2023-2024学年江苏省苏州市高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市高三第一学期学业质量阳光指标调研卷数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.年月日，沪宁沿江高速铁路开通运营，形成上海至南京间的第二条城际高速铁路，沪宁沿江高速铁路共设座车站如图为体验高铁速度，游览各地风光，甲乙两人准备同时从南京南站出发，甲随机选择金坛、武进、江阴、张家港中的一站下车，乙随机选择金坛、武进、江阴、张家港、常熟中的一站下车已知两人不在同一站下车，则甲比乙晚下车的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
5.在梯形中，，，，以下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，，是圆上的两点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.若是函数的一个零点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则“”的充分不必要条件有( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，则( )
A. B.
C. 线段的中点到轴的距离为 D.
11.如图，在平面直角坐标系中，已知函数的图象为曲线，点，，，在上，点，，，在轴上，且，，，分别是以，，，为直角顶点的等腰直角三角形记点，的横坐标分别为，，则( )
A. B. C. 为等差数列 D.
12.如图，在长方体中，已知，，，为棱的中点，为底面上含边界的一动点记点轨迹的长度为，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 若平面，则
C. 若，则
D. 若到平面的距离为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标在一批棉花中随机抽测了根棉花的纤维长度单位：，按从小到大排序结果如下：，则估计这批棉花的第百分位数为 ．
14.已知，且，则 ．
15.已知单位向量，的夹角为，向量，若，则 写出一个可能值
16.在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，若，，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
霹雳舞在年杭州举办的第届亚运会中首次成为正式比赛项目某学校为了解学生对霹雳舞的喜爱情况，随机调查了名学生，统计得到如下列联表：
男生 女生 总计
喜爱
不喜爱
总计
请你根据列联表中的数据，判断是否有的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”
学校为增强学生体质，提高学生综合素质，按分层抽样从调查结果为“喜爱”的学生中选择人组建霹雳舞社团，经过训练后，再随机选派人参加市级比赛，设为这人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求证：
若点在边上，且，，，求的面积．
19.本小题分
已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足
若，，且，求
若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在多面体中，底面为平行四边形，，，，矩形所在平面与底面垂直，为的中点．
求证：平面平面
若平面与平面夹角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．
21.本小题分
已知函数．
求的极值
证明：．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，，直线与轴交于点，过的直线与交于，两点异于，，记直线和直线的斜率分别为，．
求的标准方程
求的值
设直线和直线的交点为，求证：在一条定直线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交并补混合运算，属于基础题。
先化简集合，再根据集合的基本运算即可求解。
【解答】
解：根据题意得 ，则或
又 ，则
所以，，
，．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算与复数的模，是基础题
利用复数的除法运算化简复数，进而求模即可．
【解答】
解：
，
．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了概率的计算，属于基础题．
利用古典概型即可求解．
【解答】
解：第一步，根据题目，甲有种选择，
因为两人不在同一站下车，所以乙有种选择，
所以总的选择方式有种．
第二步，甲比乙晚下车的情况可以分为三类，
当乙在金坛下车时，甲可以在武进、江阴、张家港之一下车，有种可能
当乙在武进下车时，甲可以在江阴、张家港之一下车，有种可能
当乙在江阴下车时，甲可以在张家港下车，有种可能
所以甲比乙晚下车的概率为．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的图像与性质，属于中档题．
根据的最小正周期，可得的值，进而得到的解析式，即可求解．
【解答】
解：由题意知： ，则，，
又时，，
所以，即时，在区间上取最大值．
故选C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的体积，了解组合体的形状是解题的关键，是中档题．
所得几何体为圆柱加上一个圆锥，根据旋转体的体积公式即可求解．
【解答】
解：如图，过点作的垂线，垂足为．
则由旋转体的定义可知，该梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱加上一个圆锥．
其中圆柱的底面半径，高，
其体积
圆锥的底面半径，高，
其体积．
故所求几何体的体积为．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆位置关系中的最值问题，属于一般题．
若最大时，，为圆的两条切线，设，可得，根据二倍角公式可得，求出的范围即可求解．
【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
则．
若最大时，，为圆的两条切线，
设，所以，
所以．
因为，所以，所以，
所以．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数函数的图象，考查对勾函数的图象，考查转化的思想，考查数形结合思想，属于较难题．
由题意可得，则函数与函数交于点，同理可得函数与函数交于点，函数与函数交于点，在同一坐标系作函数，，，的图象，再数形结合分析即可得出正确结论．
【解答】
解：由，
可得，
则，
则函数与函数交于点，
同理可得，，
则函数与函数交于点，
函数与函数交于点，
由题意可知，，为正实数，
在同一坐标系作函数，，，的图象，如下图所示，
数形结合分析可知，
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点，考查三角恒等变换，考查同角三角函数的基本关系，属于中档题．
利用三角恒等变换及同角三角函数的基本关系可得，由，可得，解得由，可得，由，，可得，求出，即可求解．
【解答】
解：
．
由，可得，
所以，即，
所以，解得．
因为是函数的一个零点，
所以，即，
所以．
因为，，所以，解得，
所以．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，充分不必要条件的判断，属于一般题．
根据不等式的性质和充分不必要条件的定义，逐项判定即可．
【解答】
对于，当，，但，不符合；
对于，，所以，能推出，；当，时，不成立，
所以是的充分不必要条件；符合；
对于，当，能推出；当，能推出，是充要条件，不符合；
对于，，则所以且．
当，时，，满足，但是推不出，所以是的充分不必要条件，符合，
所以选BD
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及其应用，属于中档题．
由题意求出抛物线的焦点，判断；可得标准方程，设，，联立直线与抛物线方程，消去，结合韦达定理可得，判断；求出线段的中点的横坐标，判断；利用，判断．
【解答】
解：如图，
直线斜率为，
抛物线，可得焦点坐标，准线方程为：，
直线，经过抛物线的焦点坐标，可得，A错误；
所以抛物线方程为：，
由题意可得：，可得，
设，，
则，，
所以，B正确；
直线与抛物线相交于、两点，则线段的中点的横坐标为，
则线段的中点到轴的距离为，C正确
，所以与不垂直，故D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数与数列，等差数列的判定，裂项相消法求和，属于难题；
根据题意，先求出，，，，，的坐标，
归纳出，，
然后逐项判断即可；【解答】【解答】
解：
如图，作轴，轴，轴，垂足分别为，，，
设的长度为，则代入，得，
，，
设的长度为，则代入，得，
，，
设的长度为，则代入，得，
，，
依次类推，，，
对于，，A错误；
对于，，，B正确；
对于，，， 为等差数列，C正确；
对于，，
，
，D正确；
故选项为；
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线线垂直的向量表示，线面平行的向量表示，两点间距离的向量求法，点面距离的向量求法，属于难题；
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立坐标系，设
利用线线垂直的向量表示，线面平行的向量表示，两点间距离的向量求法，点面距离的向量求法，得到动点的轨迹方程，在平面直角坐标系中求点轨迹的长度，逐项判断；【解答】
解：
如图，以为原点，建立坐标系，设
对于，，，，
若， 则，如下图
点轨迹的长度为图中线段的长，则，A正确；
对于， ， ，
设是平面的法向量，
，解得
若平面，，，化简得，如下图
点轨迹的长度为图中线段的长，，，，B错误；
对于，若， ，如下图

点轨迹的长度为图中第一象限的半圆弧长，则，C正确；
对于， 设平面的法向量是
，，
，解得，
到平面的距离为，
，化简可得，
，或，如下图
直线，与，围成的矩形框没有交点，只有与矩形交于，两点，点轨迹的长度为图中线段的长，，，，D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了百分位数的求法，属于基础题．
根据百分位数的定义求解．
【解答】
解：因为一共有个数据，，
所以第百分位数为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二项展开式的特定项的系数，属于中档题．
根据二项展开式通项公式得 的展开式中含项的系数为： ，求解即可．
【解答】
解：由题意， 为 中 的系数．
因为 的二项展开式的通项公式为 ， ，，
所以 的展开式中含 项的系数为： ，解得：．
15.【答案】写也对
【解析】【分析】
本题考查了单位向量，向量的长度模，向量的数量积的概念，属于基础题；
设，，，化简可得，
利用可解出取值，求出；【解答】【解答】
解：设，，
，
，
，
由于，
，解得，所以可能的取值为，，
当时，，
当时，，
所以或．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
设双曲线的另一个焦点为，根据，双曲线的对称性，则，
由双曲线的定义，可得所以，即进而求出离心率．
【解答】
解：如图所示：
因为过的直线与的左、右两支分别交于，两点，若，，
所以，，
在中，
又因为，所以，
所以，解得，
所以，解得，，
根据双曲线的对称性，则，
由双曲线的定义，可得．
所以，即，
化简整理得：，两边同时除以化为：，
解得： 负值舍去．
所以双曲线的离心率为：．
17.【答案】解： 由列联表得，
故有的把握认为“是否喜爱霹雳舞与性别有关”
由题意可知，抽取的人中，有男生人，女生人，
则的可能取值为，，，
，
，
，
故的分布列为
故 E．
【解析】本题考查了分层抽样、独立性检验及随机变量的分布列和数学期望等知识，考查考生的数据处理能力、运算求解能力，考查数据分析、数学建模、数学运算核心素养，属于中档题．
利用公式，根据临界值表，判断得解
已知利用分层抽样可得随机抽取的人中，有男生人，女生人，求出的可能取值，即可写出分布列和期望．
18.【答案】解：证明：由正弦定理得知，
化简即可得，
即有，
又，
因此．
由正弦定理可知，．
由知由题可知，，，
在与分别使用余弦定理可知：
，
解得：．
且，．
则面积为：．
【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题。
利用正弦定理结合正弦公式与三角形三角的关系即可证得。
在与分别对使用余弦公式，化简即可得到，的值，利用即可求得三角形面积。
19.【答案】解：等差数列的公差为，，，为的前项和，
，，
，
，
又在上是减函数，在上是增函数，
，，，，，
当时，或或或．
等差数列的公差为，，为的前项和，，
数列也是公差为的等差数列，
对成立，
，
数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
．
【解析】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，分组并项法求和，属于中档题。
利用等差数列的通项公式和前项和公式，二次函数的性质，即可求解；
由题设得对成立，
则，由分组并项法求数列的前项和．
20.【答案】解：证明：连接交于，连接，则为的中位线，所以．
因为平面，平面，所以平面．
在矩形中，，平面，平面，
所以平面．
，平面，，
所以平面平面．
因为，所以．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
以为原点，，分别为，，轴建立坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，取．
设平面的法向量为，
则有，取．
则有，解得．
则，，
设与平面所成角为，
则．
故CE与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查立体几何中面面平行，平面与平面的夹角和线面夹角，是中档题．
根据面面平行判定定理进行证明；
建立空间坐标系根据所给面面角求出长度，再利用数量积求线面角．
21.【答案】解：，
令，，在上单调递减，
当时，，即，单调递增
当时，，即，单调递减，
，无极小值．
设，则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，即．
，当且仅当时取“”．
要证，只需证：，
即证，．
令，，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，当且仅当时取“”，
．
不能同时取“”号，
．
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明函数的不等式，属于难题．
，令，由及可判断的单调性，从而可得的极值；
根据，可得，当且仅当时取“”要证，即证，．令，利用导数证明即可．
22.【答案】解：椭圆经过点，，
的标准方程为
直线：与轴交于点，
当直线的斜率为时，将代入椭圆方程可得，又，，
当时，，
则；
当时，，
则．
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，与交于，，两点异于，，
由
，，
．
又，
．
综上所述，．
证明：直线的方程为，直线的方程为，
，
直线和直线的交点为在定直线上．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题．
由题设得，即可求解；
当直线的斜率为时，可得；直线的斜率不为时，设直线的方程为，，利用韦达定理和直线的斜率公式得；
直线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点的纵坐标为，即可得证．
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