2023-2024学年河北省邢台市高三上学期期末调研数学试题（含解析）

2023-2024学年河北省邢台市高三上学期期末调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论正确的为
( )
A. ，，则
B. ，，，，则
C. ，，，则
D. ，，，则
4.若是奇函数，则
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知锐角的顶点在原点，始边在轴非负半轴，现将角的终边绕原点逆时针转后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为
( )
A. B. C. D.
7.保定的府河发源于保定市西郊，止于白洋淀藻杂淀，全长公里府河作为保定城区主要的河网水系，是城区内主要的排沥河道府河桥其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，是我市的标志性建筑之一，悬链线函数形式为，当其中参数时，该函数就是双曲余弦函数，类似地有双曲正弦函数若设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为
( )
A. B. C. D.
8.在椭圆中，，分别是左，右焦点，为椭圆上一点非顶点，为内切圆圆心，若，则椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 从个个体中随机抽取一个容量为的样本，则每个个体被抽到的概率为
B. 数据，，，，众数是，中位数是
C. 数据，，，，，，，这组数据的第百分位数为
D. 对于随机事件与，若，，则事件与独立
10.先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是
( )
A. 最小正周期为 B. 在上单调递增
C. 时， D. 其图象关于点对称
11.已知曲线，则以下说法正确的是
( )
A. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
B. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则其短轴长取值范围是
C. 曲线为椭圆时，离心率为
D. 若曲线为双曲线，则渐近线方程为
12.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在四面体中，是直角三角形，为直角，点，分别是，的中点，且，，，，则
( )
A. 平面
B. 四面体是鳖臑
C. 是四面体外接球球心
D. 过、、三点的平面截四面体的外接球，则截面的面积是
三、填空题：本题共5小题，共30分。
13.已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ．
14.保定某中学举行歌咏比赛，每班抽签选唱首歌曲中的首歌曲可重复被抽取，则高三班和高三班抽到不同歌曲的概率为 ．
15.等差数列前项和为，正项等比数列满足，则 ．
16.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为 ．
17.的内角，，所对的边分别为，，，且
求角的大小
若的角平分线交于点，，，求．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
在菱形中，，，，分别为，的中点，将菱形沿折起，使，为线段中点．
求大小
求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
在正项数列中，，且．
求证：数列是常数列，并求数列的通项公式
若，记数列的前项和为，求证：．
20.本小题分
已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，点，若的面积为，过点作抛物线的两条切线切点分别为，．
求的值及直线的方程
点是抛物线弧上一动点，点处的切线与，分别交于点，，证明：．
21.本小题分
杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第或第步台阶时，游戏结束规定：到达第步台阶，认定失败到达第步台阶可赢得一组吉祥物假设平地记为第步台阶记队员到达第步台阶的概率为，记．
投掷次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列
求证：数列是等比数列
(ⅱ)求队员赢得吉祥物的概率．
22.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求实数的取值范围
若有两个极值点分别为，，当时，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
化简集合，再由交集的定义可得结果．
【解答】
解：，所以，
并且，
．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的运算及共轭复数，属于基础题．
依题意先对原式进行化简，可求得 ，利用共轭复数的定义可得 ，再利用复数的运算可求得答案．
【解答】
解：由题意得： ，则 ，
．
选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中的线、面位置关系，属于基础题．
利用空间中的线、面位置关系，对选项逐个判断即可．
【解答】
解：若，，则或，故A错误
B.若，，，，则或与相交，故B错误
C.若，，，则或与相交，故C错误
D.若，，则，又，则，故D正确，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．
根据奇函数得，取特殊值即可得出结果．
【解答】
解：函数是上的奇函数，
，即，
，即，
由解得，，
经检验，符合题意，
故，．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式及两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
先得出和的值，由展开计算可得结果．
【解答】
解：由题意，，
因为为锐角，
所以，
所以，
则
．
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考向量的数量积和投影向量，属于基础题．
求出和，利用投影向量的定义即可求解．
【解答】
解：由向量，得，
由，得，
化简整理，得，
则，
则向量在向量方向的投影向量为
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
先判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的性质解不等式即可求解．
【解答】
解：由题意得，，
定义域为，关于原点对称，
，
为奇函数；
在上为增函数；
，
，即，
，
解得：，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
先利用三角形内心的性质，将已知面积关系转化为焦点三角形的边长间的关系，再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义，即可算得该椭圆的离心率
本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其计算方法，属中档题．
【解答】
解：设的内切圆半径为，
则由，得
即
即
椭圆的离心率．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查简单随机抽样、众数、中位数、百分位数和独立事件的判断，属于基础题．
对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于、从个个体中随机抽取一个容量为的样本，
则每个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于、数据，，，，从小到大排序为，，，，，
则众数是，中位数是，故B错误；
对于、数据，，，，，，，
则，
则这组数据的第百分位数为，故C正确；
对于、对于随机事件与，
若，则，
又，
则，即事件与独立，故D正确
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图像变换和性质，属于一般题．
求出的解析式，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到，
再将所得函数图像纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，得到，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数，，
对于、函数的最小正周期为，故A正确；
对于、当时，，递增，故B正确；
对于、当时，，，则，故C错误；
对于、因为，故的图象关于点对称，故D错误
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的基本知识，处理椭圆和双曲线的基本性质的基本方法，属于中档题．
对于，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，满足条件为，解得即可，判断A正确；对于，求得，由范围，可得短轴长取值范围，判断故B正确；对于，对曲线分类讨论，即可判断C错误；对于，若曲线为双曲线，求得渐近线方程为，即可判断D正确．
【解答】
解：对于，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则曲线化简为，满足的条件为，解得，故A正确；
对于，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，由范围，可得短轴长取值范围是，故B正确；
对于，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则离心率为，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则离心率为，故C错误；
对于，若曲线为双曲线，则渐近线方程为，化简为，故D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的判定，考查球的截面的面积，属于中档题．
利用线面垂直的判定定理判断；证明四个面都为直角三角形，判断；确定球心的位置判断；求出截面的半径，判断．
【解答】
解：因为，是的中点，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为是直角三角形，为直角，所以，
因为，所以平面，A正确；
因为为直角，，，所以，
因为，，所以为直角，
因为平面，所以，为直角，
所以，
因为，所以为直角，
所以四面体是鳖臑，B正确；
由于是的中点，所以，
因为为直角，所以，所以不是四面体外接球球心，C错误；
取的中点，则，即是四面体的外接球的球心，球的半径为，
中，，所以，所以，
所以，
到截面的距离等于到截面的距离，设为，则，所以，
所以截面的半径为，
所以截面的面积是，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，倾斜角与斜率关系，过两点的斜率公式，直线垂直关系的判断，属于中档题．
根据条件求出直线的斜率，即可得到切线的斜率，从而求得倾斜角．
【解答】解：由题，圆的圆心为，
则，所以直线的斜率为，
令直线的倾斜角为，则，解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是古典概型，排列与排列数，分步乘法计数原理，属于中档题．
根据古典概型直接求解即可．
【解得】解：由题，高三班和高三班每班抽签选唱首歌曲中的首，共有个基本事件，
其中，高三班和高三班抽到不同歌曲有个基本事件，
故高三班和高三班抽到不同歌曲的概率为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是等比数列的性质，对数运算，等差数列的前项和，等差数列的性质，属于中档题．
由等差数列前项和与等差数列的性质可得，则，根据等比数列的性质对对数运算，即可求解．
【解答】解：由等差数列前项和为，可得，
所以，则，
所以．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究恒成立问题，利用导数求最值，属于难题．
原不等式转化为，令，显然当时，利用导数可得有最小值，则，转化为，令，利用导数求其最值即可得到的最大值．
【解答】解：因为不等式对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，不满足在上恒成立，
当时，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以，所以，
则，
令，则，
显然当上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即的最大值为．
故答案为．
17.【答案】 解：由及正弦定理，可得
B.
因为，所以C.
又，所以，则，
又，所以；
方法为的平分线，，
设点到和的距离为，则，即，
，
又，
，
则有，
或舍去，所以．
方法为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
又，，
即，
．
方法为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
又由余弦定理，
，
又，，
又在中，，
．
方法为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
又，，
，即，
解得：．
方法为的平分线，，由内角平分线性质定理，，
在中由余弦定理得：
又因为，因此，
即
由解得．
【解析】【分析】本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
由题意及正弦定理得，再利用两角和公式化简即可得，进而求出结果；
根据平分，且，利用角平分线定理得到，
方法由，可得；
方法由，，可得；
方法由及余弦定理，，，又可得；
方法，，可得；
方法，由余弦定理可得．
18.【答案】解：由已知得三棱锥为正四面体，棱长为，
又，，分别为，，中点
又．
；
为中点，，，
，、平面，
平面，
平面，
平面平面，平面平面，
过作，平面，
则平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
，，，
，
设平面法向量为，
得
令，则，
，
与平面所成角为
【解析】本题考查直线与平面所成角，属于中档题；
由已知得三棱锥为正四面体，计算可得即，故；
以为坐标原点，所在直线为轴，过作垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
平面法向量为，，由，即可求解
19.【答案】解：
时，
，相除得，
，
，
，
又，
即数列是常数列，
所以，所以；
，
，
，
又因为单调递增，
所以，
即．
【解析】本题考查了数列的递推关系、数列的通项公式以及裂项相消法，是中档题．
当时，，与已知相除化简得，取对数得，可得数列是常数列，进而得出；
易得，由裂项相消求和即可得证．
20.【答案】解：，可得，所以
即抛物线方程为，
设切点，切线斜率为，
切线方程为，此切线过
解得，或，得两切点坐标，
所以直线方程为；
设切点，
可得过点切线为：化简得
由知，点，可得直线方程为
联立解得点横坐标
同理由，坐标可得直线方程，
可得点横坐标，
，
，
结论得证
【解析】本题考查抛物线的性质及几何意义，抛物线的概念及标准方程以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题；
，可得即抛物线方程为，设切点，可得切线方程为，
此切线过，即可求解；
设切点，可得过点切线为，由直线方程为联立解得点横坐标，
可得点横坐标，再由，得证
21.【答案】解：由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，
所以随机变量可能取值为，，，，，
可得，
，
，
，
，
所以的分布列：
证明：，即爬一步台阶，是第次掷骰子，
向上点数不是的倍数概率，则，
到达第步台阶有两种情况：
前一轮爬到第步台阶，
又掷骰子是的倍数得爬两步台阶，其概率为，
前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是的倍数爬一步台阶，其概率为
所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，，，，
各式相加，得：，
所以，
所以活动参与者得到纪念品的概率为．
【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列、等比数列和相互独立事件同时发生的概率，是较难题．
易得随机变量可能取值为，，，，，得出对应概率，可得的分布列
，易得，时，则，由等比数列的定义即可得证；
由得，活动参与者得到纪念品的概率为为，可得结果．
22.【答案】解：法得，
即设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增
所以，所以，此时，在上单调递增
故的取值范围是．
法，，
令，
则，
，当时，，在上单调递增，
，在上单调递增，
当时，令得，
当时，单调递减，时，单调递增．
若使在上单调递增，则，则
综上所述：若在上单调递增，则的取值范围是．
法因为有两个极值点，即方程有两个不同的实数根
则，，
令，即，
联立得
解得，，要证即证
即，即，
令，
求导化简可得，
由，可知，即，所以函数在上递增，
得到，即式成立，所以原不等式成立．
法因为有两个极值点，即方程有两个不同的实数根，
令，则，则
，
欲证
即证
而
只需证：
即证，
由可知：时，函数有两个极值点分别为，，不妨设．
证明：，
由，因此即证，
构造函数，，．
，
令函数，．
可得函数在内单调递减，于是函数在内单
调递减．
．，在内单调递减．
，
，
因此成立．
【解析】本题考查函数的基本知识，运用导数处理函数的增减性和不等式的证明的基本方法，属于中档题．
由，化简为，研究单调性，可得，即可解决；
等价于方程有两个不同的实数根
则，，解得，，要证即证，研究的单调性，函数在上递增，
得到，即可解决．
第1页，共1页