人教A版（2019）必修一 第三章 函数概念与性质 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）必修一 第三章 函数概念与性质 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知幂函数的图象过点,且,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．设,,,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
3．已知幂函数的图象经过点,则的值为( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
4．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. B. C. D.
5．若,幂函数在上单调递减,则实数a的值为( )
A. B.3 C.或3 D.
6．已知函数是幂函数,对任意,,且,满足,若a,,且,则的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
7．已知幂函数在上单调递减,设,,
,则,,大小关系为( )
A. B.
C. D.
8．已知幂函数的图象过点,则函数在区间上的最小值是( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-8
二、多项选择题
9．若函数是幂函数,则一定( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.在上单调递减 D.在上单调递增
10．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B.甲从家到公园的时间是30min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当时,y与x的关系式为
11．若函数是幂函数,则实数m的值可能是( )
A. B. C. D.
12．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.当时，y与x的关系式为
D.当时，y与x的关系式为
三、双空题
13．已知函数若，则的值域是_________；若的值域是，则实数c的取值范围是___________.
14．已知幂函数的图象经过点，则______，若，则实数a的取值范围是______.
四、填空题
15．幂函数在上是减函数,则实数m的值为_____________.
16．已知函数是幂函数,且在上单调递减,则实数___________.
五、解答题
17．已知幂函数,且在上是增函数.
（1）求的解析式;
（2）若,求实数a的取值范围;
18．已知幂函数的图象关于y轴对称,且在上是减函数.
（1）求m和k的值;
（2）若实数a,满足,求的最小值.
19．定义在R上的单调函数满足恒等式，且.
（1）求，；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.
20．某厂生产某产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本(万元),若年产量不足千件,的图象是如图的抛物线,此时的解集为,且的最小值是,若年产量不小于80千件,,每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
（2）年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大
21．2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在中国杭州举行.亚运会吉祥物：宸宸、琮琮和莲莲的“江南忆组合”深受人们喜爱.某厂家经过市场调查,可知生产“江南忆组合”小玩具需投入的年固定成本为6万元,每生产万套该产品,需另投入变动成本万元,在年产量不足12万套时,,在年产量不小于12万套时,.每套产品售价为10元.假设该产品每年的销量等于当年的产量.
(1)写出年利润(万元)关于年产量x(万套)的函数解析式.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本）
(2)年产量为多少万套时,年利润最大？最大年利润是多少？
22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2.
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
参考答案
1．答案：C
解析：因为幂函数的图像过点,
所以,所以,所以,
由于函数在R上单调递增,
所以,解得：．
故b的取值范围是.
故选：C.
2．答案：C
解析:,,,
函数是增函数,,,
,且,
又,即,
综上可得,,
故选:C.
3．答案：B
解析：因为幂函数的图象经过点,
所以,解得,
所以,
故选：B.
4．答案：D
解析：设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，面积之和为.则，令，解得.当时，，当时，.则是的极小值点，也是最小值点，所以.
5．答案：C
解析：由为幂函数有,即或,又由在上单调递减得,经验证或均成立.
故选:C.
6．答案：A
解析：因为函数是幂函数,
所以,解得或,
又因对任意,且,满足,
即对任意,都有,
故函数是幂函数且在上单调递增,
所以,
所以,
则,明显为R上的奇函数,
由得,
所以,
所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：由题意,可得,解得,则,显然该函数为偶函数,
由函数在其定义域上单调递增,则,
由函数在其定义域上单调递增,则,故,
即,由函数在上单调递减,则.
故选：C.
8．答案：D
解析：因为幂函数的图像过点,所以,得,
所以,则显然在区间上单调递增,
所以所求最小值为.
故选：D.
9．答案：BD
解析：因为函数是幂函数,
所以,
解得或,
所以或,
由幂函数性质知是奇函数且单调递增,
故选：BD.
10．答案：BD
解析：在A中,甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,A错误;
由题中图象知,B正确;
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;
当时,设,则,解得,D正确.
故选：BD.
11．答案：BC
解析：是幂函数,
则,解得或.
故选：BC.
12．答案：BCD
解析：由图象可知，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30 min，故B正确，
当时，设，则，解得，故C正确，
当时，设，直线过点，，
则，故y与x的关系式为，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：；
解析：若，则由二次函数的性质，可得，，的值域为.当时，，当时，，要使的值域为，则解得.实数c的取值范围是.
14．答案：或0.5；
解析：由题意可得，，所以，
所以幂函数.
可知函数在上单调递增，
由，得，
解得：.
故答案为：；.
15．答案：-1
解析：由幂函数知,
得或.
当时,在上是增函数,
当时,在上是减函数,
.
故答案为：-1.
16．答案：2
解析：在幂函数中,
令,得,解得或,
当时,,函数,在上单调递减,满足题意;
当时,,函数,在上单调递增,不满足题意,
所以实数.
故答案为：2.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得,解得或,
当时,,此时在上是减函数,不满足题意;
当时,,此时在上是增函数,满足题意;
所以;
（2）易知的定义域为R,且在R上为增函数,
所以由,得,解得,
所以a的取值范围为.
18．答案：（1）或1,
（2）2
解析：（1）幂函数,,解得或1
又因为幂函数在上是减函数,,解得,
,或,又因为幂函数图象关于y轴对称,
当时,,图象关于y轴对称,符合题意;
当时,,图象关于原点对称,不合题意,
综上,或1,;
（2）由（1）可得,
当且仅当,即,时等号成立.
所以的最小值是2.
19．答案：（1），
（2）函数是奇函数
（3）
解析：（1）令，得.
令，，得，
，.
（2）函数是奇函数.证明如下.
令，得，
，即，
函数是奇函数.
（3）因为是奇函数，且在上恒成立，
在上恒成立.
是定义域在R上的单调函数，且，
是R上的增函数，
，
即在上恒成立，
在上恒成立.
令，
，.
由抛物线的图象，得，.
故实数k的取值范围为.
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,;
当时,,
所以().
（2）当时,
此时,当时,取得最大值万元.
当时,
此时,当时,即时,取得最大值万元,,
所以年产量为100件时,利润最大为1000万元.
21．答案：(1)
(2)当年产量为10万套时,年利润最大,最大年利润为13万元.
解析：（1）每套产品售价为10元,x万套产品的销售收入为万元,
依题意得,当时,,
当时,.
（2）当时,,
当时,取得最大值12.
当时,,
当且仅当,即时,取得最大值13.
当年产量为10万套时,年利润最大,最大年利润为13万元.
22、
（1）答案：，
解析：依题意：可设，，
，，
，.
（2）答案：投资债券类产品万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元
解析：设投资债券类产品x万元，
则股票类投资为万元，年收益为y万元，
依题意得：，
即，令，
则，，
则，，
所以当，即万元时，
收益最大，万元.