人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习
一、单选题
1．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，
∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°-75°-45°=60°，
∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，
设OC= ，则CN=2 ，
∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，
∴△CMN也是等腰直角三角形，
设CM=MN= ，则由勾股定理得： 2+ 2=（2 ）2，
= 即CD=CM= ∴ = 故选C．
【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC= ，则CN=2 ，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN= ，由勾股定理得出 2+ 2=（2 ）2，求出 = ，得出CD= ，代入求出即可．
2．（2016九上·安陆期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：依题意，旋转10次共旋转了10×45°=450°，
因为450°﹣360°=90°，
所以，第10次旋转后得到的图形与图②相同，故选B．
【分析】每次均旋转45°，10次共旋转450°，而一周为360°，用450°﹣360°=90°，可知第10次旋转后得到的图形．
3．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠C=∠ADC=∠ANC=90°，
∴四边形ANCD是矩形，
∴∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，
∴BN=9-5=4，
∵∠M=∠EAB=∠MAN=∠ANB=90°，
∴∠EAM+∠BAM=90°，∠MAB+∠NAB=90°，
∴∠EAM=∠NAB，
∵在△EAM和△BAN中，
∠M=∠ANB
∠EAM=∠BAN
AE=AB
∴△EAM≌△BAN（AAS），
∴EM=BN=4，
∴△ADE的面积是 ×AD×EM= ×5×4=10．
故选A．
【分析】过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，得出四边形ANCD是矩形，推出∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，求出BN=4，求出∠EAM=∠NAB，证△EAM≌△BAN，求出EM=BN=4，根据三角形的面积公式求出即可．
4．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（ ）
A．45° B．120° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，
即旋转角是90°，故选D．
【分析】根据旋转性质得出旋转后A到B，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOB即可．
5．（2015八下·深圳期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，
故选：B．
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
6．（2016九上·夏津期中）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．80° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠A′=40°，
∵∠B′=110°，
∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°，
∴∠ACB=30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，
故选：B．
【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数．
7．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
【分析】分类：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°；若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°；若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，然后通过分别找出正方形EFGH与正方形ABCD的对应点来判断正方形EFGH是否由正方形ABCD绕某点旋转得到．
8．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B．
【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心
9．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ）
A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90°
C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE．故选B．
【分析】此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．
10．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A．1- B．1- C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】设CD与B′C′相交于点O，连接OA．根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD=∠OAB′=30°．又AD=1，∴OD=
∴公共部分的面积=2× × ×1＝ ．故选D．
【分析】本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积
11．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律，填入第三行“？”处的图形应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】根据第一、三行的规律，将第二行将图形顺时针旋转90°，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为B图．故选B．
【分析】题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大
12．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A．72° B．108° C．144° D．216°
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
13．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】依题意旋转角∠A′CA=40°，由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．
【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
14．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，将Rt△ABC（其中∠B=34°，∠C=90°）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）
A．56° B．68° C．124° D．180°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=34°，∠C=90°
∴∠BAC=56°
∴∠BAB1=180°﹣56°=124°
即旋转角最小等于124°．
故选C．
【分析】找到图中的对应点和对应角，根据旋转的性质作答．
15．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．故选D．
【分析】本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角
二、填空题
16．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，
∴∠C=60°，BC=BC′= AC=5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′=5，
∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′= BC=
故答案为：
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键.
17．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=
【答案】105度
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠C=180°-75°=105°．
故答案为：105
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．
18．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= ．
【答案】70°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，
∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
∴∠A1OB=∠A1OA-∠AOB=70°．
故答案为：70°．
【分析】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．
19．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是
【答案】90°
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．故答案为：90．
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度
20．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是 （写出正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α，故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE（ASA）∴BF=BE，
∴A1B-BE=BC-BF，
∴A1E=CF，故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④∠A1=∠C，BC=A1B，∠A1BF=∠CBE
∴△A1BF≌△CBE（ASA）
那么A1F=CE．
故结论④正确．
故答案为：①②④．
【分析】①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；
②根据两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等，进而得不到△ADE与△CDF全等，可得结论A1E与CF不一定全等；
③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；
④用角角边证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．
三、解答题
21．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：
（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中
AD=CD
∠ADA′=∠EDC
A′D=ED∴△AA′D≌△CED（SAS）；
（2）证明：∵根据旋转可得AC=A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中
∠EAB′=∠EA′D
∠AEB′=∠A′ED
AB′=A′D
∴△AEB′≌△A′ED，
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得A′D=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．
22．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求△AED的周长．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．
故答案为：19．
【知识点】等边三角形的判定与性质；图形的旋转
【解析】【分析】 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
23．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，求F、C两点的距离.
【答案】解：顺时针旋转得到F1点，
∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
∴△ADE≌△ABF1，
∴F1C=1；
逆时针旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B=DE=2，
F2C=F2B+BC=5．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．
24．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的，求点A′与点B的距离
【答案】解：连接A′B，
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的，
∴△AOB≌△A′OB′，
∴OA=OA′，
∴∠A′OA=60°，
∵∠AOB=30°，AB=2，
∴∠A′OB=30°，
在Rt△AOB与Rt△A′OB中，
OA=OA′，OB=OB，
∴△AOB≌△A′OB，
∴A′B=2．
故答案为：2．
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】 （根据图形旋转的性质可得出，再由全等三角形的性质可得出∠A′OB′=30°，AB=2，再根据全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△A′OB，由全等三角形的性质即可得出结论．
25．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，求BC的长．
【答案】解：如图，作DG⊥BC于G，作EF⊥AD于F．得矩形ABGD，则BG=AD=2．
∵△ADE的面积为3．
∴EF=3．
根据旋转的性质，可知DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF．
∴△CDG≌△EDF．
∴EF=GC=3，
∴BC=BG+GC=2+3=5．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】 此题在旋转的基础上，巧妙作辅助线：作DG⊥BC于G，作EF⊥AD于F．构造全等三角形和矩形，根据全等三角形的性质和矩形的性质进行计算．
1 / 1人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习
一、单选题
1．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2016九上·安陆期中）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
3．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（ ）
A．45° B．120° C．60° D．90°
5．（2015八下·深圳期中）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
6．（2016九上·夏津期中）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．80° C．40° D．30°
7．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
8．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q
9．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在正方形网格中，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列旋转方式中，符合题意的是（ ）
A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90°
C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45°
10．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A．1- B．1- C． D．
11．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律，填入第三行“？”处的图形应是（ ）
A． B． C． D．
12．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A．72° B．108° C．144° D．216°
13．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
14．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，将Rt△ABC（其中∠B=34°，∠C=90°）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ）
A．56° B．68° C．124° D．180°
15．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
二、填空题
16．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D=
17．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C=
18．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= ．
19．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是
20．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是 （写出正确结论的序号）
三、解答题
21．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：
（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
22．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求△AED的周长．
23．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，求F、C两点的距离.
24．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的，求点A′与点B的距离
25．（人教版数学九年级上册23.1图形的旋转课时练习）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，求BC的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，
∴∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=180°-75°-45°=60°，
∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠ONC=30°，
设OC= ，则CN=2 ，
∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，
∴△CMN也是等腰直角三角形，
设CM=MN= ，则由勾股定理得： 2+ 2=（2 ）2，
= 即CD=CM= ∴ = 故选C．
【分析】根据旋转得出∠NCE=75°，求出∠NCO，设OC= ，则CN=2 ，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN= ，由勾股定理得出 2+ 2=（2 ）2，求出 = ，得出CD= ，代入求出即可．
2．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：依题意，旋转10次共旋转了10×45°=450°，
因为450°﹣360°=90°，
所以，第10次旋转后得到的图形与图②相同，故选B．
【分析】每次均旋转45°，10次共旋转450°，而一周为360°，用450°﹣360°=90°，可知第10次旋转后得到的图形．
3．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠C=∠ADC=∠ANC=90°，
∴四边形ANCD是矩形，
∴∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，
∴BN=9-5=4，
∵∠M=∠EAB=∠MAN=∠ANB=90°，
∴∠EAM+∠BAM=90°，∠MAB+∠NAB=90°，
∴∠EAM=∠NAB，
∵在△EAM和△BAN中，
∠M=∠ANB
∠EAM=∠BAN
AE=AB
∴△EAM≌△BAN（AAS），
∴EM=BN=4，
∴△ADE的面积是 ×AD×EM= ×5×4=10．
故选A．
【分析】过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，得出四边形ANCD是矩形，推出∠DAN=90°=∠ANB=∠MAN，AD=NC=5，AN=CD，求出BN=4，求出∠EAM=∠NAB，证△EAM≌△BAN，求出EM=BN=4，根据三角形的面积公式求出即可．
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，
即旋转角是90°，故选D．
【分析】根据旋转性质得出旋转后A到B，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOB即可．
5．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°，
故选：B．
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
6．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠A′=40°，
∵∠B′=110°，
∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°，
∴∠ACB=30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，
故选：B．
【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′的度数．
7．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
【分析】分类：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°；若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°；若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，然后通过分别找出正方形EFGH与正方形ABCD的对应点来判断正方形EFGH是否由正方形ABCD绕某点旋转得到．
8．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选B．
【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心
9．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE．故选B．
【分析】此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】设CD与B′C′相交于点O，连接OA．根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD=∠OAB′=30°．又AD=1，∴OD=
∴公共部分的面积=2× × ×1＝ ．故选D．
【分析】本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积
11．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】根据第一、三行的规律，将第二行将图形顺时针旋转90°，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为B图．故选B．
【分析】题考查了图形的旋转变化，学生主要要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大
12．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
13．【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】依题意旋转角∠A′CA=40°，由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．
【分析】已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
14．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠B=34°，∠C=90°
∴∠BAC=56°
∴∠BAB1=180°﹣56°=124°
即旋转角最小等于124°．
故选C．
【分析】找到图中的对应点和对应角，根据旋转的性质作答．
15．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，所以，∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，
∴∠CC′B′=15°．故选D．
【分析】本题考查了旋转的性质，旋转的性质：对应点与旋转中心的连线相等，夹角是旋转角
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，
∴∠C=60°，BC=BC′= AC=5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′=5，
∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC，∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′= BC=
故答案为：
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键.
17．【答案】105度
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠C=180°-75°=105°．
故答案为：105
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．
18．【答案】70°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，
∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
∴∠A1OB=∠A1OA-∠AOB=70°．
故答案为：70°．
【分析】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．
19．【答案】90°
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．故答案为：90．
【分析】观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度
20．【答案】①②④
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α，故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE（ASA）∴BF=BE，
∴A1B-BE=BC-BF，
∴A1E=CF，故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④∠A1=∠C，BC=A1B，∠A1BF=∠CBE
∴△A1BF≌△CBE（ASA）
那么A1F=CE．
故结论④正确．
故答案为：①②④．
【分析】①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；
②根据两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等，进而得不到△ADE与△CDF全等，可得结论A1E与CF不一定全等；
③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；
④用角角边证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中
AD=CD
∠ADA′=∠EDC
A′D=ED∴△AA′D≌△CED（SAS）；
（2）证明：∵根据旋转可得AC=A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中
∠EAB′=∠EA′D
∠AEB′=∠A′ED
AB′=A′D
∴△AEB′≌△A′ED，
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得A′D=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．
22．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE△BCD逆时针旋旋转60°得出，
∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．
故答案为：19．
【知识点】等边三角形的判定与性质；图形的旋转
【解析】【分析】 本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
23．【答案】解：顺时针旋转得到F1点，
∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
∴△ADE≌△ABF1，
∴F1C=1；
逆时针旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B=DE=2，
F2C=F2B+BC=5．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．
24．【答案】解：连接A′B，
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的，
∴△AOB≌△A′OB′，
∴OA=OA′，
∴∠A′OA=60°，
∵∠AOB=30°，AB=2，
∴∠A′OB=30°，
在Rt△AOB与Rt△A′OB中，
OA=OA′，OB=OB，
∴△AOB≌△A′OB，
∴A′B=2．
故答案为：2．
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】 （根据图形旋转的性质可得出，再由全等三角形的性质可得出∠A′OB′=30°，AB=2，再根据全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△A′OB，由全等三角形的性质即可得出结论．
25．【答案】解：如图，作DG⊥BC于G，作EF⊥AD于F．得矩形ABGD，则BG=AD=2．
∵△ADE的面积为3．
∴EF=3．
根据旋转的性质，可知DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF．
∴△CDG≌△EDF．
∴EF=GC=3，
∴BC=BG+GC=2+3=5．
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】 此题在旋转的基础上，巧妙作辅助线：作DG⊥BC于G，作EF⊥AD于F．构造全等三角形和矩形，根据全等三角形的性质和矩形的性质进行计算．
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