x g (x) 3 1 0, g(x)在（0， ）是增函数 .
x
f ( 1 32 ) 2 2 0, g(1)
1
3 0. 存在x0 ( 2 ,1)使得g(x
3
0 ) 0可取等号 a ………………12（分）e e e 2
3x
ln x 2ax 1 xe3x , 2a xe ln x 1 3x ln x 1法二：（2） e
x x x
g(x) e3x ln x 1 g (x) 3e3x ln x 3x
2e3x ln x
令 （x>0）
x x x2 x
令 h(x) 3x2e3x ln x,h (x) 6xe3x 9x2e3x 1 0故 h(x)在（0，+∞）是增函数。………………6（分）
x
3 1 e 1
又 h(1)=3e >0, h( ) ln 3 0所以存在 x0 ( ,1),使得h(x0 ) 03 3 3
且（0，x0）上h(x) 0,即g (x) 0, g(x)是减函数，（x0， ）上h(x) 0,即g (x) 0, g(x)是增函数
g(x) g(x ) e3x ln x 1所以 0 0min 0 ………………8（分）x0 x0
h(x ) 3x e3x ln x0 00 0 0，3x
3x ln x ln x 1 10 0
0e 0，即3x e
3x0 - 0 ln
x 00 x0 x0 x0 x0
令 （x) x ln x, x (0, )， (x) 0, (x)在(0, )是增函数 f (x) 0
所以 (e3x0 ) ( 1 ),即e3x 10 ，即 3x0=-lnxx0 x
0
0
g(x ) 1 3x所以 0 1 30 3，所以 a ………………12（分）x0 x0 x0 2
{#{QQABTQIEggCIQBBAAQgCEwVqCAIQkAGAAIoOxAAIMAAAiRNABAA=}#}
