人教A版（2019）必修一 第四章 指数函数与对数函数 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）必修一 第四章 指数函数与对数函数 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知函数,则函数的零点个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．函数的定义域是( )
A. B.
C.且 D.且
3．已知函数,函数.若任意的,存在,使得,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．已知某种树木的高度（单位：米）与生长年限t（单位：年,）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：,其中e为自然对数的底数,设该树栽下的时刻为0,则该种树木生长至3米高时,大约经过的时间为( )
A.2年 B.3年 C.4年 D.5年
5．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6．函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
7．已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8．设函数,用二分法求方程在内的近似解的过程中,计算得,,,则下列必有方程的根的区间为( )
A. B. C. D.不能确定
二、多项选择题
9．（多选题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数m可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10．若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为( )
A. B. C. D.
11．某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度0.1）可取为( )
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
12．已知函数,. 记,则下列关于函数的说法正确的是( )
A.当时,
B.函数的最小值为-2
C.函数在上单调递减
D.若关于x的方程恰有两个不相等的实数根,则或
三、填空题
13．已知为R上的奇函数,且当时,,则_____________.
14．已知函数,若存在,使得关于x的函数有三个不同的零点,则实数t的取值范围是____________.
四、双空题
15．已知函数，，则_________；满足不等式的实数b的取值范围为_________.
16．已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.
五、解答题
17．已知函数,,,
（1）若函数在区间的值域为,求a,b的值;
（2）令,
（i）若在上恒成立,求证：;
（ii）若对任意实数,方程恒有三个不等的实数根,求实数的取值范围.
18．已知函数是偶函数
（1）求实数k的值．
（2）设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围．
19．若函数在定义域内存在实数x满足,,则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”．
（1）若函数,判断是否为上的“二阶局部奇函数”,并说明理由;
（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;
（3）对于任意的实数,函数恒为R上的“k阶局部奇函数”,求k的取值集合．
20．设a为实数,给定区间I,对于函数满足性质P:存在,使得成立.记集合具有性质.
（1）设,判断是否成立并说明理由;
（2）设,若,求a的取值范围.
21．已知函数,.
（1）若为偶函数,求a的值;
（2）令.若函数在上有两个不同的零点,求a的取值范围.
22．已知函数.
（1）若不等式在上有解,求k的取值范围;
（2）若方程有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：令．
①当时,,则函数在上单调递增,
由于,由零点存在定理可知,存在,使得;
②当时,,由,解得,．
作出函数,直线,,的图象如下图所示：
由图象可知,直线与函数的图象有两个交点;
直线与函数的图象有两个交点;
直线与函数的图象有且只有一个交点．
综上所述,函数的零点个数为5．
故选：D．
2．答案：D
解析：要使有意义,则应有,
解得且
故选：D.
3．答案：D
解析：由,由可得,
①当时,函数单调递减,此时,
则必有,解得;
②当时,函数单调递增,此时,
则必有,无解.
故实数m的取值范围为.
4．答案：C
解析：由题意可得,令,即,解得：.
故选：C.
5．答案：C
解析：开区间的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,
经过n此操作后,区间长度变为,
用二分法求函数在区间上近似解,
要求精确度0.01,
,解得,
故选：C.
6．答案：C
解析：因为的定义为,
令,则有,
令,,
将问题转化与图象交点的横坐标所在的区间.
当时,
,,
此时与图象没有交点,
当时,
,,
当时,,y2＝2,y1＜y2,
当时,,,,
所以与图象交点的横坐标在区间内,
即的零点所在区间为.
故选：C.
7．答案：D
解析：当时,,故函数周期为2,画出函数图像,如图所示：
方程,即,即函数和有两个交点.
,,故,,,,.
根据图像知：.
故选：D.
8．答案：C
解析：显然函数在上是连续不断的曲线,
由于,,所以,
由零点存在性定理可得：的零点所在区间为,
所以方程在区间内一定有根.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：令得，令，由画出图象得：
由图可知，要使恰有2个零点，则直线与要有两个交点，或，故ABC都符合.故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，，
，，，
则c的值可能为，，.
故选：ACD.
11．答案：AD
解析：
12．答案：BD
解析：
13．答案：-2
解析：由为R上的奇函数,有,
根据函数解析式,有,即,
,则,
.
故答案为：-2.
14．答案：
解析：,
若,则,
在为增函数,在上为增函数,在为减函数.
有三个不同的零点,
与直线有三个不同的交点,
故在有解,
整理得,即.
,,.
t的取值范围是.
故答案为：.
15．答案：3；
解析：由的定义域为R，且知，，
所以，故，
又函数在R上单调递减，
由，得，则，解得，
故b的取值范围为，
故答案为：3；.
16．答案：1；
解析：当时，则，，
令，解得，
所以当时，，单调递增，时，，单调递减，
再根据题意可作出的图象如下：
若有2个零点，则与有2个交点，数形结合可知；
若关于x的方程恰有4个不同实数根，
令，则有两个不等实数根，，
故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与有3个交点；
当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；
当与仅1个交点，与有3个交点，则，，
当时，，解得，故，解得或，舍去；
故两个实数根的范围为，，
所以解得，
所以实数m的取值范围为，
故答案为：1；
17．答案：（1）,
（2）（i）证明见解析;（ii）
解析：（1）由于函数在区间单调递减,所以,
即解得
（2）（i）由题意可得,,
若在R恒成立,则在R恒成立,
即,
（ii）由题意可得,
当函数与函数的图像无交点或只有一个交点时,
方程只有一个实根,不符题意;
当函数与函数图像的两个不同交点位于对称轴的同一侧时,方程只有一个实根,不符题意;
以下求解,函数与函数图像的两个交点位于对称轴的两侧时,实数a的取值范围：
设函数图像与函数的图像交于A,B两点,
化简得,
即,解得,
所以或.
,
所以,,
即得,
当时,无解,
当时,显然成立,
所以
综上所述,.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数,
因为是偶函数,
所以,
即,
即对一切恒成立,
所以;
（2）因为函数与的图象有且只有一个公共点,
所以方程有且只有一个根,
即方程有且只有一个根,
令,则方程有且只有一个正根,
当时,解得,不合题意;
当时,开口向上,且过定点,符合题意,
当时,,解得,
综上：实数a的取值范围是.
19．答案：（1）是上的“二阶局部奇函数
（2）
（3）见解析
解析：（1）由题意得,,
即,
由,可得且,得,
,．
所以,是上的“二阶局部奇函数”;
（2）由题意得,,
所以,,可得在时有解,
当时,,即;
,,可得;
,,可得.
所以,,解得.
综上所述,实数m的取值范围是;
（3）由题意得,在R上有解,
可知有解,即有解,
当时,,满足题意;
当时,对于任意的实数,,
,
由,故．
20．答案：（1）,理由见解析
（2）
解析：（1）,理由如下：
因为,
取,此时,
所以.
（2）因为,,,
所以存在,使得,
所以,
令,
令,
因为,所以,
所以,
所以,则,
所以a的取值范围.
21．答案：（1）1
（2）
（1）由已知得函数为偶函数,则,即,
化简整理得,即恒成立,故.
（2）由得,
即,,
所以的两个零点为,,
因为,,且,所以,且,
解得,且.
故a的取值范围是.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式,
令,则,
令,
因为对称轴,所以二次函数在区间上单调递减,所以
有解,,
.
（2）原式可化为,
令,原式可化为
因为方程有三个不同的实数根,所以由的图像知,
方程有两个根,且或,
令
则或
.