人教A版 （2019）选择性必修一第二章 直线与圆的方程 章节测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版 （2019）选择性必修一第二章 直线与圆的方程 章节测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 791.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-26 02:45:26 | ||
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文档简介
人教A版（2019） 选择性必修一第二章 直线与圆的方程 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．圆心为且过原点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3．“”是“直线与圆相切”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知O为原点,点为圆心,以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
5．已知圆,对于直线上的任意一点P,圆C上都不存在两点A,B使得,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．已知,,则直线AB的斜率为( )
A. B. C. D.
7．已知点,,若圆上存在点P（不同于点A,B）使得,则实数r的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．如图,在平面直角坐标系中有三条直线,,,其对应的斜率分别为,,,则下面选项中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知直线,直线,下列说法正确的是( )
A.直线在y轴上的截距等于直线在x轴上的截距
B.若点在直线上,则点也在直线上
C.若,则
D.若,则
10．直线l与圆相切,且l在x轴、y轴上的截距相等,则直线l的方程可能是( )
A. B. C. D.
11．在如图所示的直角坐标系中,五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣,若每个圆环的大圆半径为1.2,小圆半径为1,其中圆心,,在x轴上,且,,圆与圆关于y轴对称,直线,之间的距离为1.1,则给出的结论中正确的是( )
A.设M,N是图中五个圆环组成的图形上任意的两点,则M,N两点间的距离的最大值为7.6
B.小圆标准方程为
C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D.小圆与小圆公共弦所在的直线方程为
12．已知点,,圆,若在圆C上存在唯一的点Q使得,则m可以为 ( )
A.3 B. C. D.
三、填空题
13．与直线相切于点的圆C过点,则圆C的半径为______.
14．已知直线,直线,若直线l与m的交点在第一象限,则实数k的取值范围为___________.
四、双空题
15．若直线l的倾斜角，则其斜率k的取值范围是__________；若直线l的斜率，则其倾斜角的取值范围是__________.
16．直线,若,则a的值为__________;此时与的距离是__________.
五、解答题
17．如图,已知圆,点.
（1）求圆心在直线上,经过点A且与圆C相外切的圆N的方程;
（2）若过点A的直线l与圆C交于P,Q两点,且圆弧恰为圆C周长的,求直线的方程.
18．如图，在平面直角坐标系中，圆与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点.
（1）若，，求的面积；
（2）若直线MN过点，试证明为定值，并求此定值.
19．在柯桥古镇的开发中,为保护古桥OA,规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥,使新桥BC与河岸AB垂直,并设立一个以线段OA上一点M为圆心,与直线BC相切的圆形保护区（如图所示）,且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m,经测量,点A位于点O正南方向25m,,建立如图所示直角坐标系.
（1）求新桥BC的长度;
（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最小？
20．已知,以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为.
（1）求圆A的方程;
（2）若过点的直线l与圆A相切,求直线l的方程.
21．在平面直角坐标系中,已知圆,圆过原点及点且直线CN的一个方向向量为.
（1）求圆N的标准方程;
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等,求直线的方程.
22．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线被圆M截得的弦长为2，且圆心M在直线l的上方.
（1）求圆M的方程；
（2）设，，若圆M是的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率(用t表示)；
（3）在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的t值.
参考答案
1．答案：B
解析：设为直线的倾斜角,当时,直线的斜率不存在,直线的倾斜角,
当时,直线的斜率＝,
所以直线的倾斜角的取值范围是.
综上所述,.
故选:B.
2．答案：C
解析：圆心为且过原点的圆的半径为,
故圆心为且过原点的圆的圆的方程为,
故选：C.
3．答案：A
解析:由题知,圆的圆心为,半径为1,
设圆心到直线的距离为d
则,解得:或.
由此可知,“”是“或”的充分不必要条件,
故选:A.
4．答案：C
解析：由题意可得圆心坐标,半径为,
则圆的方程为,即为,
故选：C.
5．答案：B
解析：如下图所示:
圆心为,半径为,圆心C到直线l的距离为,
考虑PA,PB都与圆C相切,
此时,由切线长定理可知,,
又因为,,则,
设,则,
因为,则,故当时,最大,此时,最大,
因为对于直线上的任意一点,
圆C上都不存在两点A,B使得,则,可得,
则,可得,解得或.
故选:B.
6．答案：A
解析：由题意,,所以直线AB的斜率为.
故选:A.
7．答案：A
解析：根据直径对的圆周角为,
结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点,
因为点P（不同于点A,B）,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为,两个圆的圆心距为3,
故|,求得,
故选：A．
8．答案：A
解析：由题图可知,,,,且,
所以,,,
故选:A.
9．答案：BD
解析：直线在y轴上的截距为-2,直线在x轴上的截距为2,不相等,故A错误;
若点在直线上,则,所以点在直线上,故B正确;
当时, 与重合,故C错误;
若,则,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：圆的圆心坐标为,半径,
依题意直线l的斜率存在,
若直线l过坐标原点,设直线l为,即,
则,解得,
所以直线l的方程为或;
若直线l不过坐标原点,设直线l为（）,即,
则,解得（舍去）或,
所以直线l的方程为,
综上可得直线l的方程为或或.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：设每个大圆的半径为R,每个小圆的半径为r.因为,
所以M,N两点间距离的最大值应为,A选项正确.
依题意可得小圆的圆心为,半径,所以小圆的标准方程为1,B选项正确.
因为每个圆环的面积为,即,而五个圆环有重合的部分,
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于,C选项错误.
又小圆的方程为,所以小圆和小圆两圆方程相减,
可得公共弦所在直线方程,化简得,D选项正确.
故选:ABD
12．答案：AD
解析:根据可知,点Q的轨迹为以AB为直径的圆T,,
圆的圆心,,圆C的圆心,
若在圆C上存在唯一的点Q使得,故圆T和圆C相切,
即或,,
即或(无解),
即或,
故或
故选:AD.
13．答案：
解析：过点且与直线垂直的直线为,则圆心在直线上,
又圆心在线段MN的垂直平分线上,即圆心在直线上.
所以圆心坐标为,则圆的半径.
故答案为:
14．答案：
解析：由题意得两直线不平行,即,得,
由得,
由于直线l与m的交点在第一象限,
所以,解得,则实数k的取值范围为,
故答案为：.
15．答案：；
解析：因为，，，，所以；当时，.
16．答案：-3,
解析：由,则,即,可得或,
当时,,符合题设;
当时,,为同一条直线,不合题设;
综上,,此时,
所以与的距离.
故答案为：-3,
17．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）由,化为标准方程得
所以圆C的圆心坐标为,
又因为圆N的圆心在直线上,所以当两圆外切时,切点为O,
设圆N的圆心坐标为,因为在圆N上,可得,
则有
解得,所以圆N的圆心坐标为,半径,
故圆N的方程为.
（2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的,
根据圆的性质,可得,所以点C到直线l的距离为,
①当直线l的斜率不存在时,点C到y轴的距离为2,直线l即为y轴,
此时直线l的方程为.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即.
可得,即,解得,
所以直线l的方程,即,
故所求直线l的方程为或.
18．答案：（1）
（2）为定值，且此定值为
解析：（1）根据题意，圆的圆心为，半径，.
若，则直线AM的方程为，即.
若，则直线AN的方程为，即.
由题意，知，所以，所以MN为圆O的直径，
所以圆心到直线AM的距离，
则.
由中位线定理，知，
所以的面积.
（2）设，.
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，
代入圆的方程，得，
整理，得，
则，，
此时
.
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，代入圆的方程，得，，
此时.
综上所述，为定值，且此定值为.
19．答案：（1）80m;
（2）.
解析：（1）由题意,可知,,
直线BC方程：①,
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知,,从而得
故新桥BC得长度为80m.
（2）设,则,圆心,
直线BC与圆M相切,半径,
又因为,
,所以当时,圆M的面积达到最小.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）不妨设圆的半径为R,根据垂径定理,可得:
解得:
则圆的方程为:
（2）当直线l的斜率不存在时,则有:
故此时直线l与圆相切,满足题意
当直线l的斜率存在时,不妨设直线l的斜率为k,点的直线l的距离为d
直线l的方程为:
则有:
解得:,此时直线l的方程为:
综上可得,直线l的方程为:或
21．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可知,CN的直线方程为,
圆N的圆心N在直线上,设,半径为r,
因为圆N过原点与,且圆C的圆心为,半径为,
所以,
即①,
又,
即②,
由①②可得,,
所以,
所以圆N的标准方程为;
（2）当斜率不存在时,直线l的方程为:与圆相离,不符合题意.
当斜率存在时,设直线l的方程为:,
则圆心C到直线l的距离为,
圆心N到直线l的距离为,
又因为被两圆截的弦长相等,
所以,
即,
解得:或.
故直线l的方程为或.
22．答案：（1）
（2）见解析
（3）的面积S的最大值为24，此时或
解析：（1）设圆心，由已知得M到的距离为，
所以，又因为M在l的上方，
所以，则，解得，
所以圆的方程为.
（2）设AC斜率为，BC斜率为，
则直线AC的方程为，直线BC的方程为.
由于圆M与AC相切，所以，
解得；同理可得.
（3）由（2）可得直线AC的方程为，直线BC的方程为，
联立两条直线方程得C点的横坐标为，
因为，
所以，
由（2）得：
因为，所以，
所以，
所以，则，
所以，此时，解得或.
综上：的面积S的最大值为24，此时或.
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．圆心为且过原点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3．“”是“直线与圆相切”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知O为原点,点为圆心,以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
5．已知圆,对于直线上的任意一点P,圆C上都不存在两点A,B使得,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6．已知,,则直线AB的斜率为( )
A. B. C. D.
7．已知点,,若圆上存在点P（不同于点A,B）使得,则实数r的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．如图,在平面直角坐标系中有三条直线,,,其对应的斜率分别为,,,则下面选项中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知直线,直线,下列说法正确的是( )
A.直线在y轴上的截距等于直线在x轴上的截距
B.若点在直线上,则点也在直线上
C.若,则
D.若,则
10．直线l与圆相切,且l在x轴、y轴上的截距相等,则直线l的方程可能是( )
A. B. C. D.
11．在如图所示的直角坐标系中,五个大小相同的圆环排成两排从左到右环环相扣,若每个圆环的大圆半径为1.2,小圆半径为1,其中圆心,,在x轴上,且,,圆与圆关于y轴对称,直线,之间的距离为1.1,则给出的结论中正确的是( )
A.设M,N是图中五个圆环组成的图形上任意的两点,则M,N两点间的距离的最大值为7.6
B.小圆标准方程为
C.图中五个圆环覆盖的区域的面积为
D.小圆与小圆公共弦所在的直线方程为
12．已知点,,圆,若在圆C上存在唯一的点Q使得,则m可以为 ( )
A.3 B. C. D.
三、填空题
13．与直线相切于点的圆C过点,则圆C的半径为______.
14．已知直线,直线,若直线l与m的交点在第一象限,则实数k的取值范围为___________.
四、双空题
15．若直线l的倾斜角，则其斜率k的取值范围是__________；若直线l的斜率，则其倾斜角的取值范围是__________.
16．直线,若,则a的值为__________;此时与的距离是__________.
五、解答题
17．如图,已知圆,点.
（1）求圆心在直线上,经过点A且与圆C相外切的圆N的方程;
（2）若过点A的直线l与圆C交于P,Q两点,且圆弧恰为圆C周长的,求直线的方程.
18．如图，在平面直角坐标系中，圆与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点.
（1）若，，求的面积；
（2）若直线MN过点，试证明为定值，并求此定值.
19．在柯桥古镇的开发中,为保护古桥OA,规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥,使新桥BC与河岸AB垂直,并设立一个以线段OA上一点M为圆心,与直线BC相切的圆形保护区（如图所示）,且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m,经测量,点A位于点O正南方向25m,,建立如图所示直角坐标系.
（1）求新桥BC的长度;
（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最小？
20．已知,以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为.
（1）求圆A的方程;
（2）若过点的直线l与圆A相切,求直线l的方程.
21．在平面直角坐标系中,已知圆,圆过原点及点且直线CN的一个方向向量为.
（1）求圆N的标准方程;
（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等,求直线的方程.
22．已知圆M的圆心M在x轴上，半径为2，直线被圆M截得的弦长为2，且圆心M在直线l的上方.
（1）求圆M的方程；
（2）设，，若圆M是的内切圆，求AC，BC边所在直线的斜率(用t表示)；
（3）在（2）的条件下求的面积S的最大值及对应的t值.
参考答案
1．答案：B
解析：设为直线的倾斜角,当时,直线的斜率不存在,直线的倾斜角,
当时,直线的斜率＝,
所以直线的倾斜角的取值范围是.
综上所述,.
故选:B.
2．答案：C
解析：圆心为且过原点的圆的半径为,
故圆心为且过原点的圆的圆的方程为,
故选：C.
3．答案：A
解析:由题知,圆的圆心为,半径为1,
设圆心到直线的距离为d
则,解得:或.
由此可知,“”是“或”的充分不必要条件,
故选:A.
4．答案：C
解析：由题意可得圆心坐标,半径为,
则圆的方程为,即为,
故选：C.
5．答案：B
解析：如下图所示:
圆心为,半径为,圆心C到直线l的距离为,
考虑PA,PB都与圆C相切,
此时,由切线长定理可知,,
又因为,,则,
设,则,
因为,则,故当时,最大,此时,最大,
因为对于直线上的任意一点,
圆C上都不存在两点A,B使得,则,可得,
则,可得,解得或.
故选:B.
6．答案：A
解析：由题意,,所以直线AB的斜率为.
故选:A.
7．答案：A
解析：根据直径对的圆周角为,
结合题意可得以AB为直径的圆和圆有交点,
因为点P（不同于点A,B）,显然两圆相切时不满足条件,故两圆相交．
而以AB为直径的圆的方程为,两个圆的圆心距为3,
故|,求得,
故选：A．
8．答案：A
解析：由题图可知,,,,且,
所以,,,
故选:A.
9．答案：BD
解析：直线在y轴上的截距为-2,直线在x轴上的截距为2,不相等,故A错误;
若点在直线上,则,所以点在直线上,故B正确;
当时, 与重合,故C错误;
若,则,故D正确.
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：圆的圆心坐标为,半径,
依题意直线l的斜率存在,
若直线l过坐标原点,设直线l为,即,
则,解得,
所以直线l的方程为或;
若直线l不过坐标原点,设直线l为（）,即,
则,解得（舍去）或,
所以直线l的方程为,
综上可得直线l的方程为或或.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：设每个大圆的半径为R,每个小圆的半径为r.因为,
所以M,N两点间距离的最大值应为,A选项正确.
依题意可得小圆的圆心为,半径,所以小圆的标准方程为1,B选项正确.
因为每个圆环的面积为,即,而五个圆环有重合的部分,
所以图中五个圆环覆盖的区域的面积小于,C选项错误.
又小圆的方程为,所以小圆和小圆两圆方程相减,
可得公共弦所在直线方程,化简得,D选项正确.
故选:ABD
12．答案：AD
解析:根据可知,点Q的轨迹为以AB为直径的圆T,,
圆的圆心,,圆C的圆心,
若在圆C上存在唯一的点Q使得,故圆T和圆C相切,
即或,,
即或(无解),
即或,
故或
故选:AD.
13．答案：
解析：过点且与直线垂直的直线为,则圆心在直线上,
又圆心在线段MN的垂直平分线上,即圆心在直线上.
所以圆心坐标为,则圆的半径.
故答案为:
14．答案：
解析：由题意得两直线不平行,即,得,
由得,
由于直线l与m的交点在第一象限,
所以,解得,则实数k的取值范围为,
故答案为：.
15．答案：；
解析：因为，，，，所以；当时，.
16．答案：-3,
解析：由,则,即,可得或,
当时,,符合题设;
当时,,为同一条直线,不合题设;
综上,,此时,
所以与的距离.
故答案为：-3,
17．答案：（1）
（2）或.
解析：（1）由,化为标准方程得
所以圆C的圆心坐标为,
又因为圆N的圆心在直线上,所以当两圆外切时,切点为O,
设圆N的圆心坐标为,因为在圆N上,可得,
则有
解得,所以圆N的圆心坐标为,半径,
故圆N的方程为.
（2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的,
根据圆的性质,可得,所以点C到直线l的距离为,
①当直线l的斜率不存在时,点C到y轴的距离为2,直线l即为y轴,
此时直线l的方程为.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,即.
可得,即,解得,
所以直线l的方程,即,
故所求直线l的方程为或.
18．答案：（1）
（2）为定值，且此定值为
解析：（1）根据题意，圆的圆心为，半径，.
若，则直线AM的方程为，即.
若，则直线AN的方程为，即.
由题意，知，所以，所以MN为圆O的直径，
所以圆心到直线AM的距离，
则.
由中位线定理，知，
所以的面积.
（2）设，.
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，
代入圆的方程，得，
整理，得，
则，，
此时
.
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，代入圆的方程，得，，
此时.
综上所述，为定值，且此定值为.
19．答案：（1）80m;
（2）.
解析：（1）由题意,可知,,
直线BC方程：①,
同理可得：直线AB方程：②
由①②可知,,从而得
故新桥BC得长度为80m.
（2）设,则,圆心,
直线BC与圆M相切,半径,
又因为,
,所以当时,圆M的面积达到最小.
20．答案：（1）
（2）或
解析：（1）不妨设圆的半径为R,根据垂径定理,可得:
解得:
则圆的方程为:
（2）当直线l的斜率不存在时,则有:
故此时直线l与圆相切,满足题意
当直线l的斜率存在时,不妨设直线l的斜率为k,点的直线l的距离为d
直线l的方程为:
则有:
解得:,此时直线l的方程为:
综上可得,直线l的方程为:或
21．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意可知,CN的直线方程为,
圆N的圆心N在直线上,设,半径为r,
因为圆N过原点与,且圆C的圆心为,半径为,
所以,
即①,
又,
即②,
由①②可得,,
所以,
所以圆N的标准方程为;
（2）当斜率不存在时,直线l的方程为:与圆相离,不符合题意.
当斜率存在时,设直线l的方程为:,
则圆心C到直线l的距离为,
圆心N到直线l的距离为,
又因为被两圆截的弦长相等,
所以,
即,
解得:或.
故直线l的方程为或.
22．答案：（1）
（2）见解析
（3）的面积S的最大值为24，此时或
解析：（1）设圆心，由已知得M到的距离为，
所以，又因为M在l的上方，
所以，则，解得，
所以圆的方程为.
（2）设AC斜率为，BC斜率为，
则直线AC的方程为，直线BC的方程为.
由于圆M与AC相切，所以，
解得；同理可得.
（3）由（2）可得直线AC的方程为，直线BC的方程为，
联立两条直线方程得C点的横坐标为，
因为，
所以，
由（2）得：
因为，所以，
所以，
所以，则，
所以，此时，解得或.
综上：的面积S的最大值为24，此时或.