2023 年下学期期末质量监测参考答案
（高二数学）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1. B 2. A 3. C 4. B
5. D 6. A 7. C 8. A
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的对 2分，有选错的得 0分。
9. AD 10. ABD 11. AC 12. BC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
13.(5,0,-6) 14. 3 15. 2022 16. 12 2 +24
2023
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：(1)因为 边所在直线的方程为 3 6 = 0，且 与 垂直，
所以直线 的斜率为 3．…………………………………………………………2分
又因为点 ( 1,1)在直线 上，所以 边所在直线的方程为 1 = 3( + 1)，即
3 + + 2 = 0．……………………………………………………………………4分
(2)由 3 6 = 03 + + 2 = 0，解得点 的坐标为(0, 2)．…………………………6分
因为矩形 两条对角线的交点为 (2,0)．
所以 为矩形 外接圆的圆心．………………………………………………7分
又 = (2 0)2 + (0 + 2)2 = 2 2，…………………………………………8分
从而矩形 外接圆的方程为( 2)2 + 2 = 8． ………………………………10分
18.解：在正四棱柱 1 1 1 1中，以点 为原点， 、 、 1分别为 轴、
轴、 轴建立空间直角坐标系，因为 1 = 4， = 2，所以 = 2，
则 2,0,0 , 1 0,2,4 , 0,0,0 , 1,2,0 , 1 2,0,4 ,………………2分
(1)由题意得 1 = 2,2,4 , = 1,2,0 ，………………4分
→ →
则 2+4 301, = = ，24· 5 30
∴异面直线 1与 所成角的余弦值为
30；………………6分
30
(2)由题意知 1 = 2,0,4 , = 1,2,0 ，………………7分
设平面 1 的法向量为 = , , ，
则 1· = 0，解得 = 2, 1, 1 ，………………9分
· = 0
→ →
∴ , = 4 2 41 =
5，
24· 6 6
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
∴直线 51与平面 1 所成角的正弦值为 ；………………12分6
2 2
19.设双曲线方程为 2 = 2080 + 529,2 2 = 1( > 0, > 0)，依题意有 + = 2080, …………2分
∴ = 1304.5， = 775.5，∴ 2 = 2 2 = 1100320，
2 2
∴所求的双曲线方程为 = 1( ≥ 775.5)．……………………………6分
601400.25 1100320
对抛物线，| 1 2| = = 1763 + 529 = 22922 ，∴ 2 = 9168．…………8分
抛物线顶点的横坐标为 (1763 ) = (1763 775.5) = 987.5，…………10分
∴所求抛物线的方程为 2 = 9168( + 987.5)．………………………………………12分
20.解：(Ⅰ) ∵ 2 +1， ， 成等差数列，
∴ 2 = 2 +1 + ，即 = 2
+
2，……………………………1分
当 = 1时，2 1 = 2
1 = 4 + ，即 1 = 2 + 2，
当 ≥ 2时， = = 2 1 + 2 1
= 2 1
2 2 ，……………………………3分
∵ { }是等比数列，
∴ 1 = 1，则 2 + = 12 ，得 = 2，……………………………4分
∴数列{ }的通项公式为 1 = 2 ， ∈ ；……………………………5分
(Ⅱ)由(1)得 = (2 1) = (2 1) 2 1，……………………………6分
则前 项和 = 1 20 + 3 21 + 5 22 + … + (2 1) 2 1，………………7分
2 = 1 21 + 3 22 + 5 23 + … + (2 1) 2 ，……………………………8分
两式相减可得 = 1 + 2(2 + 22 + … + 2 1) (2 1) 2
2(1 2 1= 1 + 2 ) (2 1) 2 ，
1 2
化简可得 = 3 + (2 3) 2 ． ……………………………12 分
21.解：(1)连接 ，∵ = ， 是 的中点，∴ ⊥ ，∵平面 ⊥平面 ，
平面 平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，菱形 中，∠ = 60 ，所以 是正三角形，∴ ⊥ ．
∴ , , 两两垂直．以 为坐标原点，以 、 、 为 、 、 轴建立如图所
示空间直角坐标系 ．则 0,0,0 ， 1,0,0 ， 1,0,0 ， 0, 3, 0 ， 0,0, 3 ，
………………2分
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
= 1, 3, 0 ， = 1,0, 3 ， = 2,0,0 ，
设 = , , 是平面 的一个法向量，
则 ·
= + 3 = 0 ,
· = + 3 = 0
令 = 1，得 = 3, 1,1 ，………………4分
设点 到平面 的距离为 ，则 = = 2 3 = 2 15，
5 5
∴点 到平面 的距离为2 15．………………6分
5
(2)因为 轴垂直平面 ，所以设平面 的一个法向量为 = 0,1,0 ，
= 1,0, 3 ， = 0, 3, 3 ，
设 = = 0, 3 , 3 ， 0 ≤ ≤ 1 ，
则 = + = 1, 3 , 3 3 ，………………8分
∵直线 与平面 所成的角为 45°，
|
|
sin 45 = |cos < , > | =
| | | |
= 3 = 2，………………10分
1+3 2+3 6 +3 2×1 2
由 0 ≤ ≤ 1，解得 = 2，∴ = 2．………………12 分
3 3
22.(1)因为 f (x)在定义域（0，+∞）内单调递减，
1
所以 f (x) ln x 1 x a 0…………1分
2
1 1
故 a x ln x 1恒成立,令 g(x) x ln x 1，所以 a g(x)min ．…………2分2 2
g (x) 1 1 ,令 g (x) 0得 x 2 ,所以 g(x)在 (2, )上单调递增；
2 x
令 g (x) 0得0 x 2 ,所以 g(x)在 (0, 2)上单调递减．…………4分
所以 g(x)min g(2) ln 2 ,故 a ln 2．…………5分
1
2)证法一： 由 f (x)得 f (x) ln x 1 x a ,
2
由 f (x) 1 - 1 0 得 x 2
x 2
所以 x (0, 2)时， f (x) 0， f (x)单调递增；
x (2, )时， f (x) 0， f (x)单调递减，…………7分
所以 f (x) f (2) ln 2 a 0
当 x1 e
(a 1)时， f (x) 1 0;
2ea 1
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
所以存在 x e (a 1)0 , 2 ，使得 f (x0 ) 0 ,即 ln x 10 x0 a 1.…………9分2
当 x (0, x0)时， f (x) 0 , f (x)单调递减；
当 x (x0 , )时， f (x) 0 , f (x)单调递增…………10 分
1
所以 f (x) f (x0) x0 ln x0 x
2 ax x 1 1 2
4 0 0
x0 a 1 x ax2 4 0 0
1 1
= x2 2
4 0
x0 (x 2) 1 1.4 0
所以 f (x) > -1．…………12分
证法二：先证 ln x 1 1 (x 0)（过程略）
x
f (x) x 1 1 2 1 x ax
1
x 2 (a 1)x 1
x 4 4
g(x) 1令 x2 (a 1)x 1 ,其对称轴为 x0 2(a 1) 24
故当 x (0, 2)时， g(x)在区间 (0, 2)上单调递增，
所以 g(x) g(0) 1 ,所以 f (x) 1.
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}2023 年下学期期末质量监测试卷
高二数学
（时量：120 分钟 总分：150 分 考试形式：闭卷）
一、单选题（本大题共8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知直线的方程为 + 1 = 0，则该直线的倾斜角为( )
2
A. 6 B.
4 C.
3 D. 5
4 6
2.“ = 4”是“2， ，8成等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知等差数列{ }中， 2 + 7 = 18，则数列{ }的前 8项和 8等于( )
A. 42 B. 50 C. 72 D. 90
4.如图，在平行六面体 1 1 1 1中 = ， = ， 1 = ，O为 1 的中点，
则用向量 ， ， 可表示向量 为( )
A. 1 + 1 + 1
2 2 2
B. 1 1 + 1
2 2 2
C. 1 + 1 1
2 2 2
D. 1 + 1 + 1
2 2 2
5.已知直线 的方向向量是 = (3, 2,1)，平面 的法向量是 = (1,2,1)，则 与 的位置关系
是( )
A. ⊥ B. // C. l 与 相交但不垂直 D. // 或
6.过点 ( 2,4)作圆 ：( 2)2 + ( 1)2 = 25 的切线 ，直线 ： 3 = 0 与直线
平行，则直线 与 的距离为 ( )
A. 8 B. 12 C.2 D. 4
5 5
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
7.已知点 P是抛物线 2 = 4 上的一个动点，则点 P到点 (4,3)的距离与 P到该抛物线的准
线的距离之和的最小值为( )
A. 17 B. 3 C. D. 92 5
2 2
2 2
8.直线 = 交椭圆 2 +
2 = 1( > > 0)于 A，B两点，P为椭圆上异于 A，B的点，PA，
PB 的斜率分别为 1， 2，且 1 2 =
16，则该椭圆的离心率为( )
25
A. 3 B. 4 C. 2 5 D. 3 5
5 5 5 5
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求）
2 29.已知双曲线 : = 1，则下列关于双曲线C的结论正确的是( )
9 16
A. 实轴长为 6 B. 焦距为 5
C. 离心率为4 D. 焦点到渐近线的距离为 4
3
10.在平面上，动点M与两定点 A，B满足| | = | |( > 0 且 ≠ 1)，则M的轨迹是
个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点 ( , )与两定点 ( 3,0)， (0,0)满足| | =
2| |，记M的轨迹为圆 .则下列结论正确的是( )
A. 圆 C方程为：( 1)2 + 2 = 4
B. 过点 (0,3)作圆 C的切线，则切线长是 6
C. 过点 (0, 3)作圆 C的切线，则切线方程为 3 3 = 0
D. 直线( + 1) (2 + 2) = 0( ∈ )与圆 C相交于 A，B两点，
则| |的最小值是 2 3
11.如图所示，在棱长为 1的正方体 1 1 1 1中，E，F，G分别为BC， 1， 1
的中点，则( )
A. 直线 EF与 AC所成的角为60
B. 直线 1 与平面ABCD所成的角为60
C. 直线 1 与平面AEF平行
D. 平面 AEF 截正方体所得的截面面积为3
8
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
12.关于函数 = 1 + 2ln ，下列判断正确的是 ( )
A. = 1是 的极大值点
2
B. 函数 = 有且只有 1 个零点
C. 对 > 1 不等式 < 在[1, +∞)上恒成立
D. 对任意两个正实数 1， 2，且 1 > 2，若 1 = 2 ，则 1 + 2 < 1．
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13.已知空间向量 = (1,2,0)， = ( 2,1,3)，则 2 =______ .
14.已知直线 1的倾斜角 1 = 30 ，直线 2垂直于 1，则 2斜率为 ．
2 1 1
15.在数列{ }中， = +
1
， 1 = 1， 2 = ，则 1 2 + 2 3 + + 2022 2023 =___ . +1 +2 2
16.已知实数 x，y满足 ( + 7)2 + 2 + ( 7)2 + 2 = 8，则代数式|3 4 24|
的最大值为______ .
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题 10分)已知矩形 的两条对角线相交于点 (2,0)， 边所在直线的方程为
3 6 = 0，点 ( 1,1)在 边所在直线上．
(1)求 边所在直线的方程;
(2)求矩形 外接圆的方程．
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
18.(本小题 12分)如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 4， = 2，点 是
的中点．
(1)求异面直线 1与 所成角的余弦值;
(2)求直线 1与平面 1 所成角的正弦值;
19.(本小题 12分)综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.
这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制
造的一种镜筒长为 2 的反射式望远镜，其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中，
一个反射镜 1 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 2 弧所在的曲线为双曲线的一
个分支.已知 1， 2是双曲线的两个焦点，其中 2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸
(单位： )，分别求抛物线和双曲线的方程．
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
20.已知等比数列{an}的前 n 项和为Sn，且2n+1，Sn，a 成等差数列．
(Ⅰ)求 a 的值及数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn = (2n 1)an求数列{bn}的前 n 项和Tn.
21.(本小题12分)如图，正三角形 与菱形 所在的平面互相垂直， = 2，∠ =
60 ， 是 的中点．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)已知点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 45°，求出 的值．
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
1
22.(本小题 12分)已知函数 f (x) x ln x x 2 ax ．
4
(1)若 f (x)在定义域内为单调递减函数，求 a 的取值范围；
(2)求证：当 a 0且 x (0, 2)时， f (x) > -1．
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{#{QQABBQCEggCAAAJAAAgCUwGaCgIQkBGAAKoOxBAEIAAACBFABAA=}#}
