人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一次函数的导数及其应用 章节测试题（含解析）

人教A版（2019）选择性必修二 第五章 一次函数的导数及其应用 章节测试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.是函数的极小值点
B.当或时,函数的值为0
C.函数在上是增函数
D.函数在上是增函数
2．已知奇函数满足,则=( )
A. B. C.1 D. 1
3．已知函数,若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
4．若恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．若函数在区间内有最小值,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．设实数,若不等式对恒成立,则t的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．设函数的导函数是,且恒成立,则( )
A. B. C. D.
8．现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的是( )
A.函数的一个周期为4
B.当时，函数的解析式为
C.当时，函数的最大值为
D.函数在区间内有1011个零点
10．若函数,则( )
A.为周期函数
B.在上单调递增
C.当时,恒成立
D.的图象只有一个对称中心
11．已知函数，，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则实数a的取值可能是( )
A.e B. C.3 D.4
12．已知正四棱锥的侧棱长是x，正四棱锥的各个顶点均在同一球面上，若该球的体积为，当时，正四棱锥的体积可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．已知函数,其中e是自然对数的底数,若,则实数a的取值范围是__________．
14．已知函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为______________．
15．某银行贷款年利率为，按月计息利率为，小王计划向银行贷款p元，已知贷款利息按复利计算（即每期的利息并入本金，在下一期中一起计息），设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额（本金、利息之和）分别为a，b，则a，b的大小关系是__________.
16．已知函数在区间上的最大值为，则__________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）当时,求证：函数在上单调递增;
（2）若函数有三个零点,求t的值.
18．已知函数.
（1）当且时,求函数的单调区间;
（2）若,关于x的方程有三个不同的实根,求m的取值范围.
19．已知函数.
（1）若在上存在单调减区间,求实数的取值范围;
（2）若在区间上有极小值,求实数的取值范围.
20．设函数,其中e为自然对数的底数.
(1)当时,讨论函数在上的单调性;
(2)当时,求证：对任意,.
21．函数的最小值为m.
（1）判断m与2的大小,并说明理由：
（2）求函数的最大值.
22．已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,设,,函数有两个极值点、.
①求m的取值范围;
②若,求的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由函数的导函数图象可知,
当,时,,原函数为减函数;
当时,,原函数为增函数.
故D正确,C错误;
故不是函数的极值点,故A错误;
当或时,导函数的值为0,函数的值未知,故B错误;
故选:D.
2．答案：B
解析：因为是奇函数,所以.
故选:B.
3．答案：A
解析：因为,由,
可得,
所以,,
令,其中,则,
所以,函数在R上单调递增,
由可得,
所以,,所以,,其中,
令,其中,则.
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
所以,,所以,,解得.
故选：A.
4．答案：A
解析：易知,,由,
得到,可变形为,
即,
所以恒成立,即恒成立,
令,则,
令,则,
当时,,时,,
即在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,即在区间上恒成立,
所以在区间上单调递增,
又,所以恒成立,也即恒成立,
又,所以恒立,
令,则,
当时,,当时,,
即在区间上单调递增,在区间上单调递减,
故,所以,
故选:A.
5．答案：C
解析：由题得,.
令,解得或;令,解得,
所以在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增,
所以函数的极小值.
若在区间内有最小值,则极小值即最小值,
所以,解得,
令,可得,可得,解得或1,
由题得,综上.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意,,,
设,则不等式为, , 在上是增函数, ,即,令,
则,
当时,递增,时,递减, , ,
故选：B.
7．答案：D
解析：设,则恒成立,所以单调递增,故,即,解得：,即.
故选：D.
8．答案：D
解析：设单位面积铁的价格为a，
则造价，
故.令，解得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.
故当时，造价最小，此时.故选D.
9．答案：AC
解析：由得，又因为为奇函数，，，，所以的周期为4，选项A正确；
当时，，所以，选项B错误；
当时，，，令，得时函数有最小值，
又因为为奇函数，故时，函数在区间有最大值，，选项C正确；
因为函数关于对称，，一个周期内两个零点，有505个周期，共1010个零点，总计1012个零点，选项D错误.
故选AC.
10．答案：BC
解析：对于A,令,,
当时,,故不存在非零常数a,使成立,
故不是周期函数,即不是周期函数,故A错误;
对于B,,,
当时,,则在上单调递增,故B正确;
对于C,令,当时,,则在上单调递增,所以,即,故C正确;
对于D,,
则,
故关于点对称,由于,则对称中心不只一个,故D错误.
故选：BC.
11．答案：BD
解析：依题意，因为与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，所以与在上有两个交点，即有两个不同实根，整理得，只需满足直线与函数的图象有两个交点即可.令，则有，所以时，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得小值.所以只需即可满足题设要求结合选项知选BD.
12．答案：BD
解析：因为球的体积为，所以球的半径为.
设正四棱锥的底面边长为，高为h，
则，即，
又因为，即，整理得，
可得，
令，则，
因为，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
当时，V取到最大值；
当时，；当时，；
所以正四棱锥体积.
因为，，
所以正四棱锥的体积可以是，.
故选：BD.
13．答案：.
解析：易知,且,
即为奇函数,
又,
当且仅当时取得等号,故为增函数,
对于,
所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：因为为奇函数,
所以即,解得,
则,所以切点,,
所以切线斜率,切线方程为,
故答案为：.
15．答案：
解析：按年计息：，按月计息：，则.令，，所以，故.
16．答案：
解析：，令得.令，则在上单调递增，在上单调递减.若，则函数在区间上的最大值为，解得（舍去）；若，则函数在区间上的最大值为.综上，.
17．答案：（1）利用导数法求解单调区间即可证明;
（2）
解析：(1)证明导函数在上恒大于等于零即可.
(2)把函数有三个零点,转化为方程有三个根求解,然后利用导数求出的极值,画出草图,数形结合求解即可.
18．答案：（1）答案不唯一,具体见解析;
（2）
解析：（1）函数的定义域是,
.
①当时,在上恒成立,在上恒成立,
的增区间为,的减区间为.
②当时,,
在和上恒成立,在上恒成立.
时,的增区间为和,的减区间为.
综上所述,当时的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为.
（2）若,,
关于x的方程有三个不同的实根,等价于的图象与直线有三个交点.
,
由解得或由,解得.
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
,,
又当x趋近于时趋近于,当x在定义域内趋近于0时,趋近于,趋近于,
的图象与直线有三个交点时m的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）函数,求导得,
因为函数在上存在单调减区间,则不等式在上有解,
即在上成立,而函数在上递减,显然,于是,
所以实数m的取值范围是.
（2）由（1）知,,即,解得,,
当或时,,当时,,
即函数在,上单调递增,在上单调递减,
因此函数在处取得,当时,不等式成立,
当时,解得,则,所以实数m的取值范围是.
20．答案：(1)在上单调递增
(2)证明详见解析
解析：（1）当时,,
,
设,
,
则当时,,单调递增,
所以在区间上,,也即,
所以在上单调递增.
（2）当,,时,要证明：对任意,
即证明：对任意,
即证明：对任意,
即证明：对任意,
构造函数,
,
构造函数,,
,所以在上递增,
故存在,使①,
所以在区间,,递减;
在区间,,递增.
所以在区间上的极小值,也即是最小值为,
②,
由①得,代入②得：
,
令,
则函数的开口向下,对称轴,
所以当时,y取得最小值
,
即,所以对任意,
从而对任意.
21．答案：（1）
（2）0
解析：（1）理由如下：
由可得：函数定义域为;.
在上单调递增.
,
存在唯一的,使得,即.
当时,;当时,.
即函数在上单调递减,在上单调递增.
故.
;
,即.
因为函数在上单调递减,
,即,故.
（2）由,得：函数定义域为,
,.
在上单调递减.
当时,;当时,.
存在唯一的,使得,即.
当时,;当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减.
故.
,即.
由（1）知：,则.
令,函数在上单调递增,在上单调递增.
函数在上单调递增, .
故函数的最大值为0.
22．答案：(1)答案见解析
(2)①;②
解析：（1）函数的定义域为,
.
①当时,,由可得或,由可得,
此时函数的增区间为、,减区间为;
②当时,且不恒为零,此时函数的增区间为;
③当时,,由可得或,由可得,
此时函数的增区间为、,减区间为.
综上所述,当时,函数的增区间为、,减区间为;
当时,函数的增区间为;
当时,函数的增区间为、,减区间为.
（2）①当时,,其中,
因为函数有两个极值点,则有两个变号的零点,
所以,直线与函数的图象有两个交点（非切点）,
,当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,则的极小值为,如下图所示：
由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点（非切点）,
因此,;
②由于的两个变号零点分别为、,得,
所以,令,
把代入中可得,所以,
令,,则,
令,其中,则,
所以,函数在上单调递增,则,则,
所以,函数,
设,则,其中,
构造函数,其中,则,
①当时,即当时,且不恒为零,
所以,函数在上为增函数,则,合乎题意;
②当时,则对任意的,,
所以,函数在上为增函数,则,合乎题意;
③当时,则,设方程的两根为、,且,
则,所以,必有,
当时,,此时函数单调递减,则,不合乎要求.
综上,,所以,,故.