人教A版（2019）选择性必修二 第四章 数列 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）选择性必修二 第四章 数列 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．数列1,,,,···的第8项是( )
A. B. C. D.
2．设公比为-2的等比数列的前n项和为,若,则等于( )
A.8 B.4 C.-4 D.-8
3．已知等差数列的前项和为,若且,则( )
A. B. C. D.
4．已知数列满足:,,,则( )
A. B. C. D.
5．已知是等差数列的前n项和，若，则( )
A.2 B.3 C.4 D.6
6．已知等比数列的前n项和为，，，则其公比( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．设等差数列的前n项和为,若,则( )
A. B. C. D.
8．已知等比数列的前n项和为,且数列是等差数列,则( )
A.1或 B.1或 C.2或 D.或
二、多项选择题
9．已知数列,都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
10．已知等比数列的前项和为,若,则数列的公比可能是( )
A.1 B. C.3 D.
11．设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是( )
A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B.已知，则是间隔递增数列
C.已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D.已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
12．若正项数列是等差数列,且,则( )
A.当时, B.的取值范围是
C.当为整数时,的最大值为29 D.公差d的取值范围是
三、填空题
13．等比数列各项均为正数,,则____________．
14．设等差数列的前n项和为,且,则________.
15．数列的前n项和为,若,,则______.
16．南宋数学家在《解析：九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为______.
四、解答题
17．设为数列的前n项和,已知,对任意,都有.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列的前n项和为,求证：.
18．已知等差数列前n项和为,满足,.数列满足,,.
（1）求数列,的通项公式;
（2）设数列满足,,求数列的前n项和.
19．已知数列的前n项和为,且
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和
20．已知为正项数列的前n项和,,且（且）.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
21．设各项均为正数的数列满足(p,r为常数),其中为数列的前n项和.
（1）若,,求证:等差数列;
（2）若,,求数列的通项公式.
22．在数列中，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，是否存在正整数k，使得对任意，恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：观察1,,,,···可看为1,,,,···
分母是,分子为,故第8项为,
故选：A.
2．答案：C
解析：由得：,又
解得：,所以
故选：C.
3．答案：D
解析:设等差数列的公差为d,由等差数列的求和公式可得,
所以,,所以,,
解得,因此,.
故选:D.
4．答案：C
解析：,,
,,
,
又,故,
所以,
所以,,,
故,
则,
所以.
故选:C.
5．答案：B
解析：由题意，，解得，设等差数列的公差为，
则.
故选：B.
6．答案：C
解析：注意到，，首先，（否则，矛盾），
其次，，
两式相比得，解得.
故选：C.
7．答案：A
解析：在等差数列中,,,,成等差数列,即,
设,则,所以,解得,所以.
故选A.
8．答案：B
解析：设等比数列的公比为q,
由,,成等差数列可得,,
即,化简得,
解得 或.
又,
所以,.
当时,;
当 时,．
故选：B．
9．答案：AC
解析：设等比数列、的公比分别为、,其中,,
对任意的,,,
对于A选项,,即数列为等比数列,A满足条件;
对于B选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,
但对任意的,,
故数列不是等比数列,不满足条件;
对于C选项,,故为等比数列,C满足条件.
对于选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,
但当时,,
故数列不是等比数列,D不满足条件;
故选：AC.
10．答案：AB
解析:设数列的公比为q,若,
则,满足题意;
若,由,得,解得,
综上,或.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：设等比数列的公比为，则.
因为，所以当时，，故A错误；，令，则在上单调递增，令，解得，此时，，故B正确；，当n为奇数时，，存在，使成立；当n为偶数时，，存在，使成立，综上，是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确；
若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，成立，则对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立，即对于，存在使之成立，且对于，存在使之成立，所以，且，解得，故D正确.故选BCD.
12．答案：ABC
解析：当,时,公差,,故A正确;
因为是正项等差数列,所以,即,且,
所以公差d的取值范围是,故D错误;
因为,所以的取值范围是,故B正确;
,当为整数时,的最大值为29,故C正确;
故选：ABC.
13．答案：20
解析：由,得
所以
14．答案：
解析：设等差数列的公差为d,
,,化为:.
则.
故填12.
15．答案：96
解析：①,②,
两式相减得,故,,
令中得,,
所以.
故答案为:96
16．答案：191
解析：高阶等差数列：1,2,4,7,11,16,22,,
令,则数列：1,2,3,4,5,6,,
则数列为等差数列,首项,公差,,则
则
,
故答案为：191
17．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）因为,所以.
两式相减,得,即
所以当时,,
所以,即
又因为,所以,又也符合该式,故.
（2）证明：由（1）有,令,,
则
所以
=
因为,所以
因为在N*上是递减函数,
所以在N*上是递增函数.
所以当时,取得最小值.所以
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设数列的公差为d,,
解得,,.
,,且,所以是等比数列,
,
（2）,
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知,当时,,即,.
当时,,,
两式相减,得,即,（）,
由等比数列的定义知,数列是首项,公比的等比数列,
数列的通项公式为.
（2）由第（1）问,,,①
①,得,,②
①②,得
,
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意,,（且）,,
当时,,,负根舍去.
当时,,,
整理得,而,所以,
所以数列从第2项起是公差为的等差数列,
所以,所以.
（2）当时,,
当时,,
所以①,
②,
①-②得
,
所以,也符合上式,所以.
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当,时,,当时,,
两式相减,得,整理得,
所以是等差数列.
（2）当时,,令,而,得,解得,
于是,当时,,
两式相减,得,整理得,即,
因此,数列是常数列,从而,,显然满足上式,
所以数列的通项公式是.
22．答案：（1）证明见解析
（2）存在，1
解析：（1）因为，所以.
因为，所以，
故数列是首项为1、公差为2的等差数列.
（2）由（1）得，则.
因为，
所以，
则，
即，则数列是递减数列.
故要使恒成立，只需，
因为，所以，
解得，
故存在最小正整数，使得对任意，恒成立.