课题：勾股定理
科目：数学
教学对象：八年级下册
课时：第一课时
教学内容分析
勾股定理是几何中几个重要定理之一。它解释了直角三角形三边之间的数量关系。它在数学发展中起着重要作用。在现实生活中的地位也有举足轻重的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解，也是后续学习的基础。因此本节内容在知识体系中起着重要作用。）
二、教学目标
1、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．
2、让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程。并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力。
3、让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值．
三、学习者特征分析
在本节课以前，学生已经学习了三角形的一些基本知识；也经历过利用图形面积来探求数学公式过程。如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链，使学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。
四、教学策略选择与设计
在探求勾股定理的过程中，蕴涵了丰富的数学思想。把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，是数形结合的典范；把探求边的关系转化为探求面积的关系，将边不在格线上的图形转化为可计算的格点图形，是转化思想的体现；先探求特殊的直角三角形的三边关系，再猜测一般直角三角形的三边关系，再解决一些特殊直角三角形的问题，这是特殊——一般——特殊的思想。在本节课，要创设问题串，提供学生活动的方案，让学生在活动中思考，在思考中创新。
本节课采用五步教学模式。
（一）问题导入 明确目标
（二）新知导学 合作探究
（三）巩固训练 拓展提高
（四）课堂小结 回归目标
（五）达标检测 当堂反馈
本节课做到了让学生带着问题学习，让学生动手操作，画、剪、拼、凑，既有独立思考，又有分组讨论交流。在探索勾股定理的过程中，既培养了学生的数学直观能力，启迪学生的探索灵感，又体现了数学的针对性、活动性、合作性、开发性，创造了一个激发学生积极思维，解决问题的学习氛围。
五、教学重点及难点
教学重点：勾股定理的探索过程．
教学难点：将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
问题导入 明确目标
以问题串的形式展示，提出问题：一个三角形，如果一边长为6，另一边长为8，则第三边的长确定吗？如果这两边的夹角确定了，第三边的长确定吗？如果这两边的夹角是90度，第三边的长确定吗？你能求出第三边的长吗？
由此引出本节课的探索的目标——直角三角形三边的数量关系
观察思考，回答问题；
从数学本质出发，揭示这节课产生的根源，让学生的原有认知作为新知识的生长点，自然的引出本节课的探索目标。
(二）新知导学 合作探究
勾股定理的探索过程是本节课的重点、难点，为了让学生多层次、多角度的经历这一过程，我设计了如下四个环节
1、旧知引出探究方向
在八年级上册学生经历过利用面积来探求数学公式的过程。
将边长之间的关系转化为面积之间的关系，通过探求面积之间的关系来探求边长之间的数量关系。
2、拼图活动 激发灵感
小组合作完成拼图活动，实验是研究问题的一个过程，通过学生合作完成拼图实验，让学生从感性上认识猜想三个正方形面积之间的关系。
3、运算推演 证实猜想
我们把拼图活动中的图形——等腰直角三角形放在方格纸中，让学生计算此时三个正方形的面积。
（这是一个由实验到验证的过程，学生可以通过数小方格的个数或者通过正方形的面积计算公式得到Sp和SQ, 学生也会容易从拼图活动中受到启发，有同学会想到“补”的方法，通过计算学生会得到Sp+Sq=SR.）
接着，教师要问：这种面积关系仅存在于等角直角三角形中吗？变化直角三角形，让学生计算直角边为3和4的直角三角形，三边向形外所作的三个正方形的面积，其中SR的求法是本节课的难点所在。
教师要肯定学生的研究成果，进而让学生进行总结，把图形进行割和补，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化为可以利用网格线直接计算面积的图形。让学生体会数学的转化思想。
进而让学生进行以下活动，在网格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为边向形外三个正方形，求出此时三个正方形的面积，这是一个学生全面经历探究的过程，也是割和补的方法的再次应用。
学生活动时，教师要积极的参与到学生活动中去，其中以斜边为边向形外作正方形时，另两个顶点位置的确定是这一活动的难点，教师巡视是如果有学生在这两处存在问题的话，教师就以中国象棋马走日，连续走四次所形成的线路图给学生启发。
4、归纳总结 完成探究
引导学生从以上的计算中得出，三个正方形面积间的关系，由此引导学生发现直角三角形三边之间的数量关系。这一问题的结论是本节课的点睛之笔，让学生充分总结，交流。
得出结论，教师形象地用弯曲的手臂表示勾股弦概念，进而给出勾股定理的几种表达式。
一段紧张的探究之后，给出一段关于勾股定理的配乐录音，这样既激发了同学们的兴趣，又增加了课堂的愉快气氛。让学生感受到勾股定理的历史，增加了学生学习数学的兴趣。
学生以小组为单位，进行动手实践。
由小组代表进行展示。
教师注意关注：学生的参与程度；
学生动手计算，进一步验证三个正方形面积之间的关系。
先独立完成，再进行小组汇总；最后派代表进行展示，看看哪组的方法最多。
展示学生的方法：割的方法，补的方法，平移的方法，旋转的方法，（旋转的方法是正确的，但是它只适应于斜边是整数的情况，况且学生在此时还不会计算斜边的长，因此这种方法没有一般性，如果学生有提到，教师应予以解释。）
让学生的原有认知作为新知识的工具，让学生感觉到今天研究的这一问题并不陌生，由此，自然地产生探索问题的信心和欲望。
【设计意图】通过拼图活动锻炼了学生的空间思维能力和动手能力，体现了活动数学的思想。同时为学生在方格纸上利用割的方法计算正方形面积做了铺垫。
【设计意图】
难点处正是学生互相学习互相交流思维的好时机，在此教师应给学生充分的自主探索的时间和空间，相信学生思维的闪光点也是在这种讨论中发掘出来的。
【设计意图】在前面的探求过程中有的学生没能自己做出来，再给他们一次机会，让全体学生再次感受转化思想，体验成功的乐趣
【设计意图】通过学生亲自动手拼图、运算推演、互相交流，发现以直角三角形的各边为边所作的正方形面积之间的关系，由特殊到一般，使学生印象深刻，对于勾股定理的得出就水到渠成了。
【设计意图】使学生体会勾股定理具有实际意义，数学来源于生活，并服务于生活。
（三）巩固训练 拓展提高
教师布置学生完成导学案，这是学生将知识内化为自己的知识结构的过程。
教师巡视，对困难学生给予帮助，也体现了教育面向全体学生的原则。
（四）课堂小结 回归目标
完成导学案
展示答案，学生互相评价，总结类型、方法。
由学生进行发言，
【设计意图】体现课堂是学生学习的阵地，充分发挥学生的能力，学生能解决的老师不要过多插手，老师起组织作用，组织同学们互相帮助，解决问题。
（五）达标检测 当堂反馈
采用学生独立完成，出示答案，同位互换，互批，小组计分，当堂反馈。
【设计意图】便于老师及时了解学生对知识的掌握情况，如果出现共性问题，老师要拿出解决方案，对于个别学生的问题可以在课后进行补差。
七、教学评价设计
在通常的教师过程性评价之外，采用小组合作卡包式学习，每个小组由4名学习程度不同的学生组成，每个人都有自己相应的积分，成绩好的积分相对低，成绩不好的积分相对高，对于回答问题，哪个同学回答正确就会得到相应的积分；课堂检测每人都有积分，加起来就是全组的积分了。
八、板书设计
?第十七章 勾股定理
17.1.1 勾股定理
直角三角形三边之间的数量关系
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形ABC中，a2+b2=c2
课件34张PPT。勾股定理68x引入：
1、探究直角三角形三边之间的关系。
由此总结勾股定理；
2、学会勾股定理的简单应用。学习目标：a2b2abab(a＋b)(a－b)= a2－b2.(a+b)2a2+2ab+b2=abmn(a+ b) (m +n） = am+ bm+ an+ bn整式乘法的几何意义——借助面积体现边的关系AABBCCDDEE小组合作拼图：结论：SP+SQ=SR
PQR探究：Sp 、SQ、SR 的关系。abc+ =abc（图中每个小方格代表一个单位面积）ABC通过计算 探究：Sp 、SQ、SR 的关系。（图中每个小方格代表一个单位面积）ABC运算推演 证实猜想 SP+SQ=SR
PRQABC（图中每个小方格代表一个单位面积）探究：一般直角三角形的情况cba（图中每个小方格代表一个单位面积）cbaSP+SQ=SR
∵∴即探究：一般直角三角形的情况（图中每个小方格代表一个单位面积）abc探究：一般直角三角形的情况R（图中每个小方格代表一个单位面积）cba探究：一般直角三角形的情况（图中每个小方格代表一个单位面积）探究：一般直角三角形的情况SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2归纳总结 完成探究cbaSP+SQ=SR
∵∴ba探究：一般直角三角形的情况用字母表示数，能推出结论吗？运算推演
证实猜想abc┏即（a2+b2=c2 ）acb 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理:(gou-gu theorem)人类最伟大的十个科学发现之一 .
ABC在Rt△ABC中，∠C=90°AC2+BC2=AB2几何表达式： 我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
辉煌发现 两千多年前，古希腊有个哥拉 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯年希腊曾经发行了一枚纪念票。定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955勾 股 世 界国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前，国家之一。早在三千多年前 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。《周髀算经》 毕达哥拉斯 商高 数学史话《勾股圆方图》1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第20任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。 1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144xyz②③（三）巩固训练 拓展提高(10分钟）2.求下列直角三角形中未知边的长:8x171620x125x做一做已知直角三角形两边，能求出第三边。a2+b2=c2勾股定理的变形
CABba重点突破归纳：已知任意两种边 的等量关系，能求出三边.例1.在 中，
则a= ,b= .
点拨：利用勾股定理列方程ABCD例2. 如图所示，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15.求BC边上的高AD的长。4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。拓展提高1 求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.①81144yz②③35考一考:X2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形的周长为 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，那么△ABC的
面积为 ____.
五、达标检测 当堂反馈4、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( )A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米３４5、 受台风“菲特”影响，路旁一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树根底部3米处，这棵树折断前有多高？再练一下6、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( )A.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120? 流 程 学情分析 教材分析 教学设计 教学模式 课堂评价 资源开发 第十七章 勾股定理
17.1.1 勾股定理
直角三角形三边之间的数量关系
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
板书设计 a2+b2=c2 勾股定理对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢？提示：图中的两个大正方形面积相等吗？空白部分的面积呢？那剩余的美丽的毕达哥拉斯树勾股
定理定理运用课下作业:
1、课本6页习题1.1的第2.3.4题.
2、查询、探索勾股定理的证明方法.
