广西壮族自治区三新学术联盟2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含解析）

广西2023年秋季学期高二期末教学质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，将答题卡交回。
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则z＝（ ）
A．﹣4 B．4 C． D．
3．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C．4 D．
4．已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
5．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．正项等比数列的前n项和为，，，则等于（ ）
A．9 B．72 C．70 D．48
7．已知双曲线()，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．如图所示空间直角坐标系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成的角为，则P点的坐标满足（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（ ）
A． B．1 C．3.8 D．4.2
10．关于x，y的方程表示的曲线可以是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
11．已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．最小 C． D．
12．如图，在长方体中，点P是底面内的动点，E，F，O，K分别为AB，BC，BD，的中点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．三棱锥P﹣ABD的体积不变，表面积改变
C．若平面，则
D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若点在抛物线上，则该抛物线的方程为______．
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
15．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为______个．(用含n的代数式表示)
16．如图，棱长为1的正方体上有两个动点分别从顶点A，C同时出发，以相同的速度1分别向点B，D运动，最后同时到达，则在运动的过程中，两个动点间的最小距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．(本小题满分10分)在等比数列中，
(1)已知，，求前4项和；
(2)已知公比，前6项和，求．
18．(本小题满分12分)已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)已知的周长为，其中点，．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围．
20．(本小题满分12分)如图，O是圆柱下底面的圆心，该圆柱的轴截面是边长为4的正方形ABCD，P为线段AD上的动点，E，F为下底面上的两点，且，，EF交AB于点G．
(1)当时，证明：平面CEF；
(2)当为等边三角形时，求二面角的余弦值．
21．(本小题满分12分)已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程．
22．(本小题满分12分)已知数列是以公比为3，首项为3的等比数列，且．
(1)求出的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数λ的取值范围．
高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 由得，∴，故焦点为．故选B．
2．A 因为，所以．故选A．
3．D 椭圆，则，所以，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为．故选D．
4．A 在等差数列中，，所以，所以公差．故选A．
5．B 由得则两直线与的交点为，依题意得，解得．故选B．
6．D 由题意，，设公比为q，，．故选D．
7．C 由于，因此点A到渐近线距离为，一条渐近线方程为，有，可得．故选C．
8．A 由正三棱柱，且，根据坐标系可得：，，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，因为直线PA和底面ABC所成的角为，
所以，整理得，又z＝2，所以．故选A．
9．AC 两圆的圆心，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或．故选AC．
10．ABD由题意得：对于方程，
①当时，方程即，表示圆；
②当时，方程即，即，表示y轴；
③当且时，方程即，若，方程表示双曲线；若且，方程表示椭圆．
综合可得：方程不可能是抛物线．故选ABD．
11．AC 根据题意，数列是等差数列，若，得，，
，所以选项A正确；
，
如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小；
如果，则，，由于，则没有最小值．所以选项B错误；
，∴，所以选项C正确；
，所以选项D错误．故选AC．
12．BC对于A，，所以，当P点在线段上时，的最大值为1，故A错误；
对于B，因为P点到底面ABD的距离为，底面面积为，所以三棱锥P﹣ABD的体积为，是定值；三棱锥与三棱锥表面积不同，故B正确；
以D为原点，DA，DC，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，于是，，
，，设点P坐标为，则，，，所以，，
解得，，于是，故C正确；
由上述坐标系知，则
，于是当，时，取最小值，故D错误．故选BC．
13． 由在上，代入可得，即抛物线的方程为．
14． 空间向量，，则向量在向量上的投影向量是：
．
15． 由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；
第2个图中有11个化学键和10个原子；
第3个图中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为．
16． 如图，建立空间直角坐标系，
根据题意可得：两动点间距离最小值坐标分别为，，，
由空间两点间距离公式可得，
因为，所以当时，取最小值．
17．解：(1)设公比为q，由，，得，所以，
所以；
(2)由得，．
18．解：(1)，A，B的中点为，
故AB的垂直平分线所在的直线方程为，
即，解得故圆心为，
半径，故圆C的方程为；
(2)当直线l斜率不存在时，此时与圆C没有交点，不合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即，
由，可得圆心到直线l的距离为，解得或0，
故直线l的方程为或．
19．解：(1)由题意可知，根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，
因此，c＝1，则点C轨迹方程为，；
(2)设点，因为点A与点D关于直线对称，
于是有解出即点，
设点为点C轨迹方程上一点，满足，，
则，
由于，因此．
20．解：(1)解法一：连接OP，CG，由题意可知，且，因此，且点G为OA中点，
考虑与，，，且，
因此，故，因此，
在圆柱中，平面AEF，平面AEF，因此，又因为，，
DA，平面ABCD，因此平面ABCD，
由于平面ABCD，因此，
由于，，，EF，平面CEF，因此平面CEF；
解法二：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
此时，，，
由于，，可求出，，
因此，，，
设平面CEF的法向量，则
不妨令，则，，则，
由于，因此平面CEF；
(2)以A为坐标原点的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则有，，，，设，
若为等边三角形，则，
，，于是或(舍去)，
由(1)知平面CEF的法向量为，
，，设平面PEF的法向量为，
则取，则，，，
设二面角P﹣EF﹣C为α，．
21．解：(1)由题知，设直线AB的方程是，A，B两点的坐标分别为，，
与联立，消去y，得，所以，
由抛物线定义得，
所以，从而抛物线方程是；
(2)由题知，直线MN的斜率存在且不为0，，设直线MN的方程是，
联立方程得，化简得，
由，解得，
设，，则
∴，
∴
，∴，
解得，，满足，
∴直线l的方程为．
22．解：(1)∵数列是首项为3，公比为3的等比数列，∴，
∴当时，，
即，∴，∴．
又也满足上式，∴数列的通项公式为；
(2)由(1)，可得，
∴①，
②，
由①﹣②，得，
∴，
∴不等式可化为，
即对任意的恒成立，
令且为递增数列，即转化为．
当n＝1时，，所以，
综上，λ的取值范围是．