内蒙古赤峰市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

赤峰市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆心角为2的扇形面积为2，则该扇形的半径为（ ）
A．1 B． C．4 D．2
4．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：
x 0.5 1 0.75 0.625 0.5625
1 0.462 0.155
则该零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的部分图象如图所示，若，则可能为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线轴对称 D．的值域为
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x，则下列命题是真命题的是（ ）
A．本利和y关于存期数x的函数解析式为
B．本利和y关于存期数x的函数解析式为
C．若存人本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为1022.5元
D．若存入本金1000元，每期利率为，则4期后的本利和为1090元
12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是周期为2的周期函数 B．当时，
C．的图象与的图象有两个公共点 D．在上单调递增
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．___________．
14．函数的定义域为___________．
15．已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为___________．
16．已知，且，则m的最小值为___________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求a的取值范围．
18．（12分）
已知角a的终边经过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（12分）
已知函数为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明．
20．（12分）
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值以及取得最大值时x的集合．
21．（12分）
某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：
元 1 2 3 4
万件 3 2 1.5 1.2
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．
（1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）设，若，求t的取值范围．
高一数学试卷参考答案
1．C 存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．D 因为，所以．
3．B 由，可得，解得．
4．D 对于A，定义域不同，不是同一函数．对于B，对应关系不同，不是同一函数．对于C，定义域不同，不是同一函数．对于D，两个函数定义域、值域、对应关系相同，是同一函数．
5．C 由，得该零点所在的区间为．
6．A 若，则，则．若，则．所以
“”是“”的充分不必要条件．
7．B 由题意可得，解得．
8．D 由图可得，则，解得．由，得，解得．因为，所以或，解得或，当时，符合题意．
9．AD 的最小正周期为，A正确．既不是奇函数，也不是偶函数，B错误．的图象不关于直线轴对称，C错误．的值域为，D正确
10．BCD 对于选项A，当时，不等式显然不成立，A错误；对于选项B，由糖水不等式可得B正确；对于选项C，因为，所以，则，C正确；对于选项D，因为，所以，所以，D正确．
11．AC 本利和y关于存期数x的函数解析式为，A正确，B错误．若存入本金1000元，每期利率为，则1期后的本利和为元，4期后的本利和为元，，C正确，D错误．
12．ACD因为，所以，所以，所以是周期为2的周期函数，A正确．当时，，则，当时，，则，B错误．作出在上的大致图象，如图所示，作出的大致图象，由图可知，的图象与的图象有两个公共点，C正确．由图可知，在上单调递增，又是周期为2的周期函数，所以在上单调递增，D正确．
13． ．
14．的定义域为．
15． 当时，．令，得，解得．因为是定义在上的偶函数，所以不等式的解集为．
16．9由，得，即．因为，所以．令，则，解得或（舍去），即．故m的最小值是9．
17．解：（1）． 1分
， 3分
． 5分
（2）因为，所以解得．
故a的取值范围是． 10分
18．解：（1）根据三角函数的定义，可得． 5分
（2）
9分
11分
． 12分
19．解：（1）由题意可得， 1分
则， 3分
解得． 5分
（2）在上单调递减． 6分
证明：令，则， 7分
， 10分
即 11分
故在上单调递减． 12分
20．解：（1）由题意可得． 4分
（2）令， 6分
解得，
所以的单调递增区间为． 8分
（3）因为，所以． 9分
当，即时，．
所以的最大值为1，取得最大值时x的集合为． 12分
21．解：若选择模型，将代入可得，即．
经验证，均不满足，故模型不合适． 2分
若选择模型，因为过点，所以模型不合适． 4分
若选择模型，将代入可得，即．经验证，，均满足，故模型最合适，且． 6分
（2）． 7分
要使生产的产品可以获得利润，则． 9分
因为，所以，即．
因为，所以． 11分
故该产品的销售单价应该高于元． 12分
22．解：（1）当时，由，得，即，
， 2分
解得，即的零点为5． 4分
（2）． 5分
因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以在上单调递减， 6分
则， 7分
所以， 8分
即对任意的恒成立． 9分
设函数，因为，所以在上单调递增， 10分
则， 11分
解得，故t的取值范围为． 12分