人教A版（2019）必修二 第十章 概率 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）必修二 第十章 概率 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．假设第一次感染新冠病毒并且康复后3个月内二次感染的概率大约是0.03,在半年内二次感染的概率是0.5.若某人第一次感染新冠病毒康复后,已经过去了三个月一直身体健康,在未来三个月内此人二次感染的概率是( )
A.0.45 B.0.48. C.0.49 D.0.47.
2．希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是:在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p和均是素数,素数对称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为( )
A. B. C. D.
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在小于9的素数中,选两个不同的数,积为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
4．有编号互不相同的五个砝码,其中3克,1克的砝码各两个,2克的砝码一个,从中随机选取两个砝码,则这两个砝码的总重量超过4克的概率为( )
A. B. C. D.
5．某家族有,两种不同的遗传性状,该家族某成员出现性状的概率为,出现性状的概率为,,两种性状都不出现的概率为,则该成员,两种性状都出现的概率为( )
A. B. C. D.
6．柜子里有3双不同的鞋子,如果从中随机地取出2只,那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的概率为( )
A. B. C. D.
7．如图,一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,设该数字为x.若设事件“x为奇数”,事件“x为偶数”,事件“x为3的倍数”,事件“”,其中是相互独立事件的是( )
A.事件A与事件B B.事件B与事件C
C.事件A与事件D D.事件C与事件D
8．从2023年6月开始,浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷,与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD,某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案,每种答案都等可能（例如,选A,AB,ABC是等可能的）,则该题得2分的概率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．A,B两组各有2名男生,2名女生,从A,B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”,乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”,丙表示事件“从A,B两组中选出的是2名男生”,丁表示事件“从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生”,则( )
A.甲与乙互斥 B.丙与丁互斥
C.甲与乙相互独立 D.乙与丁相互独立
10．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球,分别标有数字1,2,3,现分别用三种方案进行摸球游戏.方案一：任意摸出一个球并选择该球;方案二：先后不放回的摸出两个球,若第二次摸出的球号码比第一次大,则选择第二次摸出的球,否则选择未被摸出的球;方案三：同时摸出两个球,选择其中号码较大的球.记三种方案选到3号球的概率分别为,,,则( )
A. B. C. D.
11．下列说法正确的是( )
A.若事件M，N互斥，，，则
B.若事件M，N相互独立，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
12．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是( )
A.事件A与D为对立事件 B.事件B与C是互斥事件
C.事件C与E为对立事件 D.事件
三、填空题
13．下图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件 “参加数学兴趣小组”,事件 “参加语文兴趣小组”,事件 “参加英语兴趣小组”。现从这个班任意选择一名学生,则事件所代表的区域是_________.（注：事件A的对立事件用符号表示）
14．三个元件a,b,c独立正常工作的概率分别是,,,把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒,,中（一盒接一个元件）,各种连接方法中,此电路正常工作的最大概率是__________.
15．甲 乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时该队获胜,比赛结束),根据以往比赛成绩,甲队主客场安排依次为“主主客客主客主”,设甲队主场取胜的概率为0.8,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是__________.
16．现有两批产品,第一批产品的次品率为5%,第二批产品的次品率为15%,两批产品以3:2的比例混合在一起,从中任取1件,该产品合格的概率为__________.
四、解答题
17．某校为丰富教职工业余文化活动,在教师节活动中举办了“三神杯”比赛,现甲乙两组进入到决赛阶段,决赛采用三局两胜制决出冠军,假设每局比赛没有平局且每一局比赛中甲组获胜的概率为.
（1）求甲组最终获得冠军的概率;
（2）已知冠军奖品为28个篮球,在甲组第一局获胜后,比赛被迫取消,奖品分配方案是:如果比赛继续进行下去,按照甲乙两组各自获胜的概率分配篮球,请问按此方案,甲组,乙组分别可获得多少个篮球
18．在一次射击游戏中,规定每人最多射击3次;在A处击中目标得3分,在B,C处击中目标均得2分,没击中目标不得分;某同学在A处击中目标的概率为,在B,C处击中目标的概率均为,该同学依次在A,B,C处各射击一次,各次射击之间没有影响,求在一次游戏中：
（1）该同学得4分的概率;
（2）该同学得分不超过3分的概率.
19．在举重比赛中,甲,乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为,,且每次试举成功与否互不影响.
（1）求甲试举两次,两次均失败的概率;
（2）求甲,乙各试举一次,至多有一人试举成功的概率.
20．甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队.约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空.设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4.记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，
（1）写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
（2）写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
（3）求“需要进行第五场比赛”的概率.
21．在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1到5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
（2）X表示3号歌手得到观众甲,乙,丙的票数之和,求“”的事件概率.
22．杭州亚运会正在进行,乒乓球被称为中国的“国球”,赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制,每赢一球得1分,一局比赛开始后,先由一方发2球,再由另一方发2球,依次每2球交换发球权,若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方,该局比赛结束；若双方比分打成平后,发球权的次序仍然不变,但实行每球交换发球权,先连续多得2分的一方为胜方,该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,各球的结果相互独立,已知某局比赛甲先发球.
（1）求该局比赛中,打完前4个球时甲得3分的概率；
（2）若在该局双方比分打成平后,两人又打了X个球该局比赛结束,求事件“”的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：令康复后前三个月健康而未来三个月内二次感染的概率为,
则可得：,
解得;
故选：B.
2．答案：B
解析：20以内的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从中任取两个共有15种可能,其中构成孪生素数的有3和5,5和7,11和13共3对,
16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率.
故选:B
3．答案：D
解析：小于9的素数有2,3,5,7,共4个,随机选取两个不同的数,
基本事件有,,,,,,共6种,
其积为奇数的基本事件有,,,共3种,
所以
故选:D
4．答案：A
解析：记3克的砝码为,,1克的砝码为,,2克的砝码为B,从中随机选取两个砝码,
样本空间,
共有10个样本点,其中事件“这两个砝码总重量超过4克”包含3个样本点,故所求的概率为.
故选:A.
5．答案：A
解析：设该家族某成员出现X性状为事件A,出现Y性状为事件B,则X,Y性状都不出现为,则X,Y性状都出现为,所以,,
,所以,所以,所以.
故答案为:A
6．答案：C
解析：分别用,,,,,表示6只鞋,则可能发生的情况有种,
如下所示:,,,,,,,,
,,,,,,
取出的鞋子是一只左脚一只右脚的,但不是一双的事件有6种,即,,,,,,
故选:C
7．答案：B
解析：由题意可得,,,,又,,
,.
因为,,,,
故ACD错误,B正确.
8．答案：B
解析：随机地填涂了1个或2个或3个选项,有A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有14种涂法,
得2分的涂法为BC,BD,CD,B,C,D,共6种,
故能得2分的概率为.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于A选项,因为,,,所以,所以甲与乙相互独立,故A选项错误;
对于B选项,因为,,,
所以,所以丙与丁互斥,故B选项正确;
对于C选项,由A选项知故C选项正确;
对于D选项,因为,,所以,故乙与丁相互独立,故D选项正确.
故选:BCD.
10．答案：ABD
解析：方案一：“选到3号球”的概率,
方案二：选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球,或第一次2号球,第二次1号球,则“选到3号球”的概率,
方案三：同时摸出两个球共有：,,共3个基本事件,“选到3号球”包含,共2个基本事件,“选到3号球”的概率.
,,,,ABD正确,C错误.
故选：ABD.
11．答案：ABC
解析：对于A：，正确；
对于B：，正确；
对于C：，，，，
所以，解得，C正确；
对于D：由C得，D错误，
故选：ABC.
12．答案：AD
解析：设是样本空间，
A选项，由于，所以A与D是对立事件，A选项正确.
B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”，
所以B与C不是互斥事件，B选项错误.
C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”，
所以C与E不是对立事件，C选项错误.
D选项，由于，所以，所以D选项正确.
故选：AD
13．答案：4
解析：
14．答案：
解析：若接入a,,分别接入b,c,则该电路正常工作的概率为;
若接入b,,分别接入a,c,则该电路正常工作的概率为;
若接入c,,分别接入a,b,则该电路正常工作的概率为;
,此电路正常工作的最大概率为.
故答案为:.
15．答案：或
解析：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”
设甲队主场取胜的概率为0.8,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,
甲队以4:1获胜包含的情况有:
①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:,
②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:,
③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:,
④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:,
则甲队以4:1获胜的概率为:
.
故答案为:0.32
16．答案：0.91或
解析：设两批产品共取n件,
所以第一批产品中的合格品有件,第二批产品中的合格品有件,
所以从中任取1件,该产品合格的概率为.
故答案为:0.91
17．答案：（1）
（2）甲组获得21个,乙组获得7个.
解析：（1）令事件:甲组在第i局获胜,,,,
甲组胜的概率为:
;
（2）由题意知,在甲组第一局获胜的情况下,甲组输掉比赛事件为:
甲组接下来的比赛中连输两场,
所以在甲第一局获胜的前提下,最终输掉比赛的概率:
,即甲获胜的概率为,
故甲组,乙组应按照的比例来分配比赛奖品,
即甲组应获得21个篮球,乙组获得7个篮球比较合理.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设该同学在A处击中目标为事件A,在B处击中目标为事件B,在C处击中目标为事件C,事件A,B,C相互独立.依题意,,
,
则该同学得4分的概率为.
（2）该同学得0分的概率为
得2分的概率为;
得3分的概率为;
得4分的概率为;
则该同学得分少于5分的概率为,
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设“甲第一次试举成功”为,“甲第二次试举成功”为,
“甲试举两次,两次均失败”为C,
则,
.
（2）设“甲,乙各试举一次,至多有一人试举成功”为D,
则表示“甲,乙各试举一次都成功”,
.
20．答案：（1）事件为ACAC，概率为0.04
（2）事件分别为BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率为0.25
（3）
解析：（1）依题意，，，“乙队连胜四场”的事件为ACAC，
所以.
（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件BCBC；
“乙队连胜四场”为事件ACAC；“丙队上场后连胜三场”为事件ABAB和事件BABA，
所以，“比赛四场结束”的概率为
.
（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
所以，需要进行第五场比赛的概率为.
21．答案：（1）
（2）
解析:（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,观众甲选出3名歌手的样本空间,事件A包含2个样本点,则,
设B表示事件“观众乙选中3号歌手”,观众乙选出3名歌手的样本空间
,,事件B包含6个样本点,则.
事件A与B相互独立,A与相互独立,则表示事件“甲选中3号歌手,且乙没选中3号歌手”..
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.
（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则,
依题意,A,B,C相互独立,,,相互独立,
且,,,ABC彼此互斥.
又,
,
.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,甲发球时甲失分的概率为,乙发球时甲失分的概率为,
若打完前4个球时甲得3分,则甲失一球,
这个球可能是甲发也可能是乙发,
所以打完前4个球时甲得3分的概率为；
（2）若在该局双方比分打成平后,则接下来是甲发球,
若,则或,
,
,
所以.