人教A版（2019）必修一 第二章 一元二次函数 方程和不等式 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）必修一 第二章 一元二次函数 方程和不等式 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
2．已知,若不等式恒成立,则m的最大值为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
3．不等式的解集是( )
A. B.或
C.或 D.
4．若点在直线上,则的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．下列命题中正确的是( )
A.若,,且,则
B.若,则
C.若a,,则
D.对任意a,,,均成立.
6．不等式的解集为,则的解集为( )
A. B. C. D.
7．设集合,若,则实数a的取值集合是( )
A. B. C. D.
8．已知,则的最小值是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
二、多项选择题
9．若函数在上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值可以是( )
A.2 B. C.1 D.0
10．已知函数，点在函数图象上，则下列说法正确的是( )
A.有最小值 B.有最小值2
C.有最小值 D.若，则有最小值
11．下列函数中,最小值为2的是( )
A. B.
C.() D.
12．若关于x的不等式的解集为,则的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知函数,对于任意不同的,,有,则实数a的取值范围为______.
14．已知,,且满足,则的最小值为______________.
15．已知关于x的不等式的解集为,且实数,,满足,,则实数m的取值范围是_______________.
16．当时,的最大值为________.
四、解答题
17．设函数.
（1）若不等式的解集为,求实数a,b的值;
（2）若,且存在,使成立,求实数a的取值范围.
18．已知x,y都是正实数,
（1）若,求的最小值.
（2）若,求xy的最大值;
19．（1）二次不等式的解集为R,求a的取值范围
（2）设函数;若对于一切实数x,恒成立,求m的取值范围
20．已知,,.
（1）求最小值
（2）求的最小值.
21．已知关于x的不等式的解集为M.
（1）若，求k的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围.
22．已知.
（1）求函数在的最小值.
（2）对于任意,,都有成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由，
又，所以，且，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为6.故选：A.
2．答案：D
解析：因为,所以,
所以恒成立,只需
因为,
所以,
当且仅当时,即时取等号.
所以.
即m的最大值为16.
故选：D.
3．答案：D
解析：方程的解为,
所以不等式的解集是.
故选：D.
4．答案：C
解析：因为点在直线上,
所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为4,
故选：C.
5．答案：A
解析：A选项,,当且仅当时等号成立,A选项正确.
B选项,当时,,所以B选项错误.
C选项,当,时,,,所以C选项错误.
D选项,当,时,,不成立,所以D选项错误.
故选:A
6．答案：A
解析：由题意可知,关于x的方程的两根分别为2,3,则,可得,
故所求不等式为,即,解得.
故选:A.
7．答案：D
解析：根据题意,当时,原不等式为,此时解集为,满足题意,
当时,有,解得,
综上,实数a的取值范围是.
故选：D.
8．答案：D
解析：已知,则,,
当且仅当,即时“=”成立,故所求最小值是16.
故选:D.
9．答案：AB
解析：依题意,当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即;
当时,在取得最大值,在取得最小值,所以,即.
故选AB.
10．答案：ACD
解析：依题意，，，由基本不等式，，
当且仅当时，等号成立，有最小值，选项A正确；
，当且仅当时，等号成立，
有最小值4，选项B错误；
，
当且仅当时，等号成立，
所以有最小值为，选项C正确；
，
，
则有最小值，选项D正确.
故选ACD.
11．答案：CD
解析:对于A,,当时,,不符合要求,故A错误;
对于B,,当且仅当时取等号,由得显然不成立,所以等号取不到,即的最小值不是2,故B错误;
对于C,因为,所以,,当且仅当时取等号,最小值是2,故C正确;
对于D,,易知,,则,当即或时,有最小值4,即有最小值2,故D正确.故选CD.
12．答案：BC
解析：设其中,
因为不等式的解集为,
所以恒大于等于零且,
故,即①,且②,③,
由②③可得,
代入①,可得,
解得,
由知,
故,
结合选项,的值可能和,
故选：BC.
13．答案：
解析：对于任意,,有,
不妨设,则,即,
设,则,
又,所以单调递增,则恒成立,
因为,
所以,令,
要使在恒成立,只需恒成立,即恒成立,
又,所以,即,
故答案为:
14．答案：4
解析：因为,所以,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为4.
故答案为：4.
15．答案：或
解析：因为的解集为,
所以,是的两根,
所以,,
所以,则,
即,解得或.
故答案为：或.
16．答案：1
解析：因为,所以,则,
所以,当且仅当即时,等号成立,
所以的最大值为1.
故答案为:1
17．答案：（1）,;
（2）或
解析：（1）因为的解集为,
所以,解得,;
（2）因为,所以,
因为存在,成立,
即存在,成立,
当时,,成立;
当时,函数图象开口向下,成立;
当时,,即,
解得或,此时,或,
综上：实数a的取值范围或.
18．答案：（1）9;
（2）6.
解析：（1）.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为9.
（2）,.
当且仅当时等号成立.
所以xy的最大值为6.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由二次不等式的解集为R,
,即,解得,
所以实数a的取值范围为.
（2）当时,满足题意;
当时,对于一切实数x,恒成立,
则,即,解得,
综上,实数m的取值范围为.
20．答案：（1）
（2）2
解析：（1）由得,即,
,则,
因为,,所以,,,
当且仅当,即时取得“=”,
所以的最小值为.
（2）令,则,,,
故由可得,整理得,
,
当且仅当,即,即时取“=”,
所以的最小值为2.
21．答案：（1）或
（2）
解析：（1）当时，或.
当时，恒成立；
当时，，解得，不恒成立，舍去.
当时，解得或.
综上可知，k的取值范围为或.
（2）由可得或.
因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根，
所以关于x的方程有两个不相等的负根，
设为，，则
解得.
综上可知，k的取值范围为.
22．答案：（1）0
（2）
解析：（1）因为,
当且仅当,即时,等号成立.
所以,函数在的最小值为0.
（2）设,
由（1）知,函数在的最小值为0.
则由任意,,都有成立,
可得在上恒成立,
只需在上恒成立即可.
因为,在上恒成立,
所以.
因为,所以,,
所以.
由可得,
.
因为单调递增,
所以,
即在上恒成立.
因为,
所以,上恒成立.
因为,在上恒成立,
所以,在上恒成立,
所以,在上恒成立.
因为在上为减函数,
所以在处取得最大值1,
所以,.
综上所述,.