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第十七章《勾股定理》单元练习试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）
如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选：D．
2．若的三边长为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．：：：： D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可．
【详解】解：A、因为，所以不为直角三角形，说法符合题意；
B、因为，,所以，为直角三角形，说法不符合题意；
C、因为：：：：，,所以，为直角三角形，说法不符合题意；
D、因为，所以，为直角三角形，说法不符合题意；
故选：A．
3 .如图，湖的两岸有两点，在与成直角的方向上的点处测得米，米，
则两点间的距离为（ ）
A．40米 B．30米 C．50米 D．米
【答案】A
【分析】根据勾股定理直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，在中，，
米，米，
两点间的距离为（米），
故选：A．
4. 已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋｜c-10｜＝0，
那么下列说法中不正确的是（ ）
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
【答案】C
【详解】解：∵（a-6）2≥0，+≥0，|c-10|≥0，（a-b）2++|c-10|=0，
∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，
解得：a=6，b=8，c=10，
∵62+82=36+64=100=102，
∴这个三角形是直角三角形，最长边为10，
∵6×8÷2=24，
∴这个三角形面积为24，
∵24×2÷10=4.8．
∴这个三角形最长边上的高为4.8．
故选C．
5 .如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，
其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，
就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，
请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即．
“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；
“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，
“生长”3次后，所有的正方形的面积和是，
…
“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故选：A．
6 .如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，
她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，
测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
【答案】C
解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
∴旗杆的高度为12m．
故选：C．
7 .如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，
如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理进行解答．求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离．
【详解】解；梯子顶端距离墙角的距离为，
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为，
．
故选：B．
8 .如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，
使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，再根据进行求解即可．
【详解】解：在中，，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
9 . 如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，
在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，
则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：，，
由勾股定理得：，
故选：C．
10 . 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），
踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
【答案】A
【分析】设，则，然后根据勾股定理得到方程，解方程即得答案.
【详解】解：设，则，，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即绳索的长是m；
故选：A.
填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，．
若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是勾股定理，根据“如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，
那么”列式计算即可求解．
【详解】解：以、为边向外作正方形，，，
，，
在中，．
．
故答案为：．
12 .如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据勾股定理求出另一直角边为，即可作答．
【详解】解：根据勾股定理，另一直角边（米），
∴（米），
则需要7米的地毯
故答案为：7
13．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．
【详解】解：如图：
由图可知：，
∵数轴上点A所表示的数为a，
∴，
故答案为：．
14．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD= .
【答案】13
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长．
【详解】在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3
根据勾股定理，得AB==5
在Rt△ABD中，BD=12
根据勾股定理，得AD==13.故答案为13
如图，在中，，且周长为，
点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，
沿边向点以每秒的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为 ．
【答案】18
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
则AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，
A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm．
【答案】25
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，
则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：展开图为：
则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）,
在Rt△ABC中， （dm）.
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm.
故答案为：25．
三、解答题（本大题共有6个小题，共36分）
17．综合与实践活动中，为了测量学校旗杆的高度，小红设计了一个方案：
如图，将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端距离为，
然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面高度为，求旗杆的高度．
（滑轮上方的部分忽略不计）
【答案】旗杆的高度为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是找到等量关系．设旗杆的高度为米，根据勾股定理，结合绳子的长度不变，列方程即可求解．
【详解】设旗杆的高度为米，由题意知，
，
解得，
答：旗杆的高度为．
18．如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积．
【答案】96m2
【分析】连接AC，根据勾股定理求AC，根据AC，AD，CD判定△ACD为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该草坪的面积．
【详解】解：连接AC，
因为∠B＝90°，
所以，m，
∵AC＝10 m 又CD＝24 m ，AD＝26 m
∴AC2+CD2＝AD2
所以△ACD是直角三角形
所以S四边形ABCD＝﹣
S四边形ABCD＝﹣
＝120﹣24
＝96（m2）
答：该草坪的面积为96m2．
19．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，，，，，求四边形的面积．
【答案】36
【分析】连接，首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，在中，
∵∠B=90°，，，
∴，
，
在中， ∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
∴四边形的面积．
20．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：AB2= 252-72=242，
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
252-202=152， 则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米
如图，在矩形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，
以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
（1）求的长；
（2）当为多少秒时，是直角三角形？
【答案】（1）5；（2）当t=7或秒时，△BPE为直角三角形．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】解：（1）由题意知，CD=AB=10，DE=7，BC=4
CE=CD-DE=10﹣7=3，
在Rt△CBE中，BE=；
（2）①当以P为直角顶点时，即∠BPE=90°，
AP=10﹣3=7，则t=7÷1=7（秒），
②当以E为直角顶点时，即∠BEP=90°，由勾股定理得
BE2+PE2=BP2，
设AP=t，
，
即52+42+（7﹣t）2=（10﹣t）2，
解得，t=，
当t=7或秒时，△BPE为直角三角形．
如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，
同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）全等；（2）当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
【分析】（1）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等;
（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．
【详解】（1）因为t=3秒，
所以BP=CQ=1×3=3（厘米），
因为AB=10厘米，点D为AB的中点，
所以BD=5厘米．
又因为PC=，BC=8厘米，
所以PC=（厘米），
所以PC=BD．
因为AB=AC，
所以∠B＝∠C，
所以△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）因为≠，
所以BP≠CQ，
当△BPD≌△CPQ时，
因为∠B＝∠C，AB=10厘米，BC=8厘米，
所以BP=PC=4厘米，CQ=BD=5厘米，
所以点P，点Q运动的时间为4秒，
所以厘米/秒，即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
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第十七章《勾股定理》单元练习试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）
如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
2．若的三边长为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．：：：： D．
3 .如图，湖的两岸有两点，在与成直角的方向上的点处测得米，米，
则两点间的距离为（ ）
A．40米 B．30米 C．50米 D．米
4. 已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋＋｜c-10｜＝0，
那么下列说法中不正确的是（ ）
A．这个三角形是直角三角形 B．这个三角形的最长边长是10
C．这个三角形的面积是48 D．这个三角形的最长边上的高是4.8
5 .如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，
其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，
就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，
请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．1
6 .如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，
她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，
测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
7 .如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，
如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，
使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A． B． C． D．
9 . 如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，
在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，
则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
10 . 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），
踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．m B．m C．6m D．m
填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）
如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，．
若，，则 ．
12 .如图，要将楼梯铺上地毯，则需要 米的地毯．
13．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 ．
14．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD= .
如图，在中，，且周长为，
点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，
沿边向点以每秒的速度移动．若同时出发，则过秒时，的面积为 ．
如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，
A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 dm．
三、解答题（本大题共有6个小题，共36分）
17．综合与实践活动中，为了测量学校旗杆的高度，小红设计了一个方案：
如图，将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端距离为，
然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面高度为，求旗杆的高度．
（滑轮上方的部分忽略不计）
18．如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积．
19．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，，，，，求四边形的面积．
20．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
如图，在矩形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，
以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
（1）求的长；
（2）当为多少秒时，是直角三角形？
如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，
同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
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