湖南省株洲市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试数学试卷（含解析）

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株洲市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试
数学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，则p的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．集合的子集个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列大小关系错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为D，区间，设，其中，则“”是“函数在区间I上单调递增”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
6．从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：km/h）（）的如下数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0 7 8 10 20
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为R
C．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称
11．已知正数m，n满足，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，将图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数的单调递减区间为
C．若存在使得，则的最大值与最小值的和为
D．设直线与和的图象分别交于M，N两点，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知角的终边经过点，则_______．
14．某汽车租赁公司的月收益y（单位：千元）与每辆车的月租金x（单位：千元）间的关系为．若要使公司的月收益最大，则每辆车的租金为_______千元．
15．函数（其中…为自然对数的底数）的反函数为，则_________．
16．若函数在上的最大值为2，则实数_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数为偶函数，求实数m的值；
（2）若函数的定义域为R，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数，且．
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）当时，求的值域
20．（本小题满分12分）
为了响应国家“土地流转”政策，某公司在城郊租赁了大量土地作为蔬菜种植基地，种植的蔬菜销往城内各大超市和农贸市场．今年冬季的某一天（记为第1天）有一批绿色有机大白菜开始陆续上市．据预测，大白菜上市的第1天至第60天内，每天的产量x（单位：kg）（注：每天的产量即为每天的销售量）近似地满足图1所示的两条线段对应的函数关系；每天的销售价格y（单位：元/kg）近似地满足图2（其中前一段为线段，后一段为函数）所示的函数关系．
（1）求这60天内每天的产量x，每天的销售价格y与第t天的函数关系；
（2）从开始销售起第几天的销售收入w（单位：元）最大 最大的销售收入是多少元
21．（本小题满分12分）
已知为二次函数，，不等式的解集为．
（1）求的解析式；
（2）若函数在上的值域为，求s，t满足的条件．
22．（本小题满分12分）
已知函数在定义域上为减函数，且值域为
（1）证明：；
（2）求实数m的取值范围；
（3）求的最大值．
株洲市部分中学2023-2024年高一上学期期末考试 数学
参考答案、提示及评分细则
1．【命题意图】本题重点考查存在量词命题与全称量词命题及其否定，属容易题．
【答案】A
【解析】由存在量词命题的否定可知，A正确．故选A．
2．【命题意图】本题重点考查集合的概念，表示，属容易题．
【答案】D
【解析】因为，所以集合A有4个子集．故选D．
3．【命题意图】本题重点考查指数函数，对数函数与三角函数的单调性，属容易题．
【答案】C
【解析】由指数函数，对数函数及三角函数的单调性，可知ABD正确．故选C．
4．【命题意图】本题重点考查充要条件，函数的单调性和学生的阅读理解能力，等价转化思想，属容易题．
【答案】A
【解析】函数在区间I上单调递增的充要条件是，当时，都有，或当时，都有，即对与同号，也即．故选A．
5．【命题意图】本题重点考查函数零点存在定理，二分法，属容易题．
【答案】B
【解析】由二分法可知，第一次计算，因为，所以零点在区间上，所以第二次应该计算．所以零点在区间．故选B．
6．【命题意图】本题重点考查函数的应用，数学建模与数形结合，属中档题．
【答案】B
【解析】作出Q与v的散点图，由散点图可知，答案为B．故选B．
7．【命题意图】本题重点考查简单的三角恒等变换，属中档题．
【答案】C
【解析】
故选C．
8．【命题意图】本题重点考查抽象函数及其性质，考查转化与化归的思想，属稍难题．
【答案】B
【解析】令，则，得；令，则，
所以；令，
则，
所以为奇函数，故，即，
所以．故选B．
9．【命题意图】本题重点考查两个集合的交集与并集运算，属容易题．
【答案】BD
【解析】易知BD正确；对于A，，所以A不正确；
对于C，，所以C不正确．故选BD．
10．【命题意图】本题重点考查分段函数，函数图象与性质，属容易题．
【答案】ABD
【解析】由的定义和图象，可知ABD正确．故选ABD．
11．【命题意图】本题重点考查不等式与基本不等式、指数函数的性质，属中档题．
【答案】BCD
【解析】因为m，n为正数，且，所以，得，所以A不正确；
由，得，即，所以B正确；
因为，
当且仅当，即时取等号，所以C正确；
因为，所以，所以．所以D正确．
故选BCD．
12．【命题意图】本题重点考查三角函数的图象与性质，简单的三角变换，方程的根与函数的零点，考查数形结合的思想，转化与化归的思想，属稍难题．
【答案】AC
【解析】因为．所以，
所以A正确；
因为函数的定义域为．
即，又的增区间为，
所以的单调递减区间为，所以B不正确；
因为，结合的图象，可知的最小值为，
最大值为，
所以的最大值与最小值的和为，所以C正确；
因为
所以的最大值为﹐所以D不正确．故选AC．
13．【命题意图】本题重点考查三角函数的定义，属容易题．
【答案】
【解析】由三角函数的定义，可知．故答案为．
14．【命题意图】本题重点考查函数的应用，一元二次函数，属容易题．
【答案】5
【解析】因为，所以当（千元）时，有最大值．
故答案为5
15．【命题意图】本题重点考查指数函数与对数函数的关系，指对数的运算，属中档题．
【答案】1
【解析】因为，所以．
故答案为1．
16．【命题意图】本题重点考查函数的性质，转化与化归，分类与整合的数学思想，属稍难题．
【答案】
【解析】令，因为时，，所以；若，则在上为减函数，所以，此时a无解；若．则在上为增函数，所以，此时
故．
17．【命题意图】本题重点考查指对数的运算、三角函数的诱导公式，特殊角的三角函数值，考查学生的数学运算能力，属容易题．
【解析】（1） 5分
（2）． 10分
18．【命题意图】本题重点考查函数的概念与性质，一元二次不等式，考查学生转化与化归的思想，属容易题．
【解析】（1）因为为偶函数，所以，
即，
所以对定义域内的任意实数恒成立，所以； 6分
（2）由已知，对任意的恒成立，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围为． 12分
19．【命题意图】本题重点考查简单的三角恒等变换，三角函数的图象与性质，属容易题．
【解析】（1）的定义域为； 3分
因为，
由，得，所以， 4分
所以
即， 5分
所以的最小正周期为； 6分
（2）因为．所以，
所以当，即时，有最小值，
当，即时，有最大值，
所以的值域为． 12分
20．【命题意图】本题重点考查函数的应用、分段函数，考查数学建模与数学运算，属中档题．
【解析】（1）当时，设，由已知有，
解得，此时； 1分
当时，设，由已知有，
解得，此时； 2分
所以， 3分
当时，设，由已知有，
解得，此时； 4分
当时，，由已知有，
解得，此时； 5分
所以 6分
（2）当时，每天的销售收人为，
此函数在内单调递增，
所以当时， （元）； 8分
当时，每天的销售收入为，
此函数在内单调递增，
所以当时， （元）； 10分
当时，每天的销售收入为，此函数在内单调递减，
所以从开始销售起，第30天的销售收入w最大，最大销售收入是5236元． 12分
21．【命题意图】本题重点考查一元二次函数，一元二次不等式，函数的值域等函数与不等式的基础知识，考查学生的数学运算与推理能力，考查数形结合的数学思想，属中档题．
【解析】（1）因为为二次函数，所以也为一元二次函数，
故可设，所以，
由，所以，得，所以； 6分
（2）因为，所以当时，取最小值，
又由，得或，
结合的图象，可知，且中至少有一个成立，
所以s，t满足的条件为或 12分
22．【命题意图】本题重点考查对数函数的性质，不等式，一元二次方程根的分布，对勾函数的性质，考查学生的数学运算与推理能力，考查函数与方程，转化与化归、数形结合、分类与整合的数学思想，属难题．
【解析】（1）由，得或，所以或， 1分
又，且，所以， 2分
所以； 3分
（2）因为为减函数，所以， 4分
且在上的值域为，所以
故a，b为方程在上的两个根，即有两个大于4的根，
所以，解得
所以； 8分
（3）因为，令，
则，当且仅当时取等号， 9分
所以当时，在上单调递减，所以，
因为，
所以 10分
当时，因为，所以，
， 11分
当，在上单调递增，所以，
因为，
所以． 12分