人教A版（2019）选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设抛物线的焦点为F,直线,P为抛物线上一点,,M为垂足,如果直线MF的斜率为,那么等于( )
A. B. C. D.
2．已知椭圆的右焦点为,过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为,则E的方程为( )
A. B. C. D.
3．已知椭圆的左、右顶点分别是A,B,O是坐标原点,P在椭圆C上,且,则的面积是( )
A. B.4 C. D.8
4．双曲线的左焦点为F,过点F的直线l与双曲线C交于A,B两点,若过A,B和点的圆的圆心在y轴上,则直线l的斜率为( )
A. B. C. D.
5．已知,是椭圆的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
6．加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）,则椭圆的蒙日圆的半径为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7．不过原点的直线与双曲线交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率小于,则E的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知抛物线的焦点为F,准线l与x轴交于点M,过M的直线l与抛物线C相交于,两点,点D是点关于轴的对称点,则下列说法正确的是( )
A. B.的最小值为10
C.B,F,D三点共线 D.
10．过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线
11．已知曲线,直线l过点交于A,B两点,下列命题正确的有( )
A.若A点横坐标为8,则
B.若,则的最小值为6
C.原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点
D.若,则以线段AB为直径的圆的面积是
12．已知椭圆()的左 右焦点分别为,,若椭圆M与坐标轴分别交于A,B,C,D四点,且从,,A,B,C,D这六点中,可以找到三点构成一个等边三角形,则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．过双曲线上的任意一点P,作双曲线渐近线的平行线,分别交渐近线于点M,N,若,则双曲线离心率的取值范围是___________.
14．已知双曲线C的左顶点为A,右焦点为F,离心率为e,动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合,若恒成立,则双曲线C的渐近线方程为__________.
15．已知F为抛物线的焦点,M,N都是抛物线上的点,O为坐标原点,若的外接圆与抛物线C的准线l相切,且该圆的面积为,点,则的最小值为______________.
16．已知抛物线的焦点为F,平行y轴的直线l与圆交于A,B两点（点A在点B的上方）,l与C交于点D,则周长的取值范围是____________
四、解答题
17．已知直线轴,垂足为x轴负半轴上的点E,点E关于原点O的对称点为F,且,直线,垂足为A,线段AF的垂直平分线与直线交于点B,记点B的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）已知点,不过点P的直线l与曲线C交于M,N两点,以线段MN为直径的圆恒过点P,点P关于x轴的对称点为Q,若的面积是,求直线的斜率.
18．已知点在椭圆上,且该椭圆的离心率为.直线l交椭圆于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为零,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求的面积.
19．已知焦点在x轴的抛物线C经过点.
（1）求抛物线C的标准方程.
（2）过焦点F作直线l,交抛物线C于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为-1,求直线l的方程.
20．已知椭圆的两焦点为,,P为椭圆上一点,且
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）斜率为的直线过椭圆C的右焦点,交椭圆A,B两点,求AB线段的长.
21．已知抛物线(p为常数,)的焦点与椭圆的右焦点重合,过点F的直线与抛物线交于A,B两点.
（1）求抛物线C的标准方程;
（2）若直线AB的斜率为1,求.
22．已知椭圆,点A,B分别是椭圆与y轴的交点（点A在点B的上方）,过点且斜率为k的直线l交椭圆于E,G两点.
(1)若椭圆焦点在x轴上,且其离心率是,求实数m的值;
(2)若,求的面积;
(3)设直线AE与直线交于点H,证明：B,G,H三点共线.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物线的焦点为,设,,
由MF的斜率为得:,解得,
由于且P为抛物线上,所以,,
解得,即,所以,
故选:C.
2．答案：D
解析：设,,所以,运用点差法,所以直线AB的斜率为,设直线方程为,联立直线与椭圆的方程,所以;又因为,解得,.
3．答案：A
解析：设,因点P在椭圆上,且,
则有,消去m,得到,所以,
又,,故的面积是．
故选：A.
4．答案：A
解析：由题意可知:,设,,AB的中点为P,
过点A,B,M的圆的圆心坐标为,则,
由题意知:直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为:,
联立方程组,化简整理可得,,
则,,
,,
故AB的中点P的纵坐标,横坐标,
则,
由圆的性质可知:圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线,
所以,化简整理可得:①,
则圆心到直线AB的距离,
,
,即,
将①代入可得:,
即,
整理可得:,则,
因为,所以,解得,
.
故选:A.
5．答案：D
解析:分析:先根据条件得,再利用正弦定理得a,c关系,即得离心率.
解析:因为为等腰三角形,,所以,
由AP斜率为得,,,,
由正弦定理得,
所以,
,,
故选D.
6．答案：C
解析：由蒙日圆的定义,可知椭圆的两条切线、的交点在圆上,
所以蒙日圆的半径.
故选：C．
7．答案：B
解析：设点,
则有,
两式作差解得：,
即,
设,
因为,,,,
代入整理得：,即,
由题意知,
因为,,
又因为,
解得：,即,
故选：B.
8．答案：A
解析：因为,由双曲线的定义可得,
所以,;
因为,由余弦定理可得,
整理可得,所以,即.
故选：A.
9．答案：CD
解析：设直线,联立方程组
,,则,
选项A不正确;
,所以
当且仅当时等号成立,所以的最小值为9,选项不正确;
,设,联立方程组,,则,所以,
即直线BD过点F,选项正确;
对于选项,,,
,选项正确.
正确答案是C.D
10．答案：CD
解析：如图,设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆的半径为.若点A与点B不重合,由于两圆相内切,则,由于,
因为,即,
所以动点C到两个定点A,B距离和为常数R,
又因为B为圆内的定点,所以.
所以此时动点C的轨迹为椭圆;
若A,B重合为一点,则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆.
故选:CD
11．答案：BCD
解析：对于A,易得是抛物线的焦点,
若A点横坐标为8,则,即或,根据抛物线的对称性可得两种情况计算出的相同,再此取计算.
所以l的直线方程是即,
直线与相交,联立方程得,,
得,,故A错误;
对于B,过点A作准线的垂线,垂足为,则,
当P,A,三点共线时取最小值,此时最小值为,故B正确;
对于C,设原点O在直线l上的投影为H,OF的中点为,
因为,所以,所以为直角三角形,
所以,
根据几何性质及圆的定义可知点H的轨迹方程为,
联立得,
解得,所以直线与只有一个交点,故C正确;
对于D,设直线的方程为,
联立得
所以,
因为,而,所以,
所以,所以,
所以,解得,
则,
所以,
,所以以线段AB为直径的圆的面积是,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：AB
解析：不妨设A,B为长轴端点,C,D为短轴端点,已知A,B关于原点对称,,关于原点对称,C,D关于原点对称,相应的三角形只取其中一个即可;
首先可能是等边三角形,因为,所以,此时不可能是等边三角形,不合题意;
若为等边三角形,则,所以选项B有可能;
若为等边三角形,则,,所以选项A有可能;
若为等边三角形,则,;
综上可知,可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.
故选:AB.
13．答案：
解析：因为双曲线的渐近线方程为:,
即,设点,可得:,
联立方程组,解得:,
同理可得:,
所以,
因为,所以,
所以,由题意可得:,
所以,故离心率,又因为双曲线的离心率,
所以双曲线离心率的取值范围为,
故答案为:.
14．答案：
解析：如图：
因为恒成立,取特殊位置轴时,此时,所以,
在中,,
双曲线中,,
将代入双曲线方程得,整理可得：,
取点位于第一象限,所以,
则,
所以,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,,此时不符合题意,故不成立,
当时,,
所以,即,可得,所以,
所以,,
所以双曲线的渐近线方程为,
故答案为：.
15．答案：或
解析：依题意作下图:
外接圆半径,
的外接圆与抛物线C的准线l相切,外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,
又圆心在OF的中垂线上,中垂线的方程为,准线方程为,,,并且点Q是准线与x轴的交点;
抛物线C的方程为:,过M作得,
,
最小即最大,显然当与抛物线相切时最大,
设直线的方程为,联立得:,
令,解得,即,,故的最小值为;
故答案为:.
16．答案：
解析：如下图所示：
抛物线C的焦点,准线为,过点D作,垂足为点M,
由抛物线的定义得,圆的圆心为点F,半径长为1,
则的周长,
当直线l与圆相切时,则点A、B重合,此时,;
当直线l过点F时,则点A、D、F三点共线,则．
由于A、D、F不能共线,则,所以,,即,
因此,的周长的取值范围是,
故答案为：．
17．答案：（1）
（2）1或.
解析：（1）由线段AF的垂直平分线与直线交于点B,可得,
即点B到点F的距离等于点B到直线的距离,
又因为,的方程为,所以,
所以点B的轨迹C是以F为焦点,直线为准线的抛物线,
所以点B的轨迹C的方程为.
（2）根据题意,直线的斜率不为0,设直线,且,
联立方程组,可得,则,
所以,,
所以,
又点,点Q到直线l的距离为,
所以,
又以线段MN为直径的圆恒过点P,所以,
所以,
又,,
所以,
所以,
所以,所以,
即,所以,
所以或,
又直线l不经过点P,所以,所以,此时满足,
所以,
解得或,所以直线l的斜率为1或.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）设椭圆的焦距为,
由题意可得,解得,
所以椭圆方程为;
（2）由题意作下图：
不妨设直线AP的倾斜角为锐角且为,
则直线AQ的倾斜角为,所以,
因,,解得,
又为锐角,所以,于是得直线,,
联立方程组消去y得：,
因为方程有一根为2,所以,,
同理可得,,
所以,,点A到直线PQ的距离,
所以的面积为;
综上,椭圆方程为;的面积为.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意可设抛物线方程为：,
抛物线过点, ,
;
（2）设l的方程为,,,
则由,,
所以,
由题意,,
故,
即直线l的方程为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,,
,.
,
所以椭圆C的标准方程为.
（2）斜率为的直线过椭圆C的右焦点
所以直线方程为:,联立椭圆C的方程得:
,化简得:
设,,则,
故.
21．答案：（1）
（2）16
解析：（1）因为椭圆的右焦为,所以,
所以,即,
所以抛物线C的标准方程;
（2）由（1）可知,直线AB的方程为,
联立方程,得,
设,,
所以,,
所以.
22．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：（1）依题意,,解得（负数舍去）.
（2）的直线经过,则直线方程为：;
,则椭圆的方程为：.
设,联立直线和椭圆方程：,消去y得到,
解得,则,故,
于是.
依题意知,B为椭圆的下顶点,即,由点到直线的距离,到的距离为：.
故
（3）设,联立直线和椭圆方程：,
得到,
由,得到直线AE方程为：,
令,解得,即,又,,
为说明B,G,H三点共线,只用证,即证：,
下用作差法说明它们相等：
,
而,,,
于是上式变为：.
由韦达定理,,于是,
故,命题得证.