6.4.3 平面向量的应用 —— 余弦定理、正弦定理 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
学习目标
1.借助向量的运算，探究三角形边长与角度的关系.
2.掌握余弦定理、正弦定理.
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
学习重难点
学习重点
余弦定理、正弦定理的理解
学习难点
余弦定理、正弦定理的应用
课堂导入
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了 SSS，SAS ，ASA ， AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其元素与给定的某些元素有怎样的数量关系 下面我们利用向量方法研究这个问题.
探究
分析：因为涉及的是三角形的两边和它们的夹角，我们考虑用向量的数量积来探究.
于是我们得到了三角形边角关系的一个重要的定理
余弦定理
探究
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
探究一下
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？
余弦定理的应用
（1）可以从三角形已知的两边及其夹角直接求第三边.
（2）可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.
（3）勾股定理的推广.
解三角形的定义
例题分析
方法总结
已知三角形的三边求解三角形的内角时，可以利用余弦定理的推论先求出两个内角，再利用三角形的内角和定理求得第三个内角.
方法总结
已知两边求其夹角
（1）在已知两边及其夹角求第三边时，直接利用余弦定理求解即可.
(2)在已知两边及其夹角求角时，要先求出第三边，此时求角有两种方法：方法1，继续选用余弦定理求解，此方法计算量稍大但是不会出现多解；方法2，用正弦定理求解，此方法计算量小，但是会出现多解，因此会出现计算错误或多解不会排除的情况，计算时只能多加小心，利用正弦定理求解时，一定要考虑用“大边对大角，小边对小角”来排除多余解.
探究一下
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
下面先研究锐角三角形的情形.
正弦定理
正弦定理常用的变形式
正弦定理的应用
可以解决已知两角和一边，解三角形的问题，也可以解决已知两边和其中一边的对角，解三角形的问题.
例题分析
方法总结
已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形内角和定理计算出三角形的第三个角，然后由正弦定理求出另外两边.
方法总结
已知两边和其中一边的对角解三角形
首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.
在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案.
测量距离
测量高度
测量角度
C
运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的步骤如下：
（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图.
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.
（3）求解：利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
（4）检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
课堂巩固
B
A
B
B
总结
1.余弦定理
2.正弦定理
3.余弦定理、正弦定理的应用
感
谢
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