6已知双曲线C号-苦=1(a>0,6>0)的左右焦点分别为里R,4为C的右顶点，以
运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试
FR:为直径的圈与C的一条南近线交于P,Q两点，且∠P4Q=3要，则双曲线C的离心率为
高三数学试题
A.3
8丹
C.5
D.3
2024.1
本试题满分150分，考试时问120分钟。答乖一律写在答题卡上。
7.已知等差数列1a.中，4=受设函数e)=cox-i红-25in0s名-1，记.
f(an),则数列{y.的前17项和为
注意事项：
A.-51
B.-48
C.-17
D.0
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认来械对条形码上的姓
8.已知四楼锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PA=PB=3,LPAC=45°，则直线PD
名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
与平面ABCD夹角的正弦值为
2.答题时使用05毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，宇体工整、笔迹清楚。·
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区战书写的答案无效。
A.3位
B.2
17
17
c停
D子
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
“、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是
9.关于下列命题中，说法正确的是
符合题目要求的
A.若事件A、B相互独立，则P(A|B)=P(A)
1复数x=2则|等于
B.数据63,67,69,70,74,78,85,89,90,95的第45百分位数为78
C.已知P(A)=0.65,P(AB)=0.32,则P(AB)=0.33
A.1
B.5
C.2
D.已知专-N0,1),若P(5<1)=P,则P(-1≤5≤0)=之-P
2设x后R,则0≤x≤3”是“产2≤0”的
10.已知函数x)=an(牙+平)+1，则
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
A.f(x)的一个周期为2
Bx)的定义域是{xx≠号+k,ke2
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
e￥
3.已知x)=1。是奇函数，则8=
C代x)的图象关于点(2，对称
D(x)在区间1,2上单调递增
11.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，P是直线A1D上的一个动点，则下列结论中正
A.-2
B.-1
G.2
D.1
确的是
4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增
2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增项目的比赛，且每
A.C,P的最小值为
个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有
B.PB+PC的最小值为2√3+V6
A.150种
B.300种
C.720种
D.1008种
C三棱锥B,-4CP的体积为
5.设a=(得”，6=h02c=1a,4则o,e的大小关系为
D.以点B为球心，25为半径的球面与面AB,C在正方体内的交线长为。
3
A.a>b>c
B.b a>c
C.c>ax b D.b>c>a
高三数学试题第1页（共4页）
高三数学试题第2页（共4页）高三期末数学答案
一、DBCAD CCB
二、9.AC 10.ACD 11.ABD 12.CD
4 2 3
三、7 -80 , 3 ln 3
四、解答题：
17．（12分）
（1）由正弦定理知， 2sin B cosC 2sin A sinC， ...........................................................1分
sinA sin B C sinBcosC cosBsinC， ...........................................................2分
代入上式得 2cosB sinC sinC 0，
， C (0, ), sinC 0, cosB 1 , ...........................................................3分
2
B (0, ) B . ..........................................................4分
3
（2）若选①：由 BD平分 ABC得: S ABC S ABD S BCD ，..............................................5分
1 ac sin 1 3a sin 1 3c sin .， ..........................................................6分
2 3 2 6 2 6
即 ac 3(a c) . ..........................................................7分
在 ABC 2 2 2中，由余弦定理得b a c 2ac cos ，
3
a2 c2 ac 12， ..........................................................8分
ac 3(a c)
联立 ，得 (ac)2 9ac 36，
a
2 c2 ac 12
解得 ac 12， .........................................................9分
S 1 1 3 ABC ac sin B 12 3 3 ..........................................................10分2 2 2
1 2 1 1 2 2若选②：得 BD BA BC ,BD (BA BC)2 BA 2BA BC BC ，2 4 4
得 a2 c2 ac 36， .........................................................7分
2 2 2
在 ABC中，由余弦定理得b a c 2ac cos ，
3
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
a2 c2 ac 12， ..................................................8分
a2 c2 ac 36
联立 得2 2 ac 12， .................................................9分 a c ac 12
S 1 ABC ac sin B
1
12 3 3 3 ..................................................10分
2 2 2
18. 解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为 q，
a a2 2则 1 ， a3 a2q 2q， .........................................................................................1分q q
a1,a2 ,a3 1成等差数列，
2a2 a1 a3 1，.........................................................................................................................2分
2
即 2q 1 4 .....................................................................................3分
q
化简整理得： 2q2 5q 2 0 ,
1
解得 q 或 q 2，
2
a2 0,数列{an}单调递增， q 2， ..................................................................................4分
2
首项a1 1，2
an 1 2
n 1 2n 1，n N * . ....................................................................................5分
an 1(n为奇数） 2n 1 1(n为奇数）
（2）由（1）知，可得bn 1 = , .......................7分
an (n为偶数） 2
n 2 (n为偶数）
2
则数列{bn}的前 20 项和为：
b1 b2 b3 b19 b20
=a1 a3 a
1
5 a19 10 (a2 a4 a6 a20） ..................................9 分2
= (20 22 24 218 10) (20 22 24 218 )
= (20 22 24 218 ) 2 -10
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
1 410= 2 10
1 4
221 32
= . ..........................................................................................................................10 分
3
19. （1）存在，当 B1C为圆柱OO1的母线时，BC AB1． ...............................1 分
证明如下：
连接 BC，AC， B1C，因为 B1C为圆柱OO1的母线，所以 B1C 平面 ABC，
又因为 BC 平面 ABC，所以 B1C BC． ........................2 分
因为 AB 为圆 O 的直径，所以 BC AC． ...........................................................3 分
又 AC B1C C ， AC ,B1C 平面 AB1C，所以 BC 平面 AB1C， ......................................4 分
因为 AB1 平面 AB1C，所以 BC AB1． ......................................5 分
（2）以O为原点，OA，OO1分别为 y，z轴，垂直于 y，z 轴的直线为 x 轴建立空间直角坐标系.
如图所示， ......................................6 分
则 A1(0,1, 2)，O1(0,0, 2)，B(0, 1,0)，
A π π
1 3
因为劣弧 1B1的长为 ，所以 A1O1B1 ， B1 , , 22 2 ，6 6
1 3
则O1B (0, 1, 2)，O1B1 , ,0 ． ................................................................................7 分
2 2
设平面O1BB1的法向量m (x, y, z)，
O B m 1 y 2z 0
则 ，
O1B m
1 3
1
x y 0
2 2
x 3 3令 ，解得 y 3， z ，所以
2
m 3, 3,
3
．............................................9 分
2
因为 x轴垂直平面 A1O1B，所以平面 A1O1B的一个法向量 n (1,0,0)．................................10 分
cos m ,n 3 2 51
所以 3 17 ， ...............................11 分9 3
4
又二面角 A1 O1B B1的平面角为锐角，
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
故二面角 A1 O1B B
2 51
1的余弦值为 ． ...............................12 分
17
1
20.解：（1）依题意，甲投中的概率为 p0 ，乙投中的概率为 ，3
1 3
于是得 P X 3 1 P X 5 1 p0 ，解得 p
3
0 ， ..........................2 分3 4 4
X 的所有可能值为 0，2，3，5，
P X 0 1 3 1 1 3 1 1 4 1 ， P X 2 1 3 6 4 3 ， 2
P X 3 1 1 3 1 3 1 1 ，P X 5 ， ..........................4 分3 4 12 4 3 4
所以 X 的分布列为：
X 0 2 3 5
P 1 1 1 1
6 2 12 4
.............................................................................................5分
（3）设甲、乙都选择方案 A投篮，投中次数为Y1，都选择方案 B投篮，投中次数为Y2 ，
则Y1 B 2, p0 ，Y 2 B 2,
1
， ..........................6分
3
则两人都选择方案 A投篮得分和的均值为 E 2Y1 ，都选择方案 B投篮得分和的均值为E 3Y2 ，
..........................................7分
则 E 2Y1 2E Y1 2 2 p0 4p0，E 3Y2 3E Y 3
1
2 2 2， ..............8分3
若 E 2Y1 E 3Y2 ，即 4p
1
0 2，解得 p0 1 ..............9分2 ；
若 E 2Y E 3Y 11 2 ，即 4p0 2，解得 p0 ； ..............10分2
若 E 2Y1 E 3Y2 ，即 4p0 2，解得0 p
1
0 ． ...........................11分2
1
所以当 p0 1时，甲、乙两位同学都选择方案 A投篮，得分之和的均值较大；2
1
当 p0 时，甲、乙两位同学都选择方案 A或都选择方案 B投篮，得分之和的均值相等；2
当0 1 p0 时，甲、乙两位同学都选择方案 B投篮，得分之和的均值较大． ...........12分2
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
21、解：（1）由题意得 2c 2 3，解得 c 3， ...........................1分
又 A1O a, OB b，故 tan A1BO
a
2 ，即 a 2b， ...........................2分
b
又 a2 b2 c2，解得 b2 1，a2 4， ..............................................3分
x2
故椭圆方程为 y2 1； ..............................................4分
4
2
（2 x）直线 l的方程为 y k x 2 ， k 0，与 y2 1联立
4
得： 1 4k 2 x2 16k 2x 16k 2 4 0， ........................................5分
2 2
设Q xQ , yQ ，则 2x 16k 4 8k 2Q ，解得 x ， ........................................6 分1 4k 2 Q 1 4k 2
2 1
因为点 Q 8k 2 2在第一象限，所以 xQ 2 0，解得 k ， ........................................7分1 4k 4
直线 A1B方程为 y
1
x 1，与 y k x 2 2 4k 2 4k联立得 x ，故 x ， ...........8分
2 2k 1 P 2k 1
y k x 2 中，令 x 0得 y 2k ，故M 0, 2k ， ...........9分
因为 PA2 MQ 3QA2 MP ，所以 2 xP xQ 0 3 2 xQ xP 0 ，
整理得
xPxQ xQ 3xP 0， .........................................10分
2 4k 8k 2 2 8k 2 2 3 2 4k即 0，化简得 2k 2 3k 1 0，
2k 1 1 4k 2 1 4k 2 2k 1
1 1 1
解得 k 或 1，其中 k k 2不满足 ，舍去， k 1满足要求，
2 2 4
故 k 1 . ............................12分
22.（1）由题意得， f (x)的定义域为 (0, ), f (x) 2e2x a .
x
显然当 a 0时， f (x) 0恒成立，f (x)无零点. ................................1分
2x a
当 a 0时，取 t(x) f (x) 2e .
x
则 t (x) 4e2x a 2 0，即 f (x)单调递增， ..........................2分x
a
又 f (a) a 0, f ( ) 2e2ea 2eaa 0,2e
所以导函数 f (x)存在唯一零点， ................................3分
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
故当 a 0时， f (x)存在唯一零点，当 a 0时， f (x)无零点. ................................4分
（2）由（1）知，当 a 0时， f (x)单调递增，所以 f (x) 2emin f (e) e a e
2e ,
所以 a 0， ................................5分
因为 g (x) 1 m ln x 2 ,函数 g(x)的图像在点 (1, g(1))处的切线方程为 y 3 0.x
g (1) 1 m所以 0,所以 m=1, ................................6分
1
g(1) 1 ln1又 n 3,所以 n=2，所以
1
g(x) 1 ln x 2, ................................7分
x
ln x 1 2x
根据题意，要证 f (x) g(x),即证 e 2,只需证 x(e2x 2) ln x 1,
x
1 2x 1
令 h(x) x(e2x 2) ln x，则h (x) (2x 1)e2x (2x 1)(e2x )，.................8分
x x
2x 1 1
令F(x) e (x 0),则F (x) 2e2x 2 0,x x
所以F(x)在 (0, )上单调递增. ................................9分
1
又F e 4 0,F
1 1 1
e 2 0 ，所以F(x)有唯一零点 x0 ,
.
4 2 4 2
当 x (0, x0 )时，F(x) 0 ,即 h (x) 0， h(x)单调递减,
当 x (x0， )时，F(x) 0 ,即 h (x) 0， h(x)单调递增；
h(x) h(x ) x (e2x所以 0min 0 0 2) ln x0， ................................11分
2x 1 1 10
又因为F(x0 ) 0，所以 e ，所以 h(x0 ) x0 ( 2) ln 2x 1 2x 2x 1x x e ，0 0 00 0
故 f (x) g(x) . ........................12分
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
{#{QQABBQKAogAgQBAAAQgCEwV4CgKQkAEAAKoOgAAIMAIACBFABAA=}#}
