郑州市2023一2024学年上期期末考试
高二数学试题卷
注意事项：
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分
钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，
在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.过点P(2,一1)，且倾斜角为90°的直线方程为
A.y=-1
B.x=2
C.y=2
D.x=-1
2.已知点A(一2,3,0)，B(1,3,2),AD=3A克，则点D的坐标为
A.(-11,3,-6)B.(9,0,6)
0
C.(7,3,6)
D.(-1,15,6)
3.已知数列{an}的前n项和为S.,且Sn=3n2-n十4，则a4=
A.20
B.28
C.32
D.48
4,已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为
4,到y轴的距离为3，则p=
A.1
B.2
C.3
D.6平
a2x-y+1=0,
5.若关于x,y的方程组
无解，则a的值为
x-ay-2=0
A.-1
B.±1
C.1
D.0
6.已知a=(5,m,5),b=(,号，1，且a∥b,则m和m可分别作为
A.双曲线和抛物线的离心率
B.双曲线和椭圆的离心率
C.椭圆和抛物线的离心率
D.两双曲线的离心率
高二数学试题卷第1页（共6页）
7.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在
空间直角坐标系中，若平面a经过点P。(xo,yo,),且以u=(a,b,c)(abc≠0)
为法向量，设P(x,y,z)是平面&内的任意一点，由u·Po户=0，可得a(x一x)
十b(y一y)+c(之一)=0，此即平面的点法式方程.利用教材给出的材料，解决
下面的问题：已知平面a的方程为2x十2y十之一7=0，直线1的方向向量为
(1,2,一2)，则直线1与平面α所成角的正弦值为
A.65
9
B号
C⑤
3
D哥
8.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆
的面积除以圆周率π等于箱圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆C:等十
苦-1(>6>0)的面积为20，点M在椭圆C上，且点M与椭圆C左，右顶点
A,A连线的斜率之积为一碧，侧MA·的值不可能为
A.-9
B.-5
C.0
D.2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD1中，E,F分别为BB1,DD
的中点，则
D
A.OC⊥OF
A
B.CE与OF所成角的余弦值为西
C.A,E,C,F四点共面
D.△AEF的面积为√6
10.已知两圆C1:x2+y2=9,C2:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是
A,点(4,0)在圆C2内
B.圆C2关于直线x+3y一2=0对称
C.圆C与圆C2外切
D.点P在圆C1上，点Q在圆C2上，则|PQ|的最大值为6
高二数学试题卷第2页（共6页）郑州市 2023—2024 学年上学期期末考试
高中二年级数学参考答案
一、单项选择题，本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B C A B D
二、多项选择题，本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号 9 10 11 12
答案 ACD BD AC ABD
三、填空题，本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.
13. （ 2, 4,3）; 14. 写出 2x y 0或 x 2y 5 0 或 x 2y 5 0 一条即可；
29
15 . ;3 16.6n-4.
四、解答题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：(1)由题意可知，H为 AB的中点，
A（ 1,3），B（2,0 1 3）， H（ , ）. ........1 分
2 2
k 3 0 1又 AB 1 ， kCH 1 . ........3 分 1 2 kAB
∴CH 3 1所在直线方程为 y x ,即 x y 1 0 . ........5 分
2 2
2x y 4 0， x 3，
（2）由 解得 所以C（ 3, 2）. ........7 分
x y 1 0 y 2
又直线AB方程为y (x 2），即x y 2 0 . ........8 分
C | 3 2 2 | 7 2 点 到直线AB的距离d . ........10 分
2 2
18.解：（1）设圆 C的半径为 r, 过 P向圆 C所作切线的一个切点为 Q,
PQ PC 2由 r 2 知，当|PC|最小时，切线段|PQ|的长度有最小值，自圆心
C向直线2x y 3 0引垂线段 CP，此时|PQ|有最小值.
1
{#{QQABJQgAggggQBAAAQhCEwVoCgKQkBGACAoOABAMIAIAiBFABAA=}#}
........1 分
∵ 圆心 C到直线2x y 3 0 2 3的距离 d= 5.即 PC 5. ........3 分
2 min2 1
r （ 5）2∴ 2
2 1. ........5 分
x 1 2 y2 1
∴ 圆的方程为 . ........6 分
3 2 1 22 C x 1 2 y2 1 C ' 1（ ）由圆 ： 和圆 ： x y ，
2 2 2
两圆方程相减得，公共弦 AB所在直线方程为 x y 2 0 . ........8 分
∴圆心 C到直线 x y 2 0的距离为 d= 1 0 2 2 . ........10 分
12 12 2
∴弦长 AB 2 r
2 d 2 2 . ........12 分
19.解：（1）设等差数列的公差为 d，则由题意得
5a1 10d 3(3a 3d ) 2 ，
........2 分
1
a1 (2n 1)d 2[a1 (n 1)d ] 1
a1 1 ，
解得 ........4 分
d 2.
∴数列{an}的通项公式为 an 2n 1. ........5 分
（2）由题意得，数列{bn}为等比数列，公比为－1，
所以{bn}的通项公式为bn ( 1)n . ........6 分
∴ an bn ( 1)
n (2n 1) . ........7 分
当 n 为偶数时，T nn 1 3 5 7 ( 1) (2n 1) n；
当 n 为奇数时，Tn 1 3 5 7 ( 1)
n (2n 1) n. ........11 分
综上所述，Tn ( 1)
nn. ........12 分
（Tn的最终结果写成分段函数形式也可以.）
20. 解：（1）∵曲线C上的动点P(x, y)(x 0) 到点F 2,0 的距离比 P 到直线
2
{#{QQABJQgAggggQBAAAQhCEwVoCgKQkBGACAoOABAMIAIAiBFABAA=}#}
x 3的距离小 1，
∴ 动点 P(x, y) 到直线 x 2 F 2,0的距离与它到点 的距离相等.
p
故所求轨迹为以原点为顶点,开口向右的抛物线, 且 1， ........2 分
2
p 4 .
∴点 P的轨迹 E的方程为 y2 8x . ........4 分
（2）证明：由题知直线 l的斜率存在且不为零，
设 l的方程为 y k(x 2) ， ........5 分
y2 8x
联立 得k 2x2 (4k 2 8)x 4k 2 0 ，
y k(x 2)
（4k 2 8)2 16k 4 64(1 k 2 ) 0，
A x , y ,B x , y x 4k
2 8 8 1 k 2
设 1 1 2 2 ，则 1,2 ，2k 2
8 4k 2
∴ x1 x2 , x2 1x2 4 . ........7 分k
y1 y2 k xk k 1 2 k x2 2 ∴ FA FB x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
k x1 2 x2 2 k x1 2 x2 2 2k x1x2 4
x1 2 x2 2 x1 2 x 2
， ........10 分
2
∵ x1x2 4，∴ kFA kFB 0 . ........11 分
即直线 FA与直线 FB的倾斜角互补. ........12 分
21.解：（1）取 AC的中点 Q，连接 PQ，C1Q，得 PQ为△ABC的中位线，
∴PQ∥BC，且 PQ＝ 1 BC.
2
而 A1C1＝1，A1C1=B1C1 ，BC∥B1C1，
则 PQ∥B1C1，PQ＝B1C1，
∴四边形 PQC1B1为平行四边形，
∴B1P∥C1Q . ........ 3 分
又∵B1P 平面 ACC1A1，
C1Q 平面 ACC1A1 ，
3
{#{QQABJQgAggggQBAAAQhCEwVoCgKQkBGACAoOABAMIAIAiBFABAA=}#}
∴B1P∥平面 ACC1A1 . ........ 5 分
（2）如图，以 CA，CB，CC1 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间
直角坐标系. 则 B1（0，1，2），C（0，0，0），P（1，1，0），
所以CB1 (0,1,2),CP (1,1,0) . ........6 分
设平面 B1CP的一个法向量为 n 1 (x, y, z) ，
n CB1 0,由
y 2z 0,
得
n CP 0 x y 0.
可取n1 (2, 2,1) . ........7 分
易知平面 ACC A 平面的法向量为n2 (0,1,0)1 1 . ........9 分
设平面 B1CP与平面 ACC1A1的夹角为 ，则
cos | cos n ,n | | n1 n | 2 1 2 2
n n 3
.
1 2
∴ 平面 B1CP与平面 ACC
2
1A1的夹角余弦值为 . ........12 分
3
22.（1）解：由题意得 ........ 2 分
2
e2 1 b 2 2 ， a 3
2
2b 2 6
. a 3
解得 a 6, ........ 3 分
b 2.
x2 y2
∴ 椭圆的标准方程为： 1. ........ 4 分
6 2
（2）假设椭圆C上是存在点 P，设为 (x0 , y0 )，使得四边形 OMPN为平行四边形.
设直线 l的方程为： x ty 2 , ........ 5 分
x2 y2
联立 x ty 2与 1消去 x得 (t 2 3)y2 4ty 2 0，
6 2
判别式 24(t 2 1) 0 ,
4
{#{QQABJQgAggggQBAAAQhCEwVoCgKQkBGACAoOABAMIAIAiBFABAA=}#}
2t 6(t 2M (x , y ) N (x , y ) , 1)设 1 1 2 2 则 y1,2 ,t 2 3
y y 4t ,
1 2 t2 3
∴ 2 ........ 7 分 y1 y . 2 t2 3
x y
则 MN 6 2t中点坐标为 ( , 0 0t2 3 t2
)，OP中点坐标为 ( , ) ,则
3 2 2
x0 6
2 ， x
12
，
2 t 3 0 t 2 3
解得 ........ 9 分
y0 2t y 4t 2 t 2 3 0 t 2 3
4
代入椭圆方程 t 2t
2 15 0，解得 t 2 5. ........10 分
3 5
此时P( , )， ........11 分
2 2
所以椭圆C上是存在点 P，使得四边形 OMPN为平行四边形. ........12 分
5
{#{QQABJQgAggggQBAAAQhCEwVoCgKQkBGACAoOABAMIAIAiBFABAA=}#}
