浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高三上学期期末测试数学试卷（含答案）

慈溪市2023学年第一学期期末测试卷
高三数学学科试卷
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．3
4．已知函数，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．图①中的“马头墙”是我国江南传统民居建筑的重要特色之一，它的顶部称之为垛．每只垛的结构如图②，可近似地看成由一个正三棱柱和两个完全相同的正四面体构成的几何体．已知，，，现计划覆以小青瓦，覆盖面为“前”“后”两面，“前面”如图③阴影部分，则小青瓦所要覆盖的面积为（ ）
图① 图② 图③
A． B． C． D．
6．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
7．已知四边形ABCD的四个顶点在抛物线上，则“A，B，C，D四点共圆”是“直线AC与BD倾斜角互补”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某电商平台为了对某一产品进行合理定价，采用不同的单价在平台试销，得到的数据如下表所示：
单价x/元 8 8.5 9 9.5 10
销量y/万件 89 85 80 78 68
根据以上数据得到与具有较强的线性关系，若用最小二乘估计得到经验回归方程为，则（ ）
A．相关系数 B．点一定在经验回归直线上
C． D．时，对应销量的残差为
10．已知为直线上的一点，动点与两个定点，的距离之比为2，则（ ）
A．动点的轨迹方程为 B．
C．的最小值为 D．的最大角为
11．对于任意实数，表示为不超过的极大整数，如，，（ ）
A．若时，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
12．已知直三棱柱，，，，，，平面EFG与直三棱柱相交形成的截面为，则（ ）
A．存在正实数，，，使得截面为等边三角形
B．存在正实数，，，使得截面为平行四边形
C．当，时，截面为梯形
D．当，，时，截面为梯形
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
14．若，，且，则的最小值为_______．
15．若函数有两个零点，则正整数的最小值为_______．（其中是自然对数的底数，参考数据：，）
16．已知双曲线的左顶点为，在焦点为F，P为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）若，BC边上的中线，求的面积．
18．（12分）已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，若对任意恒成立，求实数的最小值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，．
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为12，求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值．
20．（12分）已知A，B分别为椭圆的左右顶点，点，在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于C，D两点，若直线AC与BD相交于点，求证：点在定直线上．
21．（12分）某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题．
问题1：你的学号是不是奇数？
问题2：你是否沉迷手机？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
（1）如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比．
（2）某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5．
（ⅰ）求该学生第三天不玩手机的概率P；
（ⅱ）设该学生第n天不玩手机的概率为，求．
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求的取值范围．
慈溪市2023学年第一学期期末考试
高三数学学科参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C A D C B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD ABD AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．252； 14．2； 15．18； 16．．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．（1）因为，
即，
所以， 3分
又因为，所以，所以． 5分
（2）方法1：因为，
所以，即，
所以①； 7分
由余弦定理得，②； 8分
所以由①②得， 9分
所以． 10分
方法2：由余弦定理得：
，
因为，
所以①； 7分
又②； 8分
所以由①②得， 9分
所以． 10分
18．（1）设等差数列公差为，则
1分
解得 3分
所以 4分
（2）由（1）知， 5分
所以，①
，② 7分
由①－②相减得：
9分
故 10分
所以 11分
所以 12分
19．（1）连接AC．
因为，，
所以，又因为，，
所以，
所以，即． 2分
因为，，所以平面PAC
所以， 3分
由，，所以平面ABCD， 4分
所以． 5分
（2）因为，所以． 6分
建立以为原点，AC，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，，，， 7分
设平面PBC的一个法向量为，则
，即，取 9分
设平面PCD的一个法向量为，则
，即，取 11分
所以，
所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为． 12分
20．（1）由题意知， 2分
解得， 2分
所以椭圆方程为 5分
（2）设直线的方程为，，，
由得，， 7分
所以，．
直线AC方程为，直线BD方程为，
由得，． 9分
又因为，，
所以
所以点在定直线上． 12分
21．（1）设“回答问题1”记为事件，“回答问题2”记为事件，回答“是”记为事件，则，， 3分
因为 4分
所以，
即该城市沉迷手机的中学生所占． 5分
（2）（ⅰ） 7分
（ⅱ）由题意知，第天不玩手机的概率是，第天玩手机的概率是，所以 9分
即 10分
所以 11分
所以 12分
22．（1） 2分
，又， 4分
所以曲线在处的切线方程为． 5分
（2）方法1：由得， 6分
因为，所以对恒成立， 8分
因为，，所以． 10分
下证时，在上恒成立．
因为，
当，时，，即，
综上所述，的取值范围为． 12分
方法2：令，，
（1）当时，在上恒成立； 7分
（2）当时，，
因为，，
所以当时，，所以在上单调递增，所以，这与条件矛盾，所以此时不成立． 9分
当时，，，所以存在时，，所以在上单调递增，所以当，这与条件矛盾，所以此时不成立． 11分
综上所述，的取值范围为． 12分