安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监控数学试题（含答案）

2023-2024学年度第一学期芜湖市中学教学质量监控
高二年级数学试题卷
本试题卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等比数列中，，则为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与直线互相平行，则实数a为（ ）
A． B． C．0或 D．0或
4．已知抛物线的焦点为F，点M为其准线l上的动点，则线段MF的中垂线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D以上均有可能
5．在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（ ）
A．12米 B．13米 C．14米 D．15米
7．已知椭圆的左顶点和右焦点分别为A，F，点P为椭圆外一点，线段PA，PF恰好均被椭圆平分，且与椭圆分别交于M，N两点，当时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列
C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。
9．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度是
10．如图，在三棱柱中，M，N分别是线段上的点，且．设，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ）
A．与的夹角为 B．
C． D．
11．已知抛物线的焦点为F，点Q和点M分别在y轴和抛物线上且，则下列说法正确的是（ ）
A．若点M坐标为，则抛物线的准线方程为
B．若线段MF与x轴垂直时长度为4，则抛物线方程为
C．以线段MF为直径的圆与y轴相切
D．若点Q坐标为且，则或
12．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，用一个与旋转轴所成角为的平面（不过圆锥顶点）去截该圆锥面，则截口曲线（圆锥曲线）的离心率为．比如，当时，，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系中放置一个圆锥，顶点，底面圆O的半径为2，直径AB，CD分别在x，y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．已知点，则过点M，N的平面截该圆锥得的截口曲线为圆
B．平面MAB截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分
C．若，则平面MEF截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分
D．若平面截该圆锥得的截口曲线为离心率是的双曲线的一部分，则平面不经过原点O
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的两条渐近线的夹角大小为___________．
14．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________．
15．已知数列是公差相等的等差数列，且，若为正整数，设，则数列的通项公式为___________．
16．已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求m的值．
18．已知函数与函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．
19．已知数列的前n项和为，若数列为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．若点O，M分别为棱AC，PD的中点，点N在棱PC上，且满足．
（1）求线段MN的长；
（2）求平面ACM与平面BON夹角的余弦值．
21．已知数列满足，，，数列，的前n项和分别为．
（1）求，并证明数列为等比数列；
（2）当时，有恒成立，求正整数m的最小值．
22．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，右顶点到点的距离之差为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点P在双曲线C上，且射线分别交双曲线于点M，N，求直线MN斜率k的取值范围．
2023-2024学年度第一学期芜湖市中学教学质量监控
高二年级数学试题参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C A B B A D
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 AD BD ACD BCD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．（1）证明：直线
可得
所以直线l恒过定点. 5分
（2）圆心到直线l的距离
． 10分
由圆心到直线的距离公式可得
18．解：（1）
在点处的切线方程为：． 4分
（2）设曲线与曲线的公切点为
令即
或（舍）
∴所求公切线方程为：即 12分
19．解：（1）记设数列公差为d，则，解之得
则，则，当时，也符合，
则 6分
（2）
则． 12分
20．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
则；
因为，设，则，
所以
解得，所以，即
又，则，所以． 6分
（2）设平面ACM的一个法向量，
由可得：，令，则．
，则
设平面ACM的一个法向量，
由可得：，令，则．设平面ACM与平面BON所成的角为，
则． 12分
备注：其他方法正确可酌情给分
21．解：（1）因为，令，令得，
则
由得
所以数列为以2为首项，2为公比的等比数列． 4分
（2）由（1）知：，同理：数列是以3为首相，2为公比的等比数列即．
则，
令，则，
当时，，当时，，
又，则当时，．当时，．
综上知：正整数m的最小值为11． 12分
22．解：（1）设焦距为，则由得
由双曲线的定义可知，则
因此，所以双曲线的标准方程为 5分
（2）设，直线为，其中，
联立方程组得，
则，计算得
代入直线方程得
同理得
则直线MN的斜率为
又因为得代入化简后
又因为M，N分别在双曲线的左支和右支，则且
解得
而由得即
综上． 12分