2023-2024学年江苏省无锡市高三上学期期终教学质量调研测试数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市高三上学期期终教学质量调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点所在的象限为
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.从甲地到乙地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：的下列数据：
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是
A. B.
C. D.
5.已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，若，则双曲线的渐近线方程为
( )
A. B. C. D.
6.已知直四棱柱的底面是边长为的菱形，且若，分别是侧棱，上的点，且，，则四棱锥的体积为
( )
A. B. C. D.
7.已知是等比数列的前项和，且存在，使得，，成等差数列．若对于任意的，满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.第一组样本数据，，，，第二组样本数据，，，，其中，则
A. 第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的倍
B. 第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的倍
C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的倍
D. 第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的倍
10.已知函数，，则下列说法正确的是
( )
A. 的图象关于点对称
B. 在区间上单调递增
C. 将图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到的图象
D. 函数的最大值为
11.已知过点的直线与抛物线：相交于、两点，直线：是线段的中垂线，且与的交点为，则下列说法正确的是
( )
A. 为定值 B. 为定值
C. 且 D.
12.已知在伯努利试验中，事件发生的概率为，我们称将试验进行至事件发生次为止，试验进行的次数服从负二项分布，记作，则下列说法正确的是
( )
A. 若，则，，，，
B. 若，则，，，，
C. 若，，则
D. 若，则当取不小于的最小正整数时，最大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线：与圆：相交于，两点，则弦长________．
14.随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这个吉祥物互不相邻的排队方法数为________用数字作答
15.已知函数在区间上的值域为，则的值为________．
16.已知函数若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于，两点，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设数列满足，，．
证明：数列为等比数列；
求数列的通项公式．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
求；
若，求．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，是线段的中点．
若，求证：平面；
若，，且平面与平面夹角的正切值为，求线段的长．
20.本小题分
为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：单位：只
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用
服用
合计
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．
附：，
21.本小题分
在直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记动点的轨迹为．
求的方程；
过动点的直线交轴于点，交于点，点在第一象限，且作点关于轴的对称点，连接并延长交于点证明：直线斜率不小于．
22.本小题分
已知函数，为的导函数，．
若，求在上的最大值；
设，，其中若直线的斜率为，且，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
先求出集合，由此利用交集定义能求出的值．
【解答】
解：集合，
，
．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，是基础题．
利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置．
【解答】解： ，
在复平面上对应的点为，位于第四象限．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、向量共线定理，是一个基础题，
根据两个向量共线解决有关问题方面解读向量的共线定理，先利用向量共线的充要条件是存在实数，使得及不共线得到方程，解得值，再看“向量与共线”是的什么条件即可．
【解答】
解：向量与共线，
存在实数，使得，
不共线
且，
解得，
甲是乙的充要条件
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数模型的确定，排除法的应用，属于基础题．
利用所给数据的特征排除不合题意的函数模型即可确定满足题意的函数模型．
【解答】
解：依题意可知该函数必须满足三个条件：
第一，定义域为；
第二，在定义域上单调递增；
第三，函数经过坐标原点．
函数 不经过坐标原点，排除，
函数单调递减，排除，
当时，没有意义，排除，
故最符合实际的函数模型为．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的性质，属于基础题．
分别求出，由得，即可求渐近线方程．
【解答】
解：由题意，得，
因为，即，
则，则，
故双曲线的渐近线方程为．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积，属于中档题。
在平面内，作于，由平面与平面垂直的性质得，平面，利用棱锥的体积公式即可求解。
【解答】
解：直四棱柱的底面是边长为的菱形，且，
，分别是侧棱，上的点，且，，
根据正四棱柱的结构特征，在是矩形，故BC是两底分别为，，高为的直角梯形，
，
过作于，由于侧面与底面垂直，是交线，
在底面内，故AE与平面垂直，
根据所给条件可得，
四棱锥的体积为．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的性质，等差数列的性质，属于中档题。
由，，成等差数列，得，再由等比数列的性质，即可求解。
【解答】
解：是等比数列的前项和，且存在，使得，，成等差数列，
，
又，
．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，分段函数的图象，解一元二次不等式，数形结合的思想，属于较难题。
利用函数的奇偶性求得的解析式，作出的图象，利用数形结合的思想，即可求解。
【解答】
解：函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，
，作出的图象如下，

存在唯一的整数，使得不等式成立，
当时，，由图知，，
当时，，由图知，，
实数的取值范围为．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，属于基础题．
利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接求解．
【解答】
解： 对于选项，由于，
故第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的倍减去，故A错误
对于选项，利用中位数的定义，可知第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的倍减去，故B错误；
对于选项，，故D，
第二组样本数据的样本方差是第一组的倍，
故第二组样本数据的样本标准差是第一组的倍，故C正确．
由极差的定义知：若第一组的极差为，
则第二组的极差为，
即第二组样本数据的样本极差是第一组的倍，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求正弦型和余弦型函数的图象与性质，属于中档题．
根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】
解：对于，当时，，故的图象不关于点对称，故A错误；
对于，由，得
，
当时，，
因为，
所以在区间上单调递增，故B正确；
对于，将图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得
的图象，即为的图象，故C正确；
对于，
，
所以函数的最大值为，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】【分析】
解：直线，联立
化简整理得，
设，
则，，
所以，
代入直线：，可得，
所以，解得且，
因为，所以．
综上所述，CD正确．
【解答】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．
联立直线方程，利用韦达定理及根的判别式求解得出结论．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项分步相关知识拓展，属于较难题．
理解题干中的新定义，结合二项式定理，对选项逐项判断即可．
【解答】解：因为∽，所以
，，，，，A正确
因为，则，，，，所以不正确；
对于，表示在次实验中，成功的实验次数小于或等于次
第次成功的实验之前至少失败了次
C正确．
设时最大，则，且，
，
，
即
解得，所以D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，属于基础题．
首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可．
【解答】
解：圆 ，
，圆心 ，半径 ．
圆心到直线的距离 ．
．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不相邻的排列问题，属于基础题．
利用插空法，即可求出结果．
【解答】
解：利用不相邻问题插空可得排队的方法为：
种
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的值域，属于一般题．
由，可得，且，根据值域可得，从而可求解．
【解答】
解：时，，且，
作出的部分图象如图所示：
因为函数在区间上的值域为，
所以，解得．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线上在一点处的切线斜率，利用导数求函数值域，属于中档题．
画出图象，将转化为，两点横坐标绝对值之比，再构造函数利用导数求值域的方法求出的范围即可．
【解答】
解：如图，过作轴于，过作轴于，
由题意，，从而，故．
由于，从而，故，从而．
构造函数，，，解得．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，从而当时，取最小值，故，即的取值范围是．
17.【答案】【解答】
解：设 ，则 ，
则 ，
因为 则 ，
则 即 构成以 为首项， 为公比的等比数列
由可得 ， ，
则当 ，，
，
，
，
相加可得
，则 ，
又因为 符合上式，则 ．

【解析】本题考查等比数列的判定及通项公式，考查数列的递推关系，考查等差等比数列的前项和公式，属于中档题．
由已知可得，由等比数列的定义即可求解
由得，利用累加的方法，结合等差和等比数列的前项和公式求数列的通项公式即可．
18.【答案】解：因为的面积为，
所以，
所以，且．
因为，可得，解得，
．
因为，且，
所以，可得
所以，即．
因为
，
所以，即，解得或．
因为，所以，
所以．
【解析】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查两角和差的正弦与正切公式，考查同角三角函数的基本关系与诱导公式，属于一般题．
根据余弦定理及三角形面积公式可得，且，再根据同角三角函数的基本关系即可求解；
由可得，结合及两角和差的正弦公式，可得，故再代入即可求解．
19.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为，
所以．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，平面．
所以平面．
因为是线段的中点，
所以，，
因为，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，
所以平面；
解：如图，
在平面内过点作，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴、轴建立空间直角坐标系．
令，
因为，，，
故BCDE为直角梯形，
由平面几何知识可得，
所以，，，，
又由，得，
所以，，
设平面的一个法向量，
由得，
所以
不妨取，则，
又由题意得：平面的法向量，令平面与平面的夹角为，
因为，所以，即，
所以，
化理得，解得舍，，
即，
所以
所以线段的长为．
【解析】本题考查线面垂直的证明，二面角的向量求法，考查线段长的计算，属于中档题．
证明平面，，即可证明平面；
建立恰当的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出结论．
20.【答案】解：零假设为：药物药物对预防疾病无效果，
根据图中的列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为药物对预防疾病的有效，此推断犯错误的概率不大于．
从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，抽到未服用过药物的动物的概率为，抽到服用过药物的动物的概率为，
选取只动物中被治愈的动物的概率为，
由题意的可能取值为，，，，
则，
，
，
，
则的分布列为
的数学期望为．
【解析】本题主要考查了独立性检验，离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
根据图中的列联表中的数据，计算即可；
从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，先计算出选取只动物中被治愈的动物的概率为，由题意的可能取值为，，，，写出对应的概率，即可列出分布列，求出期望．
21.【答案】解：由题意可得，
整理可得，
所以曲线的方程为：；
设，．
由，，得，即
所以，，
从而直线的斜率，直线的斜率，
所以，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
从而直线的方程为，直线的方程为，
设，
由，得，，
因为，是上述方程的两个根，所以，
因此，，
同理，可得，，
所以，
，
从而，
因为，，可知，
所以，
当且仅当时取等号，满足，
因此，直线斜率不小于．
【解析】本题考查求点的轨迹方程及直线与椭圆的综合应用，属于难题．
由题意列等式，整理可得的轨迹方程；
设，，根据，结合题意可设直线的斜率为，则直线的斜率为，从而直线的方程为，直线的方程为，进而联立直线与椭圆方程求得点坐标，同理可以求得点坐标，进而表示出直线的斜率，再由基本不等式求解．
22.【答案】解：时，，
，
，
时，，的单调递增，
即在单调递增，
，
故在单调递减，
，
故在上的最大值为；
，
，
，
由题意得
，
由，
得，
即，
即，
令，又，则，
则，
即为，
由题意可得上式对，恒成立，
又，
则对恒成立，
令，，
，
若，则，在上单调递增，
，符合题意；
若，则，
则在上单调递减，在上单调递增，
则当时，，不符合题意；
综上所述，．
【解析】本题考查了导数中的不等式的证明，考查了利用导数求解函数的最值，属较难题．
利用导数求解，进而求解，判断单调性，即可求解最值；
不等式可化为，由可得对恒成立，构造函数，利用导数判断单调性，对分类讨论求解即可．
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