2023~2024学年第一学期期末调研考试
高二数学试题
”
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用2B铅笔和0.5亮米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1,设x为实数，A={L,2,3},B={x,x+2,若BSA,则x的值为
A.0
B.1
C.2
D.3
2.己知复数云=1+i,22=x+2i(x∈R),若22为纯虚数，则x的值为
A.2
B.1
C.0
D.-2
3.若两条直线2x+(m+5)y-8=0和(m+3)x+4y+3m-5=0平行，则实数m的值为
A.1
B.-1
C.-3
D.-7
4.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”·
“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…
设各层球数构成一个数列{an},则a如=
A.58
B.57
C.210
D.220
5.若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为V3,则点M到该抛物线焦点的距离为
A司
B.1
c
D.2
6.己知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为
A.1
B.2
C.3
D.4
7.若双曲线经过点(-√5，)，且它的两条渐近线方程是y=3x，则此双曲线的离心率是
A.
3
B.i
D.4
3
c.23
3
8。已知重线y=”。存在过坐标原点的切线，则实数口的取值范因是
A.[-4,0]
B.(-∞，4]U[0,+oo)
C.(-4,0)
D.(-0,-4)U(0,+o)
高二数学第1页共4页
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.下列求导正确的是
Aa0-0
B.(2-=2x+
C.(xe*)'=(x+1)e*
D.(cos3x)'=-sin3x
10,已知关于x,y的方程(m-2)x2-(m-4)y2+(m-2(m-4)=0(m∈Z)表示的轨迹可以是
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
11.己知圆C:x2+少2-4y+2=0,则下列说法正确的有
A,圆C关于直线x-y=0对称的圆的方程为(x-2)2+y2=2
B.直线x-y+1=0被圆C截得的弦长为
2
C.若圆C上有四个点到直线x-y+m=0的距离等于y
,则m的取值范围是(1,3)
D.若点Px,)是圆C上的动点，则x2+y2的取值范围是[2-2,2+]
12.已知数列{an}的前n项和为Sm,且a=1,a2=2,a1+an=3n,则
A,a4=5
B.S0=300
C.S31=720
D.n为奇数时，8=3n+
4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.抛物线y=2x2的准线方程为
14.已知向量a,b,a1,-2,若1a+bV7,则a与b的夹角为
15.已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1),
则顶点C的坐标为·
16.当x=一时，函数f(cx)=esir在区间[0,2π上取最小值，
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2A+sin2C=sin2B+sin AsinC.
(1)求B:
(2)若a=22,△ABC的面积为3+V5,求c.
高二数学。第2页共4页高二数学参考答案 202401
1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.C 7.A 8.B
9.BC 10.ABD 11.AC 12.ABD
1 π 13 31 5
13. y 14. 15. ( , ) 16.
8 3 5 5 4
a b c
17. 解：(1)由 sin2 A sin2 C sin2 B sin AsinC ，根据正弦定理 ，
sin A sin B sinC
有 a2 c2 b2 ac， ……………………………………………………………3 分
a2 c2 b2 b2 ac b2 1
所以 cos B ， …………………………………………5 分
2ac 2ac 2
又0 B ，得 B . …………………………………………………………7 分
3
(2)由于△ABC 面积为3 3 ，且 a 2 2 ， B ，
3
1
所以 2 2c sin 3 3 ，…………………………………………………………9 分
2 3
得 c 2 6 . ………………………………………………………………………10 分
18. 解：(1)设圆心为 A(4a,3a)，半径为 r，由 r AB AC ，
得 (4a 4)2 (3a 2)2 (4a 1)2 (3a 3)2 ，得a 1， …………………………2 分
所以点 A坐标为 (4,3)， 圆半径 r AB 5 ,
所以圆 A 的标准方程为： (x 4)2 (y 3)2 25…………………………………………6 分
(2)由 AD (4 1)2 (3 1)2 5，知点 D 在圆 A 上，………………………………8 分
4 3
由 kAD 且 kAD k 1，知 k ，…………………………………………………10 分
3 4
所以过 D(1, 1)的圆 A 切线方程为：3x 4y 1 0 . ……………………………12 分
a1 d 3
a1 2
19. 解：(1)设数列 an 的公差为 d ，则 10 9 ，解得 ， ………2 分
10a1 d 65 d 1
2
所以an 2 n 1 1 n 1.…………………………………………………………3 分
因为Tn 2bn 2 ，当n 2 时，Tn 1 2bn 1 2 ，两式相减得：bn 2bn 1.………5 分
又b1 2b1 2 ，得b1 2，所以{bn}是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，……6 分
所以b 2 2n 1 2nn . ……………………………………………………………7 分
{#{QQABTQCEogggQAAAAQgCAwGqCgKQkACAAKoOgBAMMAAAiBFABAA=}#}
(2)由(1)知 cn n 1 2
n .
1
则Gn 2 2 3 2
2 4 23 n 1 2n，
2G 2 22n 3 2
3 n2n n 1 2n 1，…………………………………………8 分
1 2
两式相减得： Gn 2 2 2 2
3 2n n 1 2n 1 …………………………9 分
2 1 2n
2 n 1 2n 1 n2n 1 ………………………………………………11 分
1 2
所以G n 2n 1 . n …………………………………………………………12 分
x2
20. 解：(1)设圆柱底面半径为 r ,则有 r 9 , (0 x 6) ，
4
x3
所以V r2 x ( 9x)（, 0 x 6) ………………………………………2 分
4
x3
2
令 '
3x
f (x) 9x ，则 f (x) 9 ，
4 4
令f '(x) 0，得x 2 3又x 0,所以x 2 3 ， …………………………………3 分
当x 0,2 3 时，f '(x) 0, f (x)在区间 0,2 3 上单调递增;
当x 2 3，6 时，f '(x) 0, f (x)在区间 2 3，6 上单调递减.
所以 f (x)max f (2 3) 12 3.故Vmax 12 3 . ………………………………5 分
答：圆柱体积的最大值为12 3 . …………………………………………………6 分
'
(2)由题意可得当 OPO 时，圆柱的高h 6sin ,圆柱的底面半径r 3cos .
所以V 9 cos2 6sin 54 cos2 sin 54 （1 sin2 ）sin ,(0 )
2
令 t sin ,(0 t 1),则V 54 ( t3 t). ……………………………………8 分
3
令g(t) t3 t 则 g ' (t) 1 3t2 ,当g '(t) 0时，t . …………………………9 分
3
3 3
当t (0, )时，g '(t) 0, g(t)在(0, )上单调递增；
3 3
3 3
当t ( ，1)时，g '(t) 0, g(t)在( ，1)上单调递减.
3 3
3 2 3
所以 g(t)max g( ) ,所以Vmax 12 3 . ………………………………11 分
3 9
答：圆柱体积的最大值为12 3 . ………………………………………12 分
{#{QQABTQCEogggQAAAAQgCAwGqCgKQkACAAKoOgBAMMAAAiBFABAA=}#}
9 1
1 a2 b2
21. 解：(1)由题意，得 ，解得 a 2 3,b 4，
3 3 1
2 2
a b
x2 y2
故椭圆 G 的标准方程为 1. …………………………………………………4 分
12 4
(2)因为 B,C 为椭圆 G 上异于 A 的两点，所以直线 BC 的斜率存在，
不妨设直线 BC 的方程为 y kx m， B x1, y1 ，C x2 , y2 ，
y kx m
2 2 2
由 x2 y2 ，整理得 1 3k x 6kmx 3m 12 0 ，
1
12 4
2 2
当 (6km) 4 1 3k 3m2 12 0，即12k 2 4 m2，
6km 3m2 12
由韦达定理得 x1 x2 ， x1x2 ， …………………………………6 分
1 3k 2 1 3k 2
因为 A 0,2 ， AB x1, y1 2 ， AC x2 , y2 2 ， AB AC ，
所以， AB AC x1x2 y1 2 y2 2 x1x2 kx1 m 2 kx2 m 2
1 k2 x1x2 k(m 2) x1 x2 (m 2)2
3 m2 4
1 k 2
6km
k(m 2) (m 2)2 0
1 3k 2 1 3k 2
化简得 m 2 m 1 0，解得m 2 或m 1， ……………………………10 分
当m 2 时，直线 BC 的方程为 y kx 2，直线过点 A 0,2 ，不合题意；
当m 1时，12k 2 4 m2恒成立，直线 BC 的方程为 y kx 1，
所以直线 BC 过定点 0, 1 . …………………………………………………………12 分
1 ax 1
22. 解：(1) g x ln x ax 1定义域为 (0, ) ，得 g x a ，
x x
当 a≥0 时， g x 0 恒成立， g x 在 (0, ) 单调递增；
1
当 a 0时，令 g x 0 得 x ，
a
1 1 1
x (0, ) ( , )
a a a
g x + 0 -
g x 增 极大值 减
1 1
所以当a 0时， g x 在 (0, )单调递增，在 ( , )单调递减. ………4 分
a a
{#{QQABTQCEogggQAAAAQgCAwGqCgKQkACAAKoOgBAMMAAAiBFABAA=}#}
ln x ax 1 xex ln x 1
(2)由 f (x) ≤ex ,得 a≤ 在 (0, ) 恒成立，
x x
x x2exxe ln x 1 ln x
记 F(x) ， x (0, )，则 F (x) ，
x2x
令 2 x ，则 h (x) (x2 + 2x)ex
1
h(x) x e ln x 0，
x
得 h(x)在 (0, ) 单调递增，………………………………………………………6 分
1
1 2
又因为 h( ) ee 1 0 且h(1) e > 0，由零点存在性定理知，
e
1
存在 x ( ,1)，使得 h(x ) 0，即 xx 2e 00 0 0 ln x0 0， ………………………8 分
e
当 x (0, x ) 时， h(x) 0，得F 0 (x) 0 ,所以 F(x)单调递减，
当 x (x , )时， h(x) 00 ，得 F (x) 0 ,所以 F(x)单调递增.
1
ln x
x 0
ln x0 1
故 x 00e ln x0 1 x0 ………………………10 分 F(x)min F(x0 )
x0 x0
x 1 1
由 2 x0 0x e ln x 0得 x0e ln0 0 ，构造函数 (x) xe
x (x 0) ，
x0 x0
得 (x) (1 x)ex 0，所以 (x)在在 (0, ) 单调递增，
1 1
由 (x0 ) (ln ) ，可得 x0 ln ，
x0 x0
1
x0 x0 1
x
所以 F (x)min
0 1，故 a≤1 . …………………………………12 分
x0
{#{QQABTQCEogggQAAAAQgCAwGqCgKQkACAAKoOgBAMMAAAiBFABAA=}#}
