武汉市常青联合体2023-2024学年度第一学期期末考试
高二数学试卷
考试时间：2024年1月25日
试卷满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，
1.若直线1的斜率为k,且k2=3,则直线1的倾斜角为()
A.30°或150°
B.60°或120°
C.45°或135°
D.90°或180°
2.已知m=(V3,x,2),m,=(-3,V5,-2W5)分别是平面a,B的法向量，若Q"B,则
X=(
A.-7
B.-1
C.1
D.7
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,且a2,a3,a4-2成等差数列，则S4=
A.7
B.12
C.31
D.15
4.己知在空间四边形ABCD中，CG=1CD,则BD+BC+2AB=(
A.2GC
C.2BC
D.
2AG
BC
2
5.己知直线：1：x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为2√2，则
点(-a,a-1)与圆上点的距离最大值为()
A.2W2+2
B.2W2-2
C.2
D.4
6、加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆
的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称
为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为三+芳=a>6>0)时，蒙日图方程为
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r+y=:+,已知长方形G的四边均与椭圆M:兰+兰=1相切，则下列说法错误的是
43
A.椭圆M的离心率为
B.椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7
C.若G为正方形，则G的边长为2√5
D.长方形G的面积的最大值为14
7.数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上，
2
b。=
van +ya
一(n∈N且n≥1)，则数列{b,}的前n+1项和为Tm+1=()
A.2n+1-2n-1 B.2n-v2n-2 C.v2n+5-V3 D.v2n+3-V3
8、双曲线C号-卡=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,过F,的直线与双曲线C
a
的左右两支分布交于两点MN,若=P成，F2M1=MN,则双曲线的离心率为
A、2
B、3E
2
C、3
D、3图
3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是(
A.若直线y=c+b经过第一、二、四象限，则点(k,b)在第三象限
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.过点(2，-1)且斜率为-√5的直线的点斜式方程为y+1=-√3(x-2)
D.斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线的方程为y=-2x±3
高二数学试卷第2页共5页高二数学试卷答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B D D A C C D BC ABD BCD ABD
13、 14、
15、10 16、
17、（1）若，则
，解得或2；…………………………………4分
（2）若，则，解得或1.………………7分
时，，满足，………………8分
时，，此时与重合，………………9分
所以.………………10分
18、（1）当时，,不满足上式，……………2分
当时，，……………4分
故数列的通项公式为；……………5分
（2）由已知得，……………6分
当时，，…………7分
则，即………………………9分
得 即n=7………………………10分
所以当，的最大项为第7项，
又，………………………11分
所以数列的最大项是该数列的第项………………………12分
19、（1）（法一）由题：，知恒过顶点（2，1）
又与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程
故1<4
解得，即的取值范围为…………………5分
（法二）将直线与抛物线方程联立，得，
又因为直线与抛物线恒有两个交点，所以其判别式对恒成立，
故须使方程的判别式，又，所以解得，即的取值范围为.…………………5分
（2）由题，当 时，：，即………………6分
令得
由过焦点得；，所以抛物线：．………………8分
将直线与抛物线方程联立，并令，，得
， ……………10分
由韦达定理得，又因经过抛物线焦点，
故．……………12分
20、（1）由题意得，，
，，解得（舍去）
则，解得，所以. ……………3分
则，
设等差数列的公差为，则，
所以. ……………6分
（2）. ……………7分
所以，
……………9分
两式相减得
= ……………11分
故 ……………12分
21、（Ⅰ），为中点，
.
又四边形为菱形且，
设
.
，
平面.
平面，
平面平面. ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
平面平面，平面平面,
平面
即两两互相垂直……………6分
以为坐标原点，为 轴建立空间直角坐标系如图所示.
所以， ，
设，所以 .……………7分
平面的法向量为.
设平面 的法向量为，则 ，令，则可得.……………9分
由于二面角的大小为，
所以 ，即，
解得 . ……………11分
所以存在点使二面角的大小为，且 . ……………12
22、（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴.
由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大.
∴，∴.
又，解得，，.
∴椭圆的方程为：；……………4分
（2）设与轴交于点，则，
当的斜率为0时，显然不适合题意；……………5分
当的斜率不存在时，直线为，……………6分
∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点.
当直线的斜率存在且不为0时，设，，
直线为：，联立，
得，
，
∴，，……………8分
设，，则，，
联立，得，
将，代入整理得.……………10分
将代入，得
.
综上，直线、交于定点.……………12分
