第一章 集合

第一章 集合与函数感念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
理解领悟
基础级
1.对“集合”一词的理解
集合是数学中的最原始的概念之一，它和几何中的点、线一样，都是不加定义的；“集合”一词与我们日常熟悉的“整体”、“一类”、“一群”等词语的意义相近，例如，“地球上人的全体”、“数学书的全体”、“所有文具的全体”等。我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的集合，都可以看作“对象”.一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.
2.集合与元素的关系
集合通常用英语大写字母A、B、C、…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c、…来表示. 集合与元素有且只有两种关系：
a是集合A的元素，就说a属于A，记作a(A.
a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a(A.
3.空集
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作：(.例如：由方程组的解组成的集合是空集，它反映该方程无解.
注：空集不能记为：{ }，{0}，{(}或0的形式.
4.对集合中元素三大特性的理解
（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的.例如，对于集合A和某个对象x，有一个明确的判断标准，是x(A还是x(A,二者必居其一.又如“接近于0的实数”、“著名人士”等不能构成数学意义上的集合，因为，“接近”、“著名”均是模糊语言，不能作为判别每一具体对象是否属于集合的明确标准.
（2）互异性：对于一个给定的非空集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）.这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算作集合的一个元素.例如{-1,-1,0,1,1}不能作为集合的正确表示，正确的应写为{-1，0，1}.
（3）无序性：集合中的元素是不排序的.如:集合{0，1}与{1，0}是同一个集合，但实际上在书写时还是按一定顺序书写的.如:{-1，0，1，2，3}而不写成{1，0，3，-1，2}，这样写不方便.其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”.
思考：{（1，2）}与{（2，1）}表示同一集合吗？
5.集合的分类
集合可根据它含有的元素的个数分为两类：
（1）有限集：含有有限个元素的集合.
（2）无限集：含有无限个元素的集合.
6.常用的数集
N={自然数}={非负整数}.
Z={整数}
Q={有理数}
R={实数}
发展级
7.集合的表示方法
（1）列举法：将集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内的方法.
① 如果一个集合是有限集，元素又不太多，表示这个集合通常用列举法.如：24的所有正因数：1，2，3，4，6，8，12，24构成的集合可以表示为:{1，2，3，4，6，8，12，24}.
②有些集合的元素较多，元素又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.例如，不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，100}.
③无限集有时也用列举法表示，例如:自然数集N可表示为:{0，1，2，3，…，n，…}其中n表示任一个自然数.
思考：a与{a}的含义相同吗？
（2）特征性质描述法：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有性质，则性质叫做集合A的一个特征性质.于是，集合A可以用它的特征性质描述为:{x(I︱}，它表示集合A是由集合I中具有性质的所有元素构成的.
注意：① 在不致发生误解时，x的取值集合可以省略不写.例如:在实数集R中取值，“(R”常常省略不写.如:集合A={x(R︱}={x︱}
② 用特征性质描述法表示集合时，对其元素的属性要准确理解.例如，集合{y︱}表示函数y值的全体，即{y︱y≥0}；集合{x︱y=x2}表示自变量x的值的全体,即{x︱x为任一实数}；集合{(x,y)︱y=x2}表示抛物线y=x2上的点的全体，是点集(一条抛物线).
8.符号(、(的用法
符号“(”、“(”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合之间的关系.例如:1({1，3，5}，2({1，3，5}都是正确的表示；而{1}({1，3，5}的表示是错误的.
方法导引
基础级
考察下列各种对象的全体能否构成一个集合？
（1）所有的好人.
（2）高一（1）班身高超过1.70m的学生.
（3）不超过20的非负整数.
（4）充分接近的实数.
（5）某校比较聪明的男生.
（6）使|x2-3x+2|最小的x的值.
提示 本题应根据集合中元素的确定性来解决.
（1）“所有的好人”无明确的标准，对于某个人是否是“好人”无法客观地判断.因此（1）不能构成集合；类似的（4）、（5）也不能构成集合.
（2）对于高一（1）班的学生来说，按照身高来分，可分为身高超过1.70m和不超过1.70m两部分，对每个学生来说，两者必居其一，且仅居其一.故“高一（1）班身高超过1.70m学生”能构成集合. 类似的（3）、（6）也能构成集合.
解析 能构成集合的是：（2）、（3）、（6）.不能构成集合的是：（1）、（4）、（5）.
点悟 充分理解集合的概念，在此题的判断中，注重的是集合元素的确定性.
写出下面集合中的元素：
（1）{中国的直辖市}；
（2）{既是质数又是偶数的整数}；
（3）{大于10而小于20的奇数}；
（4）{方程的解}.
提示 对（2），不能认为凡是偶数都不会是质数.（4）中的方程即故x=0，-1.
解析 （1）.北京，上海，天津，重庆.
（2）.2.
（3）.11，13，15，17，19.
（4）.0，-1.
用符号(或(填空：
（1）3.14 Q, 0 N, Z, (-1)0 N, sin45( Q, - R, 0 (.
(2) 3 {x|x<2}, {x|x≤2+}.
(3) 2 {x|x=+1,n(N}, (-1,1) {y|y=x2}.
(4) 设x=, y=5+,集合M={m|m=a+b,a(Q,b(Q},则x M, y M.
提示 解决此题的关键是要判断给出的元素能否化为集合中元素的形式；
解析 （1）(，(，(，(，(，(，(.
（2）3=，2=；
==故填(，(.
（3）令 +1=2，n=±1,当n=1(N，故填(，(.
（4） x==，而，∴x(M；又((Q，∴y(M,故填(，(.
点悟 此题是判断元素与集合的隶属关系，要明确集合中元素的特点，准确理解集合的概念是解决本题的关键.
用列举法表示下列集合：
（1）{x|x=|x|,x(Z且x<5}.
(2) {(x,y)|x+y=5,x(N*,y(N*}.
(3) {x|2x2+(2+)+=0,x(R}.
(4) {x(N|}
(5) {}.
(6) {x|x=}.
(7) {x|x=(-1)n+(-1)n+1,n(Z}.
(8) {(x,y)|}.
(9) {(x,y)|}.
（10）{x|x2-(a+b)x+ab=0}.
（11）{x|x=4k±1,k(Z}.
提示 ① 所谓用列举法表示就是先将符合条件（具有指定特性）的元素找出来，然后写在{ }内；
② 用列举法表示集合要注意符合集合中元素的互异性.
解析 （1）∵ x=|x|,∴ x≥0,又∵ x(Z且x<5,
∴ 用列举法表示为:{0,1,2,3,4}.
（2）∵ x,y都是正整数,而1+4=2+3,
∴ 用列举法表示为:{（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）}.
（3）解方程：2x2+(2+)x+=0,解得：,
∴ 用列举法表示为:{}.
(4)当x=0,6,8这三个自然数时，
∴ 用列举法表示为:{0，6，8}.
(5)∵ ,∴ 9-x是9的正约数，又x(N,∴ x=0,6,8,
∴ 用列举法表示为:{1,3,9}.
(6)当a>0,b>0时，x=2；当a<0,b<0时,x=-2；当a,b异号时，x=0.
∴ 用列举法表示为:{-2，0，2}.
（7）∵ 当n为偶数时：x=0；当n为奇数时：x=0；
∴ 用列举法表示为:{0}.
（8）当x=1时,y=0,1；当x=2时,y=0,1；
∴ 用列举法表示为:{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}.
(9) 解方程组得
∴ 用列举法表示为:{（2，2），（-1，-1）}
(10)解方程，得方程的根为：x=a或x=b
∴ 用列举法表示为:当a=b时为:{a}，当a(b时为:{a,b}.
(11)用列举法表示为:{…,-5,-3,-1,1,3,5,…}
点悟 ( Ⅰ) 将以上集合用列举法表示，从一定意义上讲是起到了一个化简的作用，从元素的属性到将元素找出来是一个透视的过程.
(Ⅱ)使用列举法时，应注意以下四点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③不考虑元素顺序；④对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.
（Ⅲ）第（4），（5）题这两组集合，看起来似乎是一致的，其真实含义各异，而在集合学习中这种似是而非的关系经常可见，因而在解题时，应细心审题，注意区别.
用特征性质描述法表示下列集合：
（1）{3，5，7，9}；
（2）由y=x+2直线上所有点的坐标组成的集合；
（3）{0，-1，-4，-9，-16，-25，-36，-49}；
（4）不在二、四象限的点的集合；
（5）所有被3整除余1的数；
图1-1
（6）函数y=;
(7)图1-1中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合；
（8不超过30的非负偶数的集合；
提示 用特征性质描述法表示集合关键在于寻找元素的公共属性并尽可能以最简明的数学语言表示出来.
解析 （1）{x=2k+1,k(Z,1≤k≤4}.
{(x,y)|y=x+2}.
{x|x=-n2,n(N,N≤7}.
{(x,y)|xy≥0,x(R,y(R}.
{X|x=3k+1,k(Z}.
{x|y=}.
{(x,y)|-1≤x≤}.
{x|x=2n,n(N,0≤n≤15}
点悟 使用特征性质描述法时，应注意以下六点：
写清楚集合中元素的代号，元素的代号不同，集合所表示的意义也不同，如（6），如果代表元素改为y,即表示为{ }，它表示求函数值域，而不是定义域；
说明该集合中元素的性质；
集合中的所有字母都要说明其含义；
多层描述时，应当准确使用“或”与“且”；
所有描述的内容都要写在集合括号内；
用于描述的语句力求简明、确切。
【例6】用适当的方法表示下列集合：
方程有理数解的集合；
由4与6的所有公倍数组成的集合；
一年中有31天的月份；
直角坐标平面内，在坐标轴上的点的集合；
由1，3，5这三个数中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数的集合；
提示 有限集一般用列举法，无限集一般用特征性质描述法.
解析 （1方程.
∴ 有理数解为:x=1.
∴ 集合用列举法表示为:{1}.
（2{x|x=12n,n(N*}.
(3) {1,3,5,7,8,10,12}.
（4{（x,y）|xy=0,x(R,y(R}.
（5{1，3，5，13，15，31，35，51，53，135，153，315，351，513，531}.
点悟 ①集合的表示方法并不惟一，如（2）还可以表示为：{4和6的公倍数}或{12的倍数}或{x|k=}.
②如（2）集合不能写成{12的倍数的集合}或{12的所有倍数}，因为大括号{}已含有“集”和“所有”的意思.
【例7】已知集合M={-2，3x2+3x(4,x2+x(4},若2(M,求x.
提示 既然2(M,则就有或
解析 当3x2+3x-4=2时,
3x2+3x-6=0，
x2+x-2=0,
∴x=-2或x=1.
经检验，x=-2,x=1均不合题意.
当x2+x-4=2时,
x2+x-6=0,
∴ x=-3或x=2.
经检验，x=-3,x=2均合题意.
∴ x=-3或x=2.
点悟 集合用列举法表示就隐含了集合中的元素互不相等.
【例8】已知x2({0,1,x}，求实数x的值.
提示 由集合中元素的确定性求出x的值，再利用互异性对求出的x值加以检验.
解析 由题意，得x2=0， 1，x
∴ x=0，-1，1.又x(0，1
∴ x=-1.
点悟 集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性，既要能够应用这些性质解题，又要善于应用这些检验解答正确与否特别是互异性，解题时最容易被疏忽，必须在今后的学习中引起足够的重视.
【例9】已知集合A={x|x(R且ax2-3x+2=0,a(R},若A中元素至多只有一个，求a的取值范围.
提示 A中元素至多只有一个，即方程ax2-3x+2=0有解或无解，由于a=0或a(0，两种情况下的方程形式完全不一样，所以，此题分两种情况讨论求解.
解析 (1)a=0时,原方程为-3x+2=0,x=,符合题意.
(2)a(0时,方程 ax2-3x+2=0为一元二次方程.
=9-8a≤0,a≥.此时方程ax2-3x+2=0无实根或有两个相等的实数根.
结合(1)、（2）知a=0 或a≥.
点悟 ax2-3x+2=0在a(R的条件下，不一定是二次方程，当a=0时，它只是一个一次方程，根本就没有△，只有当a(0时，才有△可研究，错误原因在于对数学概念的理解不完整，仅仅弄清楚二次方程的外在形式，因而漏解.
【例10】非空集合M中的元素是正整数，且满足：若x(M，则必有6-x(M，求这样的集合.
提示 由于x与6-x都是正整数，∴x=1,2,3,4,5.∴集合M至少有一个元素，至多有5个元素.
解析 ∵ x>0且6-x>0,
∴ 0∴ x=1,2,3,4,5.
∵ x(M时,必有6-x(M,
∴ 1(M时,必有5(M；2(M时，必有4(M.
∴ 当M仅有1个元素时，M={3}；当M有2个元素时,M={1,5}或{2,4}；当M有3个元素时,M={1,3,5}或{2,3,4}；当M有4个元素时：M={1,2,4,5}；当M有5个元素时，M={1,2,3,4,5}.
点悟 本题说明，要注意分类讨论在解题中的应用，要注意思维的顺序性.本题若仅从1(M时有5(M，2(M时有4(M入手，也可以求出集合M，但不如从集合M的元素个数入手，思路清晰，解法顺畅.
发展级
【例11】已知f(x)=x2-ax+b（a，b(R），A={x|f(x)-x=0，x(R}，B={x|f(x)-ax=0，x(R}，若A={1，-3}，试用列举法表示集合B.
提示 ∵ 集合B是方程f(x)-ax=0 的解集，∴ 要求集合B，需设法求出a,b的值，于是可通过集合A={1，-3}为突破口来寻找本例的解题途径.
解析 ∵ f(x)-x=0，即x2-(a+1)x+b=0.
∵ A={1，-3}.
∴ 由韦达定理得
∴
∴ f(x)=x2+3x-3.
∴ f(x)-ax=0，亦即x2+6x-3=0，
∴ B={x| x2+6x-3=0}={}.
点悟 集合A={x|f(x)-x=0，x(R}即为方程f(x)-x=0的解集.
【例12】数集A满足条件：若a(A，a(1，则(A.
证明： (1).若2(A，则集合中还有另外两个元素；
(2).若a(R，则集合A能否为单元素集合？若能，求出来；若不能，则说明理由.
(3).若a(A，则1-是A中元素吗？说明理由.
提示 反复利用题设：若a(A，a(1，则(A.注意角色转换，单元素集指集合中只有一个元素.
解析 (1) ∵2(A ，∴
于是,
∴A中还有-1，两个元素.
(2)假设A是单元素集，则必有a=，即a2-a+1=0.
△=(-1)2-4×1×1=-3<0，方程没有实数解，故假设不成立，A不可能是单元素集.
(3)∵a(A, ∴(A.
∴.
∴是A中的元素.
点悟 其中（2）的证明若用直接法不易证明，它是一个否定性命题，故用反证法较好.若a(R，你能说出集合中有几个元素吗？请证明你的结论。
课本习题解读
练习巩固（1.1-1）
一、选择题
基础级
1.在：“①很大的有理数；②方程的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是 （ ）
（A）② （B）②③④ （C）②④ （D）①②③④
2．下列集合中，表示同一集合的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）M={1,2}，
3.设集合，，,，,其中有限集的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
4.方程组的解集是 （ ）
（A）{2，1} （B）{x=2，y=1} （C） {（2，1）} （D） {（x，y）| （2，1）}
5.下列四个关系式中，正确的是 （ ）
（A） （B） （C）{a}({a,b} （D）{a}(a
6．已知集合,则集合M的元素个数为 （ ）
（A）10 （B）9 （C）8 （D）7
7．若点P的坐标，则P点所在象限为 （ ）
（A）Ⅰ或Ⅲ （B）Ⅱ或Ⅲ （C）Ⅲ或Ⅳ （D）Ⅳ或Ⅰ
8．已知，，，则 （ ）
（A）x+y(M （B）x+y(X （C）x+y(Y （D）x+y(M
9．有下列四个命题：①{(}是空集；②{0}是空集；③若a(N，则(a(N；④集合是二元集，其中正确的命题个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
二、填空题
10．，下列实数：中，集合A中的元素是 ．
11.用符号(或(填空：
（1）1 {质数}； （2）161 {合数}；
（3） ；
（4）1999 {方程x2-2000x+1999=0的解};
（5）0 Z, 0 N, 0 ;
（6） 4 , （1，2） ,
（2，5） ;
（7） ,
12.设，则a=________________.
13.设
a(A,b(B,则a+b(__________________.填（A或B或C）
14.{n|是整数，|n|≤20}=_________________.
15．方程的解集用列举法表示为 .
16．用描述法表示被15除余3的整数的集合为 .
17．若，则a= ,b= .
18.设，则集合中所有元素的和为 ．
19．设x、y、z都是非零实数，则用列举法将所有可能的值组成的集合表示为 ．
20．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则a2001+b2002= ．
21.{有长为1的边和40(的内角的等腰三角形}的元素个数为 .
三、解答题
22. 下面那些是无限集？
（1）{全世界的人口}； （2）{全世界的沙粒}；
（3）{x|x2+3.14=x2+3.141}； （4）{x|0（5）{能被1999整除的自然数}.
23.已知集合M={0，2，3，7}，P={x|x=ab,a(M,b(M,a(b}，用列举法表示集合P.
24.用列举法表示集合A={x|}.
25.设a、b为整数，把形如的一切数构成的集合记为M，设x(M，y(M，试判断x+y，x(y，xy，是否属于M．
26.若-3({a2-2a-3, 2a2-a-4, a2+1}，求实数a的值构成的集合.
27.已知，若M含有两个元素，则a,b,c应满足怎样的关系？
28..
29.已知集合{关于x的方程ax2+2x+1=0的解}只含1个元素，求a的值.
发展级
30.若集合A={x(R|},
A是有限集还是无限集？（2）是不是集合A的元素?
(3)5是否是集合A的元素?
31.已知集合：（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
1．1．2 集合间的基本关系
理解领悟
基础级

1． 子集：对于两个集合A、B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则集合A叫做集合B
的子集．
记作：A(B或B(A，
读作“A包含于B”，或“B包含A”．
2． 对子集概念的理解：
①子集的符号语言为：如果任一x(A，可以推出x(B，那么集合A就是集合B的子集．
②如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A．分别记作：A(B
．
③任意一个集合A都是它本身的子集，即A(A．
④规定：空集是任意一个集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有((A．
⑤子集具有传递性，对于集合A、B、C，如果A(B，B(C，则A(C．
⑥集合A是集合B的子集，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合．因为从“部分
元素”的含义无法理解“空集是任意一个集合的子集”和“A是A的子集”．
⑦若集合A有n个元素，则A的子集有2n个．
3． 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B
的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”，或“B真包含A”．
4． 对真子集的理解：
①真子集的符号语言为：如果任一x(A，可以推出x(B，但至少存在一个元素x0(B且x0(A，那么
集合A就是集合B的真子集．
②空集是任何一个非空集合的真子集．即若A为非空集合，则(A．
③若集合A有n个元素，则A的真子集有(2n–1)个．
④真子集具有传递性，对于集合A、B、C，AB，BC，则AC．
⑤子集与真子集的区别是：A(B允许A=B，而AB不允许A=B．
发展级
5． 集合的相等：
如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元
素，那么我们就说集合A等于集合B，记作A=B．
6． 对“集合的相等”概念的理解：
①A=B当且仅当两个非空集合的元素完全相同或两个集合都是空集．
②如果A(B且B(A，那么A=B．这给出了我们证明两个集合相等的办法，即欲证A=B，只需证A(B与B(A都成立即可．
应用链接
基础级
[例1] 下列命题中，⑴空集没有子集；⑵任何集合至少有两个子集；⑶空集是任何集合的真子集；⑷若(A，则A((，其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提示：利用子集、真子集、空集的概念逐一判断．
解析：⑴错误，因为空集是任何集合的子集，所以(((；
⑵错误，如(，它只有一个子集；
⑶错误，因为空集(不是空集的真子集；
⑷正确，因为空集是任何非空集合的真子集．故选B．
点悟：
⑴空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何一个集合A，有((A，当然(((也成立．
⑵空集是任何非空集合的真子集，也就是说，对于任何一个非空集合A，有(A；反之，若(A，则A((．
⑶任何一个集合是它本身的子集，也就是说，对于集合A有A(A．
[例2] 已知{x|x2–1=0}A({–1,0,1}，集合A的子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
提示：先根据题意，求出集合A，再判断集合A的子集的个数．
解析：根据子集和真子集的概念，∵{x|x2–1=0}={1,–1}，又{–1,1}A({–1,0,1}，∴A={–1,0,1}，则子集个数有23=8个．故选D．
点悟：
含有n个元素的子集个数为2n个，真子集个数为2n–1个，解题时，注意以上结论的灵活运用．

[例3] 已知{1，2}(A({1，2，3，4}，求满足条件的集合A．
提示 根据已知条件首先弄清集合中元素的组成情况，进而求解．
解析 ∵{1，2}(A ∴A中要有元素1和2
然后将A中元素增加的状况进行分类讨论：
⑴A中仅有元素1和2时，A={1，2}．
⑵A中在1，2基础上增加1个，于是有：A={1，2，3}或A={1，2， 4}
⑶A中在1，2基础上增加2个，于是有：A={1，2，3，4}
这样符合条件的集合A共有4个：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}
点悟 若条件改为{1，2}A({1，2，3，4}，则符合条件的应将上述四个集合中的{1，2}去掉．
[例4] 已知A={1，3，x}，B={1，x2–x+1}，且BA，求实数x的值．
提示 由BA知B中元素都是A中元素，从而x2–x+1(A．
解析 由题意，得x2–x+1(A．
∵x2–x+1(1，∴x2–x+1=3，解得x=–1或x=2；
或x2–x+1=x，解得x=1（与互异性矛盾，应舍去）．
综上所述，x=–1或2．
点悟 若AB，则A中每一个元素都是B中的元素，但B中至少有一个元素不属于A．
[例5] 设集合A={x–y,x+y,xy}，B={x2+y2,x2–y2,0}，且A=B，求实数x和y的值及集合A、B．
提示 因为集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，解此题时应注意集合中的元素满足这三性．
因已知条件A=B，可知0(A．然后由此讨论求解．
解析 ∵A=B，0(B，∴0(A．
若x+y=0或x–y=0，则x2–y2=0，这样集合B={x2+y2，0，0}，根据集合中元素的互异性知：
x+y(0且x–y(0，
∴ (Ⅰ)或 (Ⅱ)
由(Ⅰ)得：或 或
由(Ⅱ)得：或 或
∴当x=0，y=0时，x–y=0，故舍去．
当x=1，y=0时，x–y=x+y=1，故也舍去．
∴ 或 
∴A=B={0，1，–1}．
[例6] 已知集合A={x|ax+1=0}，B={x|x2–x–56=0}，
若A(B，求由实数a组成的集合C．
提示 应先将B化简，同时要考虑A=(时是否符合题意．
解析 解方程 x2–x–56=0，
(x–8)(x+7)=0，
∴x=8或x=–7．
∴B={–7，8}．
当A=(时，即方程ax+1=0无解时，a=0．
当A=(时，A={–}．
∵A(B，
∴–=8或–=–7．
∴a=–或a=．
∴符合条件的实数a组成的集合为：{0，–，}．
点悟 本题易漏掉A=(的情形．
[例7] 写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些不是真子集，并求出非空真子集的个数。
提示 此题是考察子集、真子集的概念及子集个数与元素个数的关系，应注意以下结论：
集合A中有n（n≥1）个元素，则A有2n个子数，有2n–1个真子集，有2n–2个非空真子集。
解析 ①所有子集为：(，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}。
②其中{1，2，3}不是真子集。
③其中非空真子集为23–2=6个。
点悟 写数或写子集时，要按一定规律写，如先写(，再写单元素集，再写含有两个元素的集合，……，
这样就可以防止重复或遗漏。

[例8] 已知A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}且A(B，求实数k的取值范围．

提示 解本题时，可结合数轴来做， 因为
A(B，所以 从而求出k的取值范围．
解析 ∵A(B， ∴当A((时有：1≤k+1≤2k≤3
即 ∴1≤k≤；
当A=(时，有k+1>2k，解得：k<1．
∴k的范围为：k≤．
点悟 在解本题时，往往忽视A=(时也满足A(B，应引起注意．
发展级
[例9] 下列各组中的两个集合相等的有
①P={x|x=2n，n(Z}，Q={x|x=2(n–1)，n(Z}；
②P={x|x=2n–1，n(N*}，Q={x|x=2n+1，n(N*}；
③P={x|x2–x=0}，Q={x|x= ，n(Z}．
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
提示：利用集合相等的定义逐个判断
解析：①∵n(Z，n–1(Z，
∴P与Q都表示由所有偶数组成的集合，故P=Q；
②∵P是由1,3,5,7,…等正奇数组成的集合，Q是由3,5,7,…等正奇数组成的集合，但1(Q，∴QP；
③∵P={0,1}，而Q中：
当n为奇数时，x=  =0，当n为偶数时，x=  =1．
∴Q={0,1}，故P=Q．故选B．
点悟：
判断两个集合相等有两种方法：
⑴看两个集合中元素是否完全相同，有两中方法：①将两个集合中元素一一列出，比较之；②看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等．
⑵利用本节集合相等的定义证明A(B，且B(A，则A=B．
[例10] 已知集合A={x|1提示：对参数进行讨论，写出集合A、B，让其满足A(B，求a的值．
解析：⑴当a=0时，A=(，满足A(B．
⑵当a>0时，A={x|  < x < }，又B={x|–1∴ ∴a≥2．
⑶当a<0时，A={x|  < x < }．
∵A(B，∴
∴a≤–2．
综上，a=0，或a≥2，或a≤–2．
点悟：
深刻理解子集的概念，把形如A(B的问题转化为不等式组，使问题得以解决．在建立不等式过程中，可借助数轴，请自试之．
[例11] 集合X={x|x=2n+1，n(Z}，Y={y|y=4k±1，k(Z}，试证明X=Y．
提示：要证明X=Y，应证明X(Y，且Y(X．
解析：⑴设x0(X，则x0=2n0+1，且n0(Z．
①若n0是偶数，可设n0=2m，m(Z，则n0=4m+1，∴n0(Y．
②又设y0(Y，则y0=4k0+1，或y0=4k0–1，k0(Z．
∵y0=4k0+1=2·(2k0)+1，y0=4k0–1=2·(2k0–1)+1，
又k0(Z，∴2k0(Z，2k0–1(Z，∴y0(X，Y(X．
由⑴、⑵得，X=Y．
点悟：
证明集合X=Y的思路是证明X(Y，Y(X，之所以不以“A、B所含元素完全相同”来证明，是因为当集合为无限集时，很难判定两集合元素一一相同，而利用子集来定义，显然比较科学，具有可操作性．
练习巩固（1.1-2）
基础级
一、选择题
1．设M={x|x≤6}，a=，则下列结论中正确的是（ ）
A．{a}M B．a(M C．{a}(M D．a(M
2．有下列式子：
⑴0((，⑵{tan30(，cos30(，sin30(}={，，}，⑶(({0}，⑷{–，}{x|x≤}．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列关系不正确的是（ ）
A．N(Q B．R(Z C．N(N+ D．Z(Q
4．设M={x|x>}，则①0(M，②((M，③{0M}，④{}M，其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．集合M={y|y=x2–2x–1，x(R}，N={x|–2≤x≤4，x(R}，则M与N的关系是（ ）
A．M=N B．MN C．MN D．无法确定
6．若k(Z，P={x|x=k}，Q={x|x=}，R={x|x=k–}，则正确的是（ ）
A．Q(P B．Q(R C．Q=P∩R D．Q=P∪R
二、填空题
7．满足{a，b}(A{a，b，c，d}的集合A有 ．
8．设集合A={x|x≤–1，或x≥2}，B={x|4x+p<0}，且满足BA，则实数p的取值范围是 ．
9．已知B={0，1，2，3，4}，C={0，2，4，8}，若A(B且A(C，则满足条件的集合A有 ．
10．集合M={0}，N={x|x2+1=0，x(R}，则M N．
11．满足{1，0}M({0，1，2，3，4}的不同集合M有 ．
三、解答题
12．已知集合A={x|x=a2+1，a(N*}，B={y|y=b2–4b+5，b(N*}，求证：A(B．
13．已知非空集合M({1，2，3，4，5}，且当a(M时，也有6–a(M，试求集合M所有可能的结果．
发展级
14．下列关系正确的有 ．
⑴{a}({a,b}，⑵{a}({a,b}，⑶{a}({x|x({a,b}}，⑷{a}({x|x({a,b}}，⑸(({x|x({a,b}}，⑹(({x|x({a,b}}．
15．已知AB，且AC，B={0,1,2,3}，C={0,2,4,8}，则满足上述条件的A为 ．
16．求满足{x|x2+1=0，x(R}M({x|x2–1=0，x(R}的集合M的个数．
17．已知集合A{1,2,3}，且A中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合．
1.1.3集合的基本运算
理解领悟
基础级
1.交集：
⑴定义：对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A、B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．
⑵交集定义的符号语言可表示为：A∩B={x|x(A，且x(B}．
⑶A∩B的维恩图表示为：
当A∩B((时：

当A∩B=(时：

⑷对交集定义的理解：不能仅认为A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素，同时还有A与B的公共元素都都属于A∩B的含义．
⑸交集有以下性质：
①若两个集合A与B无公共元素，则A∩B=(；
②A∩B(A，A∩B(B；
③A∩A=A，A∩(=(，A∩B=B∩A；
④若A(B，则A∩B=A；若A∩B=A，则A(B；
⑤设U为全集，则A∩(CuA)= (．
2． 并集：
⑴定义：对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．
⑵并集定义的符号语言可表示为：A∪B={x|x(A，或x(B}．
⑶A∪B的维恩图表示为：
⑷对并集定义的理解：实际上并集A∪B是由两个集合A与B的“所有”元素组成的集合．
⑸并集有以下性质：
①A(A∪B，B(A∪B；
②A∪A=A，A∪(=A，A∪B=B∪A；
③若A(B，则A∪B=B；若A∪B=B，则A(B；
④A∩B(A(A∪B，A∩B(B(A∪B；
⑤设U为全集，则A∪(CuA)=U；
⑥德摩根（De Morgan）法则
Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB)，Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB)该法则可借助维恩图帮助理解．
发展级
9． 全集与补集
⑴全集
①定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称
这个给定的集合为全集，通常用U表示．
②对定义的理解：全集具有相对性，并不唯一，我们在自然数范围内讨论问题时，可以把N看作U，
在实数范围内讨论问题时，可以把R看作全集U．
③全集通常用矩形区域表示，全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用维恩图表示．
⑵补集
①定义：如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的
补集，记作CuA，读作“A在U中的补集”．
②对补集的理解：
(Ⅰ)补集的符号语言CuA={x|x(U但x(A，A(U}，就是说从全集U中取出集合A的全部元素
之后，所有剩余的元素组成的集合就是CuA．
(Ⅱ)紧紧抓住补集的概念，不能死记硬背，而应深刻理解CuA(U，A(U．
(Ⅲ)补集是相对于全集而言的，同一集合在不同的全集中，补集不同，如A={1，2，3}，
若U={1，2，3，4，5}，则CuA={4，5}；若U={1，2，3，4，5，6}，则CuA={4，5，6}．
(Ⅳ)对于补集有以下结论：
(ⅰ)若A(B，则CuB(CuA； (ⅱ)若A=B，则CuA=CuB；
(ⅲ)若CuA=CuB，则A=B； (ⅳ)CuU=(，Cu(CuA)=A．
应用链接
基础级
[例1] 设全集U={2，3，a2+2a–3}，A={|2a–1|，2}，CuA={5}，求实数a的值．
提示 理解CuA={5}有两层含义，即5(U，且5(A，这样，本题就迎刃而解了．
解析 ∵CuA={5}，∴5(U且5(A．
∴a2+2a–3=5．
解得：a=2或a=–4．
当a=2时，|2a–1|=3(5，
当a=–4时，|2a–1|=9(5，但是9(U．
所以a的值为2．
点悟 本题在由CuA={5}求得a=2或a=–4之后，验证其是否符合隐含条件A(U是必要的．否则
就会把a=–4误认为本题的答案了．集合是一种数学语言，如果不能从这种语言中破译出它
的全部意义，那么就会造成各种各样的错误．明白了这一点，你大概也就抓住了“集合”这
一节学习的要领了．
[例2] ⑴已知集合A={x||x|<1}，B={x|<1}，求A∩B．
⑵已知集合A={x|y=|x|,x(R}，B={x|y=}，求A∩B．
⑶已知集合A={(x,y)|y=|x|,x(R}，B={(x,y)|y=}，求A∩B．
提示 对三个小题中集合的含义要正确理解，深刻领会．
解析 ⑴A={x|–1 ∴A∩B={x|0≤x<1}．
⑵A=R，B={x|x≥0}，
∴A∩B={x|x≥0}．
⑶
由①、②，|x|=，两边平方得，x2=x，解得：x1=0，x2=1
分别代入①，得y1=0，y2=1；同理分别代入②，得y1=0，y2=1．
∴A∩B={(0,0)，(1,1)}
点悟 从上例看出，要注意集合中的代表元素，再确定是求函数自变量的范围，还是求函数值的范围，还是求函数图象的交点，这一点解题时错误的发生率较高．又如：①设集合A={y|y=x2–4x+5，x(R}，B={y|y=–x2–2x+4，x(R}，求A∩B；②设集合A={(x,y)|y=x2–4x+5，x(R}，B={(x,y)|y=–x2–2x+4,x(R}，求A∩B．①必须考虑函数值的范围．由y=(x–2)2+1≥1，A={y|y≥1}，由y=–(x+1)2+3≤3，得B={y|y≤3}，所以A∩B={y|1≤y≤3}．②才是考虑求函数图象的交点．由于x2–4x+5=–x2–2x+4，所以2x2–2x+1=0，又由△=4–8<0，所以方程无实数根．所以A∩B=(．
[例8] 已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|–2(CuA)∩B．
提示 本题可借助数轴来求解．
解析 把U和集合A、B在数轴上表示如下：
由图1.2-5可知，CuA={x|x≤–2，或3≤x≤4}，
A∩B={x|–2(CuA)∩B={x|–3 点悟 ①对不等式的解集进行集合运算，常借助数轴将问题形象化；
②要注意端点处“=”的取舍，本例中，–2(A，则–2(CuA．
[例3] 已知a0，x(U}，且CuB=U．求a的最大值，b的最
小值．
提示 在解题中特别注意U(R．
解析 解法一：由CuB=U，得B=(．
a 所以或
因B=(，所以–a≥3，–b≤–1．解得a≤–3，b≥1．
所以a的最大值为–3，b的最小值为1．
解法二：由B={x|>0，x(U}，得
CuB={x|≤0，或x+b=0，x(U}，
={x|(x+a)(x+b)≤0，x(U}，
因为a 所以CuB={x|–b≤x≤–a，x(U}={x|–1≤x<3}，
即–b≤–1≤x<3≤–a，
所以b≥1，a≤–3．
∴a的最大值为–3，b的最小值为1．
点悟 如果得出–1≤–b≤x≤–a≤3．即b≤1，a≥–3就是错解，错在集合B的补集不是全集U．
只有当函数的定义域为R时，才有结论：
{x|f (x)≤0}的补集为{x|f (x)>0}，{x|f (x)<0}的补集为{x|f (x)≥0}．
[例4] 已知A={x|x2–ax+a2–19=0}，B={x|x2–5x+6=0}，C={x|x2+2x–8=0}，(A∩B，A∩C=(，
求A∪B∩C，A∪(B∩C)．
提示 应先将集合B、C化简，而(A∩B意味着A∩B((，然后根据A∩B((，A∩C((确定A集合的元素后求出a值．
解析 B={2，3}，C={–4，2}．
由A∩C((，可知–4(A，且2(A．
又∵A∩B((，而B中元素2(A，
∴只有3(A．
∴3是方程x2–ax+a2–19=0的根，而2不是它的根，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴a=–2．
∴A={–5，3}．
∴A∪B∩C={2}．
∴A∪(B∩C)={–5，2，3}．
[例5] 设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2–1=0}．
⑴若A∩B=B，求a的值；
⑵若A∪B=B，求a的值．
提示 什么情况下有A∩B=B？什么情况下有A∪B=B？弄清它们的含义，问题就可以解决了．
解析 A={–4，0}．
⑴∵A∩B=B，∴B(A．
(ⅰ)若0(B，则a2–1=0，a=±1，
当a=1时，B=A；当a=–1时，B={0}；
(ⅱ)若–4(B，则a2–8a+7=0，a=7或a=1，
当a=7时，B={–12，–4}，BA；
(ⅲ)若B=(，则△=4(a+1)2–4(a2–1)<0，a<–1．
由(ⅰ)、 (ⅱ)、(ⅲ)得a=1或a≤–1．
⑵∵A∪B=B，∴A(B．
∵A={–4，0}，又∵B至多只有两个元素，
∴A=B．
由⑴知，a=1．
点悟 B=(也是B(A的一种情况，不能遗漏．要注意结果的检验．
[例6] 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的，其余的不
赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对
A、B都赞成的学生数的多1人．问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
提示 这里的数量关系比较错综复杂，采用维恩图可加强直观性．
解析 赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33．
如图1.2-6，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的
学生全体为集合B．
设对事件A、B都赞成的学生人数为x人，则对事件A、B都不赞成的学生人数
为：(x+1)人，
赞成A而不赞成B的人数为30–x，赞成B而不赞成A的人数为33–x，
由题意可得方程：
(30–x)+(33–x)+x+(+1)=50．
解得 x=21，+1=8．
所以，对A、B都赞成的学生有21人，对A、B都不赞成的学生有8人．
点悟 借助维恩图，解有关集合的应用题，往往非常有效．
[例7] 集合U={x|x≤10，且x(N*}，AU，BU，A∩B={4，5}，(CuB)∩A={1,2,3}，(CuA)∩
(CuB)={6，7，8}．求集合A和B．
提示 本题已知条件较多，所求明确，一般可采取从已知入手推出所求，首先应将已知条件转化为
明显的与所求相关的条件，然后从所有条件的综合中找出所求，如下面的解法一．此题也可
采用数形结合的方法求解，即用维恩图将已经条件在图中标出，从图中找出所求，如下面的
解法二．
解法一：⑴∵A∩B={4，5}，
∴4(A，5(A，4(B，5(B．
⑵∵(CuB)∩A={1，2，3}，
∴1(A，2(A，3(A，1(B，2(B，3(B．
⑶∵(CuA)∩(CuB)={6，7，8}，
∴6、7、8都不属于A，6、7、8也都不属于B．
∵U={x|x≤10，且x(N*}，∴9，10不知所属．
由⑵、⑶可知9，10均不属于CuB．
∴9(B，10(B．
综上所述知A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．
解法二：如图1.2-7所示
∵A∩B={4，5}，∴将4、5写在A∩B中，
∵(CuB)∩A={1，2，3}，
∴将1、2、3写在A集中，
∵(CuA)∩(CuB)={6，7，8}，
∴将6、7、8写在U中A、B之外，
∵(CuB)∩A与(CuA)∩(CuB)中均无9、10，
∴9、10在B中．
故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．
点悟 解法二用等价转化与数形结合的思想，将满足条件的集合用维恩图表示出来，从而求得交集、
并集、补集，即简单又直观，是最基本、最直观的方法．
[例8] 已知集合A={x|x2–3x+2=0}，B={x|x2–ax+a–1=0}，C={x|x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩
C=C，求a，m．
提示 因为A∪B=A，所以B(A，B应有四种可能，不能遗漏B=(，同样C也可能是(．
解析 A={x|x2–3x+2=0}={1，2}．
∵A∪B=A，
∴B(A，
∴B有四种可能：(；{1}；{2}；{1,2}．
∵x2–ax+a–1=(x–1)[x–(a–1)]，
∴集合B中一定会有1，因而a–1=1或a–1=2，
∴a=2或a=3．
又∵A∩C=C，
∴C(A，
∴C有四种可能：(；{1}；{2}；{1,2}．
①若C=(，则方程x2–mx+2=0的判别式△=m2–8<0，
∴–2 ②若C={1}，则方程有两等根，且均为1，
∴ 不成立；
③若C={2}，同理亦不成立；
④若C={1，2}，则 ，
∴m=3．
综上所述：a=2或a=3；m=3或m((–2，2)．
点悟 ①本题的解答是根据集合的“交”、“并”的概念，以及运用分类讨论思想来思考问题的；
②A∪B=A(B(A；A∩B=B(B(A；
③C(A时，要注意C=(的情况，忽略了这一点，将会遗留△=m2–8<0的情况．
④一元二次方程的解集是单元集（元素有且只有一个）时，用韦达定理处理最简洁；也可将
根代入原方程以及判别式为零求解，切不可只将根代入求得．例如C={x|x2–mx+2=0}={1}
时，其只将1代入原方程可得m=3，虽然最后结果中有m=3，但在C={1}这个前提下，该结
论是错误的．
发展级
[例9] 已知集合A={x(R|x2–4ax+2a+6=0}，B={x(R|x<0}．若A∩B((，求实数a的取值范围．
提示 A∩B((，可知x2–4ax+2a+6=0的实数根组成非空集合，并且此方程至少有一个负根，即有
两个负根、一负根一零根、一负根一正根三种情况．分别求解比较麻烦，我们可以从反而考
虑，先求出方程x2–4ax+2a+6=0有实数根的全集U，然后考虑方程x2–4ax+2a+6=0两根均
非负时a的取值范围，最后利用补集求解．
解析 设全集U={a|△=(–4a)2–4(2a+6)≥0}={a|a≤–1或a≥}，
若方程x2–4ax+2a+6=0的两根x1，x2均非负，则

因为在全集U中集合{a|a≥}的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是：{a|a≤–1}．
点悟 本题采用的策略在数学上称为“正难则反”的解题策略，实际上是运用了“补集的思想”．
[例10] 设x1，x2方程x2–ax+b=0 ①的二不等根，y1，y2是方程y2–by+c=0 ②的二不等根，集合
A={x1，x2，y1，y2}，B={x|x=m+n，m(A，n(A，m(n}，C={x|x=mn，m(A，n(A，m(n}；
当B={5，7，8，9，10，12}，C={6，10，14，15，21，35}时，求a，b，c的值．
提示 观察两个方程，由韦达定理可得，x1 x2=b，y1+y2=b；注意B和C中元素的特点（B是以两
根之和为元素构成的，C是以两根之积为元素构成的）．因B、C两集合中有公共元素10，
于是可断定，又10=1×10=2×5，故可猜想出方程①的根可能为1和10，或2和5；而10
又等于1+9，2+8，3+7，4+6（注意不等根），故知方程②可能有根1，9或2，8或3，7或4，
6，再细分析B中各数的加数和C中各数的因数，便可求出两个方程的根……
解析 由B∩C={10}，知b=10，
因为=2×5=10×1，故知方程①可能有根2和5或1和10；又因为10=1+9=2+8=3+7=4+6．
故知方程②可能有根1，9或2，8或3，7或4，6；再观察B和C中各元素的值，可知方程
①的两根为2和5，而方程②的两根为3和7，于是a=7，c=21．
综上所述，所求a，b，c的值分别为7，10，21．
点悟 此题是一道综合题，解决的关键在于正确理解集合里面的元素与方程根的关系．
练习巩固（第一章）
基础级
1．已知U为全集，若M∩N=N，则（ ）
A．CuM(CuN B．M(CuN C．CuM(CuN D．M(CuN
2．设M，P是全集U的子集，且M(P，则必有（ ）
A．CuM(CuP B．(CuM)∪(CuP)=U C．M∩(CuP)=( D．(CuM)∩P=(
3．若S∪BS∪Q，全集为U，则正确的为（ ）
A．CuBCuQ B．CuBCuQ C．B=Q D．BQ
4．若U是非空全集，下述三个命题：
①若A∩B=(，则CuA∪CuB=U
②若A∪B=U，则CuA∩CuB=(
③若A∪B=(，则A=B
其中正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设A={1，2}，则满足X∪A={1，2，3}的集合X的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．1
6．若A={x|–1≤x≤2}，B={x|x≤a}，(A∩B，则a的取值范围为（ ）
A．a<2 B．a≥–1 C．a≤–1 D．–1≤a<2
7．设U={(x,y)|y=3x–1}，A={(x,y)|=3}，则CuA= ．
8．设U={x|x=–n，n(N*}，A={x|x=–2n，n(N*}，则CuA= ．
9．已知全集I={2，0，3–a2}，子集P={2，a2–a–2}，CIP={–1}，则a的值为 ．
10．设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，则CsA= ．
11．设A，B，C都是R的子集，若A=CRB，B=CRC，则A与C的关系是 ．
12．若集合A={x|–21}，B={x|a≤x≤b}满足A∪B={x|x>–2}，A∩B={x|113．若集合A={x|x2–ax+a2–19=0}，B={x|x2–5x+6=0}，C={x|x2+2x–8=0}满足A∩B((，A∩C=(，求a的值．
14．已知集合A={a2，a+1，–3}，B={a–3，2a–1，a2+1}．若A∩B({–3}，求A∪B．
15．已知A={x|x2=1}，B={x|x2–2ax+b=0}，B((，A∪B=A，求a，b的值．
16．设A={x|(x+a)x=12}，B={x|x(x+b)+c=0}，A∪B={–3，4}，A∩B={–3}，求6a+b+c的值．
17．设U={(x,y)|x2y2=4，x(Z，y(Z}，A={(x,y)||x|=2，|y|=1}，求CuA．
18．若A={1，3，a}，B={a2，1}，A∪B=A，则a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．U为全集，AB，则下面的结论中错误的是（ ）
A．A∪B=B B．CuA∪B=U C．A∩CuB=( D．CuA∩CuB=CuA
20．U为全集，下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩CuS D．(M∩P)∪CuS
21．设a<022．若集合A={x|x2–px+15=0,x(Z},B={x|x2–5x+q=0,x(Z},A∪B={2,3,5}，则p= ，q= ．
23．已知A={2，5}，B={x|x2+px+q=0}，A∪B=A，A∩B={5}，则p= ，q= ．
24．集合A有10个元素，集合B有6个元素，全集U有18个元素，A∩B((．设Cu(A∪B)有x个元素，求由x的所有值组成的集合．
25．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了历史小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、历史小组的有6人，同时参加物理、历史小组的有5人，同时参加三个小组的是2人．现在这三个小组的的都要去郊游，问需要预定多少个座位？
1.2.1函数
理解领悟
基础级
1．什么是函数?
函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量．
函数的近代定义：设A，B都是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数．记作y=f(x)，x(A，其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数f(x)的定义域，与x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x(A}叫做函数f(x)的值域．
对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发．这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的对应．
由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域、值域和对应关系f，其中核心是对应关系f，它是函数关系的本质特征．y=f(x)的意义是：y等于x在对应关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心，至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系，这是无关紧要的．
函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分，当函数的定义域及从定义域到值域的对应关系完全确定之后，函数的值域也就随之确定了．因此，定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：
定义域不同，两个函数也就不同；
对应关系不同，两个函数也是不同的；
即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．
例如，函数y=x+1与y=2x+1，其定义域都是x(R，值域都是y(R，也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应关系是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数．
定义域A，值域C以及对应关系f，称为函数的三要素．由于值域可由定义域和对应关系唯一确定，故两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一个函数．
例如，在①y=x与y=，②y=与y=()2，③y=x+1与y=，④y=x2与y=1，⑤y=与y=这五组函数中，只有⑤表示同一函数．
符号y=f(x)即“y是x的函数”的数学表示，应理解为：
x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一个具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式．
y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示．
f(x)与f(a)的区别与联系：
f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是 f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一个常数．
当关系所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加关系．比如f(x)=x2+1，左端是对x施加关系，右端也是关于x的解析式，这时此式表示以x为自变量的函数的解析式；而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加关系，右端是关于x的解析式，二者并不统一．
2.什么是“区间”与“无穷大”?
（1）区间的概念
区间：设a、b是两个实数，而且a满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a，b］；
满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为〔a，b〕；
满足不等式a≤x＜b，a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，．
注意：1°按照国际标准前闭后开区间记作，前开后闭区间记作．
2°区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”间隔开．
（2）区间的端点和长度
区间定义中的实数a与b叫做相应区间的端点，其中a叫左端点，b叫右端点.称b－a为区间长度．
注意：①区间是集合的又一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示方法，集合表示法（列举法，描述法），不等式表示法和区间表示法．例如大于－1小于2的实数的集合可以表示为如下三种形式： ；－1＜x＜2；（－1，2）至于用哪一种形式，可根据习惯或简明的原则来选用．
在数轴上，区间可以用一条以a和b为端点的线段来表示，（如下表）在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
定义
名称
符号
数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间

（3）无穷大的概念
①实数集R也可以用区间表示为（，），其中“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
注意：无穷大是一个符号，不是一个确定的数．
②无穷区间的概念
关于用，作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表：
定义
符号
应用链接
基础级
【例1】已知f (x)=2x(1,求f ((1)、、f (m(n)、f [f (x)]．
提示 由函数的定义可知，该题是自变量x分别取((1)、、m(n、f (x)时，求对应的函数值（即求代数式2x(1的值）．
解析 f ((1)=2×((1)(1=－3；
；
；
．
点悟 函数y=f (x)解析式中的f代表某一运算，由具体的解析式确定．
【例2】设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图1中表示A到B的函数是（ ）

解析 可根据的函数定义直接求解．首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是函数；其次，A、B两图中，ｘ所对应的元素的集合均为{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2}( B={y∣1≤y≤2}，故它们均不能构成函数．从而答案选D．
点悟 函数是当集合A与B均为非空数集时的单值对应．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②对于集合A中的任意一个数x，在集合B中是否都有唯一确定的数f(x)和它对应．另外，函数f：A→B中，函数值的集合M叫函数的值域，且M(B．
变题 函数的图象与直线的交点有 ( )
A 0个 B 1个 C 至多1个 D 至少1个
提示 设函数y=f(x)的定义域为D，根据函数的定义,当a∈D时，A∩B中恰有1个元素；当当aD时，A∩B中没有元素,故选C．
【例3】试判断以下各组函数是否表示同一函数:
(1)f(x)=,g(x)=;?
(2)f(x)=,g(x)=;
(3)f(x)=,g(x)=()2n-1(n∈N*);
(4)f(x)=,g(x)=;
(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.
提示 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.
解析　(1）由于f(x)==|x|,g(x)==x,故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
(2)由于函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
而g(x)= 的定义域为R，所以它们不是同一函数.
(3)由于当n∈N*时，2n±1为奇数，
所以f(x)==x,g(x)=()2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同.故它们是同一函数.
(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.
点悟　　(1)第(5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数.(2)对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.
【例4】求函数的定义域．
分析 根据有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域．
解析 由函数解析式有意义，得
(0＜x＜1或1＜x≤2，或x≥3．
故函数的定义域是．
点悟 （1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a°中底数a≠0；④若f(x)是由几个部分构成的，则应采用交集法；⑤实际问题结合变量的实际意义来确定，等等；
（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；
（3）函数的定义域一般应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需特别注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；
（4）必须把所有的限制条件都列出来，特别是在中，x-1≠0，不能遗漏．
发展级
【例5】　根据条件，回答下列问题：
（１）求的定义域；
（２）求的定义域；
（３）若x是周长为10的等腰三角形的腰长，y是底边长，试写出y是x的函数解析式，并指明定义域；
（４）若的定义域是R，求实数m的取值范围．
提示　这是一组有关函数定义域的问题，如果函数的对应关系是用解析式y＝f（x）表示时，函数的定义域即为该解析式有意义的x的范围，通常要考虑下面一些内容：
（１）分式中的分母不能为零．
（２）偶次方根号下的部分不能为负值；
另外，在实际应用题中，除了解析式有意义外，还要考虑该自变量的实际意义．
解析　（１）由题可得解之得∴定义域是．
（２）由题可得解之得
∴定义域为．
（３）由题可得，2x＋y＝１０，∴y＝10－2x．
又∴∴．∴定义域为．
（４）∵的定义域为Ｒ，
∴或，∴０＜m≤１或m＝０．
∴m的取值范围是０≤m≤１．
点悟　（１）和（２）是“单纯”的解析式，只要满足解析式有意义就可以；（３）是涉及到具体应用，这里除了解析式有意义外，还要考虑到x的实际意义以及２x＞y＝10－2x（三角形两边之和大于第三边）这一内在关系，所以今后凡遇到应用题，都要注意审题；而（４）是已知定义域，反过去求字母的取值范围，在这里就是要将问题转化为“恒成立时，求m的取值范围”．在转化过程中，要注意等价性．如果将问题改成“函数的定义域是［２，４］，或，求m的取值范围”，情况又会怎样，请同学自己思考（前者m＝，后者m不存在）．
【例6】　①，求y＝f（２x－１）的定义域；
②若y＝f（２x－１）的定义域是［－１，２］求y＝f（x）的定义域；
③若y＝f（２x－１）的定义域是［－１，２］，求y＝f（２x＋１）的定义域；
④若y＝f（x）的定义域是［０，１］，求Ｇ（x）＝f（x＋a）＋f（x－a）的定义域；
提示 ①和②很相似，但理解上有所不同．
中的定义域［－１，２］指的是y=f（x）中的x的取值范围，而且这里的x指代的是y=f（x）中的（ ）内的整体，所以要使0≤2x(1≤1；②中y=f（2x(1）的定义域是[(1，2]指的是2x(1中的x满足(1≤x≤2，此时2x(1的取值范围才是f（x）中的定义域，③是将①和②两个小问题合在一起的“小综合”；可理解成“y=f（2x(1）的定义域y=f（x）的定义域y=f（2x+1）的定义域”，也可以直接由(1≤x≤2的2x(1的范围，然后将2x+1整体放入这个范围内，求出x的取值范围，写成集合的形式.
④是在前三小题的基础上，引进参数a，利用分类思想加以解决.
解析 ①∵y=f（x）的定义域是[(1，2]，∴(1≤2x(1≤2.即.
∴y=f（2x(1）的定义域是.
②∵y=f（2x(1）的定义域是[(1，2]，∴(1≤x≤2，∴(3≤2x(1≤3.
∴y=f（x）的定义域是[(3，3].
③∵y=f（2x(1）的定义域是[(1，2]，
∴(3≤2x(1≤3，∴(3≤2x+1≤3，(2≤x≤1.∴y=f（2x+1）的定义域是[(2，1].
④由题意知x+a([0，1]，x(a([0，1]就是x([(a，1(a]及x([a，1+a].
∴若a≤0，且(a>1+a，即a<时，f（x+a）与f（x(a）至少有一个无意义.当时，G（x）的定义域为{x|(a≤x≤1+a}.
若a>0，同样有：时，f（x+a）与f（x(a）至少有一个无意义.当0∴当时，G（x）的定义域为{x|(a≤x≤1+a}，当0时，G（x）不存在.
点悟 这一类题概念性较强，很抽象，对初学者有一定的难度，最好是将①、②、③对比起来，进行反思，这样效果较好.至于④中分类的产生，是随着问题的深入，如果不分类，问题不易解决，这时自然会联想到能否对字母a的范围进行讨论，最终解决问题，从这点可看出一种解题思想的产生，关键还是在于是否能正确分析问题，以及问题的核心在哪里要心中有数.
【例7】 求下列函数的值域：
y=ax+3 （(3≤x<1）；②（x>0）；
③y=|x+2|+|x(1|+|x(2| ④y=2x+.
提示 这是一组涉及到一次函数、分式函数、绝对值函数及可化为一元二次函数的根式函数求值域的问题，解决这类问题大多数有其通性通法：一次函数注重一次项系数的符号；分式函数常采用分离常数，反表示法，判别式法等.绝对值函数利用零点分段法化去绝对值符号进行讨论；根式函数，常采用换元法或利用其几何意义．
解析 ①当a>0时，y随x值增加而增加，∴值域是．
当a=0时，值域是{3}
当a<0时，y随x值增加而减小，∴值域是．
方法1：分离常数法.当x>0时，可利用在上，单调递增，得y>(1.
又∵，∴y<1．∴(1方法2：反表示法．反解得x=，得(1化去绝对值记号，得
当x≤(2时，(3x+1≥7；当(2∴值域是．
令，则x=1(t2.于是y=2(2t2+t=．
总之，对每个≤的实数y0均有t=，使2(2t2+t的值为y0，从而必有实数x=1(t2，使2x+的值为y0.故所求值域为．
点悟 所谓“值域”，从代数定义上称之为函数值的集合，从图象上看，函数值又是对应函数图象上点的纵坐标，因此，“数形结合”是解决值域问题最直观、迅速的方法．
一次函数
（k(0）
由上例可以看出，求形如的函数的值域，可用分离常数法、反表示法求，且当时，，此结果可直接用于选择题、填空题.
③表示数轴上坐标为x的点P到点A（(2），B（1），C（2）的距离之和，观察动点P的位置，显然可以知当P点落在B（1）点时，达到最小值4，故值域是.
一般地，数轴上若有点A1，A2，…，An，且，则.当n为奇数时，x点落在中间点上，f（x）取最小值；当n为偶数时，则x点落在中间两点之间（包括两点），f（x）达到最小值.
实质是二次函数问题.
关于（m≤x≤n）（a(0）的值域，是一个非常值得我们探讨、研究的问题，它在数学的各个分支领域内均有广泛的应用，下面仅以a>0为例，予以讨论.
当m≤x≤n时，函数图象均为一段抛物线弧，由此可得：
若时，值域为[f（m），f（n）]或[f（n），f（m）].
若时，值域为[]，只要计算f（m），f（n）较大的作为右端点.
综上可知：最大、最小值只能在x=，x=m及x=n中产生；只需判断对称轴是否在[m，n]内即可.关于a<0情形，请读者自己给出结论.
练习巩固
基础级
若f(x)=3x，则下列算法正确的是( )
(A) ∵f(3)=f(3×1)=f×3×1=3×f×1=3×f(1)，∴f(3)=3f(1) ．
(B) ∵f(3)=f(2+1)=2f+f=3f=3×f×1=3×f(1)，∴f(3)=3f(1)．
(C) ∵f(3)=f(4(1)=4f(f=3f=3×f×1=3×f(1)，∴f(3)=3f(1)．
(D) ∵f(3)=3×3=9，f(1)=3×1=3，∴f(3)=3f(1)．
给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

下列各组函数中，是同一函数的是( )
(A) (B)
(C) (D)
函数的定义域为（ ）
（A）空集 （B）单元素集 （C）无限集 （D）双元素集
如果函数f(x)的定义域为[0，2]，那么函数f(x+3)的定义域为（ ）
（A）[3，5] （B）[0，2] （C）[－3，0] （D）[－3，－1]
函数的定义域为M，函数的定义域为N（a＞b＞0），则下列关系正确的是（ ）
（A）MN （B）MN （C）MN= （D）M=N
函数y=|x-3|-|x+1|的值域是 ( )
(A) ［0,4］ (B) ［-4,0］ (C) ［-4,4］ (D) (-4,4)
（1）已知函数，那么＝ ．
（2）设函数的定义域为，且满足，，则 ．
如果函数f（x）=的定义域为[－，+，那么实数a的取值范围是 .
函数的定义域为R，那么实数a的取值范围是 .
函数f（x）的值域为[－2，2]，则函数f（x＋1）的值域为（ ）
(A)[－1，3] (B)[－3，1] (C)[－2，2] (D)[－1，1]
函数的值域为（ ）
(A)(－1,1) (B)[－1,1] (C) (D)
函数的值域为（－∞，－2）∪（－2，+∞），则实数a= .
函数=x2＋x＋的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），则此函数值域中的整数一共有 个．
求下列函数的定义域：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
发展级
(1)求函数的定义域是R的充要条件；
(2)若函数的定义域是[(1，3]，求函数的定义域．
(1)若f(x)的定义域是[0，5]，求f(x2(2x(3)的定义域；
(2)已知f(x+3)的定义域是，求f(2x(5)的定义域．
若f(x)的定义域为[0，1]，求E(x)=f(x+m)+f(x(m)(m>0)的定义域．
已知函数f(x)的定义域为[a，b]，求函数g(x)=f(x)(f((x)的定义域．
求下列函数值域．
①；
②；
③；
④；
⑤．
如果函数f(x)=的定义域和值域都是[1，m](m>1)，求m的值．
如果函数对任意都有，试求的值.
参考答案
基础级
1．D．
2．C．提示：图２与图３都符合函数的定义．
3．C．
4．D．提示：定义域为
5．D．提示：由０≤ｘ＋３≤２可解得－３≤ｘ≤－１．
6．B．提示：，．
7．C．
8．⑴．提示：．
⑵15．提示：利用赋值法可求得．
9．－2．提示：由得的解集是[－，+,故．
10．．提示：由题意，且．
11．C．
12．D．提示：利用反表示法求得，令即可．
13．．
14．．提示：其值域为，即，故共有个整数．
15．⑴∵3x2(2x(1(0，∴．∴定义域为．
⑵∵，∴．∴．∴定义域为．
⑶∵，∴．
∴定义域为：．
⑷∵，∴．∴x(x+1)>0．∴x<(1或x>0．
∴定义域为．
发展级
16．(1)若a=0，则b=0，c≥0；若a(0，则．
(2)∵的定义域是[(1，3]，
∴不等式ax2+2x+c≥0的解集是[(1，3]．
∴∴．
∴．
∴3x2+2x(1≥0．
∴．
∴的定义域是．
17．(1)∵，∴．
∴f(x2(2x(3)的定义域是：[(2，(1]∪[3，4]．
(2)∵，∴(1≤x+3<8．
∴(1≤2x(3<8．∴．
y=f(2x(3)的定义域是：
18．由题意得
只需比较m和1(m大小即可．m((1(m)=2m(1
若，则x=m=；
若，则m>1(m，无解．
若，则m<1(m，得m≤x≤1(m．
综上，当019．由题可得∴．
1(若b>a>0时，x((，则g(x)=f(x)(f((x)不存在；
2(若b>a=0时，g(x)的定义域是{0}；
3(若b>0>a≥(b时，∴g(x)的定义域是[a，(a]；
4(若b>0>(b>a时，(b≤x≤b．∴g(x)的定义域是[(b，b]；
5(若b=0>a时，g(x)的定义域是{0}；
6(若0>b>a时，x((，则g(x)不存在．
综上所述，若b>a>0或0>b>a时，g(x)不存在．
若b>a=0或b=0>a时，g(x)的定义域是{0}；
若b>0>a≥(b时，g(x)的定义域是[a，(a]；
若b>0>(b>a时，g(x)的定义域是[(b，b]．
20．⑴当m>0时，值域是[(2m(1，m(1]；
当m=0时，值域是{(1}；
当m<0时，值域是[m(1，(2m(1]．
⑵∵
∴值域是．
⑶∵，
又x≥1，∴2x(1≥1．∴．
∴
∴值域是．
⑷∵，
∴y(1．
又x(2，∴y(．
∴值域是．
⑸设则
∴．
∵t≥0，∴值域是．
21．∵，∴y=f(x)在[1，m]上随x增加而增加．
∴．即．
∴m2(4m+3=0
∴m=1(舍)或m=3．
∴m=3．
22．由已知令ｘ＝０得代入，∴有，∴，
课本习题解读
练习（P21）
1．⑴；
⑵定义域为．
2．⑴；
　 ⑵；
　 ⑶．
3．⑴不是相等函数，因为定义域不同；
⑵不是相等函数，因为定义域不同．
1.1.2函数的表示方法
理解领悟
基础级
函数的表示方法有哪些？
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
（1）解析法
概念：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称为解析式．
实例：
在中学阶段，所研究的函数主要是能够用解析式表示的函数，例如：
s=60t2
A=(r2
s=2(rl
y=ax2+bx+c (a(0)
(x≥2)
等等，都是用解析式表示的函数关系．
优点：一简明、全面地概括了变量间的关系；二可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．
（2）列表法
概念：列出表格来表示两个变量间的函数关系．
实例：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表等都是用来表示函数关系的，我们生活中也经常遇到列表法，比如银行中利息表，列车时刻表，国民生产总值表（见表2．2—1）都是列表法．
国民生产总值 单位：亿元
年份
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
生产总值
18598.4
21662.5
26651.9
34560.5
46670.0
57494.9
66850.5
73142.7
76967.1
80422.8
89404.0
表2．2—1
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，这种表格常常应用到实际生产和生活中去．
发展级
（3）图象法
概念：图象法就是用函数图象表示两个变量之间的关系
实例：气象台应用自动记录仪器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象及股市走向图等，就是用图象法表示函数关系的．
图2．2—2是我国人口出生率变化曲线，也是用图象法表示函数关系的．

优点：能直观形象地表示出函数的变化情况．
2．函数图象的作法
（1）对作函数图象的理解
画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域．两个用不同的解析式表示的函数，只有在对应关系相同、定义域相同的条件下，才能是相同的函数，才能有相同的图象．
由函数的图象的定义知道，点的集合{(x,y)|y=f(x),x(A}是函数的图象，因此从理论上讲，用列表法、描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数的图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的．
函数的图像既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等．
函数的图象是表示函数的重要方法，它具有明显的直观性．以后可以看到，通过函数的图象能够更好地掌握函数的重要性质．反之，掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图象．
（2）作函数图象的一般步骤：
列表：计算要正确，取值要具有代表性，典型性；
描点：标点要准确；
连线：用光滑的曲线连接起来．
3．什么是映射？映射与函数之间有何关系？
⑴函数推广为映射,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；
⑵对于映射，通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以集合A叫原象集,集合B叫象所在的集合(集合B中可以有些元素不是象)．
⑶映射只要求“对于集合A中的任意一个元素ｘ，在集合B中都有唯一确定的元素ｙ与之对应”，即对于A中的每一个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象，以及有原象时原象是否唯一等问题不需要考虑的．
⑷用映射刻画函数的定义可以叙述为：设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作：，其中，原象集合A叫做函数的定义域；象集C叫做函数的值域，显然.
应用链接
基础级
【例1】如图2-1，哪些能构成集合A到集合B的映射？哪些不能构成集合A到集合B的映射？为什么？
提示　对映射的判断，不仅仅是停留在文字的表述上，针对以上四个图，要能在读懂图的基础上，结合映射的概念，作出解答．①和③不能构成映射．因为①A中的4在B中没有能和它对应的元素，③尽管没有出现①中的情形，但出现了4同时与B中的1和2对应；②和④符合映射的定义．特别是从④中可以看出B中尽管有“空着的”2，但这并不影响构成集合A到集合B的映射．
解析　②和④能构成集合A到集合B的映射，因为它们都符合“集合A中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应”．
①和③不能构成集合A到集合B的映射，因为①中的4没有和B中的元素对应，③中的4同时与B中的1和2对应．
点悟　①和④对比发现，在①中集合A中的4没有和集合B中的元素相对应，在④中集合B中的2没有和集合A中的元素相对应，但前者就不符合映射的定义，而后者，则可以构成集合A到集合B的映射．
②和③对比发现：在②中，集合A中的3和4同时与集合B中的2相对应，在③中，集合B中的1和2同时与集合A中的4相对应，但前者可构成集合A到集合B的映射，后者则不可以．
从以上分析可以看出，映射中虽有对应的含义，但与“对应”的含义则不完全相同，映射是有明确顺序的，在判断之前，一定要明白是从哪一个集合到哪一个集合.
【例2】如果,求．
提示 本题实质是求x+1经过怎样的运算得到2x2+1，明确了此目标可采用换元法、拼凑法、相关值法求得．
解析 解法一（换元法）：设t=x+1，则x=t (1．
∴f (t)=2(t(1)2+1=2t2(4t+3，即．
解法二（配凑法）：∵，
∴，即
解法三（相关值法）：∵，且，
∴
点悟 换元法是解此类题的常用方法，配凑法对表达式是多项式函数时很有效．
【例3】作出函数的图象，并求它的值域．
提示 由绝对值的定义，采用“零点分段法”将含绝对值的解析式转化为不含绝对值的解析式，再画出图象，求出值域．
解析 设x+2=0，得x= (2；再设x(2=0，得x=2．
将函数的解析式的绝对值去掉，化为分段函数如下：
作出它的图象如图2．2—1，由图象观察得函数值
y≥0，所以函数的值域为．
点悟 作出图象后，值域就一目了然了．
【例4】 如图2．2—4，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为．（1）求f (x)；（2）作出函数y=f (x)的图象，再由图象求y的最值．
提示 由题意知y=f (x)是一个分段函数，由集合知识分别求出x(，x(，x(的分段函数解析式，作出y=f (x)的图象，便可求得y的最值．
解析 （1）由题意得y=f (x)的解析式

（2）图象如图2．2—5
由图象可得ymax=8．
点悟 此题型近年常见，其关键是理解题意建立模型，由于点P有三个不同运动方向，故数学模型为分段函数，通过数形结合求函数的最值也是常用方法之一．
【例5】 某汽车以52千米/小时的速度从A地到260千米远处的B地，在B地停留小时后，再以65千米/小时的速度返回A地．试将汽车离开A地后行走的路程s表示为时间t的函数．
提示 根据题意，当自变量t在不同范围内取值时，汽车的速度不同，s的表达式也不同，因此，这是一道分段函数问题．
解析 由路程、速度、时间三者之间的关系可得分段函数

点悟 正确“分段”是解决问题的关键．
【例6】 若抛物线y=ax2+bx+c (a(0)与x轴交于((1,0)和(3,0)两点，且在y轴上的截距为(3，求a、b、c．
提示 应当熟知，二次函数的解析式有三种不同的形式(一般式y=ax2+bx+c (a(0)，顶点式y=a(x+k)2+h(a(0)和截距式y=a(x(x1)(x(x2) (a(0))，本例用截距式，显然简便．这是因为题设中已知截距x1和x2，只需求一个未知系数a；其实也可用一般式．但一般式中有三个待定的系数a，b，c，其中只有一个c= (3已知，还要求a和b；若用顶点式就显得更繁琐了．
解析 由题设知抛物线在x轴上的截距为(1和3，故设二次函数为y=a(x+1)(x(3)．再将x=0，y= (3代入上式：
(3=a(0+1)(0(3)，求得a=1，
所以，y=1×(x+1)(x(3)=x2(2x(3；
由此知a=1，b= (2，c= (3．
点悟 合理选择二次函数的表达形式有利于简化运算．
【例7】若，求一次函数f (x)的解析式．
提示 由于f (x)是一次函数，故可设为f (x)=ax+b(a(0)的形式，然后只需求a，b即可．
解析 设f (x)=ax+b(a(0)，则．
．
又．
∴a3x+a2b+ab+b=27x+26．
比较两边对应项系数，得
．
解得a=3，b=2，∴f (x)=3x+2，检验知，符合要求．
故所求f (x)的解析式为：f (x)=3x+2．
点悟 待定系数法（或比较系数法）是解决数学问题的一种重要方法，也是中学数学常用的思想方法之一，有着广泛的应用，我们要予以高度的重视．
【例8】 函数f (x)由满足下列关系式所确定：
，其中x(1，求出所有这样的函数．
提示 欲求f (x)，必须消去已知中的再寻找到一个方程，还要产生，从而得出解题思路．
解析 ①
以代替关系式①中的x，得
． ②
由①，②联立，消去，得f(x)=2x+1．
容易验证：所求的函数f(x)=2x+1满足题目要求．
点悟 本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到f(x)的表达式，这种解法称为消去法．
【例9】已知，其中a(1，n为奇数，求f(x)．
提示 利用-1的奇数次方仍然是-1，故用-x去代x再用消去法可解．
解析 ∵a(1，n为奇数，
∴在原方程中用(x代换x，得．
于是得
消去，解得．
又a(1，n为奇数，∴．
点悟 事实上，按当前定义f(x)是奇函数．
【例10】设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x，y有
f(x(y)=．求f(x)的表达式．
提示 根据已知条件，用赋值法较好．
解析 解法一：由f(0)=1，f(x(y)=f(x)(y(2x(y+1)，设x=y，得f(0)=f(x)(x(2x(x+1)．因为f(0)=1，所以f(x)(x(x+1)=1．即f(x)=x2+x+1．
解法二：另x=0，得f(0(y)=f(0)(y((y+1)，即f((y)=1(y((y+1)．
又令(y=x代入上式，得f(x)=1(((x)(x+1)=x2+x+1．
点悟 ①所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数．至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
②通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利找出规律，求出函数的解析式．
【例11】作出下列各函数的图象：
y=1(x，x(Z；
y=2x2(4x(3，0≤x<3；
y=| x(1 |；
．
提示 图象法是表示函数的方法之一，画函数图象时，以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作图．
解析（1）这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y=1(x上，由已知x(Z，从而y(Z，这些点称为整点．

（2）∵0≤x<3，∴这个函数的图象是抛物线y=2x2(4x(3在区间上的一段弧．

（3）所给函数可写成分段函数，是端点为(1，0)的两条射线（称为“羊角”）．

这个函数的图象由两部分组成：
当0当x≥1时，为直线y=x的一段．

点悟 函数的图象不一定是一条或几条无限长的平滑曲线或直线，也可以是一些线段、射线、一段曲线，甚至是一些点．
点悟 若注意到有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数，故只要讨论x≥0时的情况，再按对称性得出x<0的情况，这样可简化求解及画图过程．
发展级
【例12】画出函数的图象．
提示 要去掉绝对值符号，可按1(x2和x的零点(x= (1,0,1)，把定义域((∞,+∞)划分为四部分分别进行化简．
解析 当x(((∞,(1)时，；
当x(时，；
当x([0，1]时，；
当x((1,+∞)时，．
即可画出此函数的图象．
【例13】的解集是空集，求实数a的范围．
提示 画出分段函数的图象，避免对字母a的讨论．
解析 令
即当x≤(2时，y1= (3；
当(2当x>1时，y1=3．
及y2=a，其图象如右．
欲使图象中y1>y2解集为空集，也即y1≤y2恒成立，显然a≥3．
【例14】当m为怎样的实数时，方程x2(4| x |+5=m有四个互不相等的实数根？
解析 先作出y= x2(4| x |+5的图象．
如图，从图上可以直接看出：
当1点悟 直观醒目的函数图象，能够帮助我们
正确理解概念和有关性质，因而数形结合是
研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合方法解题，直观明快，便于发现问题，启发思考，有助于培养综合运用数学知识来解决问题的能力．
【例15】（１）写出从集合Ａ＝｛a，b｝到集合Ｂ＝｛c，d｝的所有不同的映射；
（２）集合Ａ＝｛a，b，c｝，集合Ｂ＝｛－１，０，１｝，f是Ａ到Ｂ的映射，且满足
f（a）＋f（b）＋f（c）＝０，写出所有不同的映射；
（３）集合Ａ＝{0，1，2，3，4，5}，f是Ａ→Ａ的映射，且满足x＋f（x）＋xf（x）是奇数，共有多少不同的映射？
提示　（１）根据映射的定义，逐个考虑；
（２）根据映射的定义，逐个考虑，但前后间存在着如下的制约关系
（３）根据映射的定义，逐个考虑，在过程中要注意满足条件．如x＝０时，x＋f（x）＋xf（x）＝0+f(0)+0×f(0)=f（０），∴f（０）＝１或f（０）＝３或f（０）＝５．即原象集中的０在象集中可以分别和１，３，５对应．
同理　１＋f（１）＋１×f（１）＝２f（１）＋１是奇数，
∴　原象集中的１在象集中可以与任何一个数相对应共６种情形．
２＋f（２）＋２×f（２）＝３f（２）＋２，２共有３种对应．
３＋f（３）＋３×f（３）＝４f（３）＋３，３共有６种对应．
４＋f（４）＋４×f（４）＝５f（４）＋４，４共有３种对应．
５＋f（５）＋５×f（５）＝６f（５）＋５，５共有６种对应．
它们在一起组合，可形成３×６×３×６×３×６＝5832种不同的映射．
解析　（1）有四种不同映射，如图
（2）如图所示，共有7种不同的映射.
（3）逐个考虑原象集A中的任一元素所对应的情形如下：
x=0时，x+f（x）+xf（x）=f（０），∴f（0）必须是奇数，∴有3种对应情形；
x=1时，1+f（1）+1×f（1）=2f（1）+1，必定是奇数，∴有6种对应；
x=2时，2+f（2）+2f（2）=3f（2）+2，∴2有3种对应；
x=3时，3＋f（３）＋３f（３）＝４f（３）＋３，∴共有６种对应；
x=4时，4+f（4）+4f (4) =5f (4)+4，∴4共有3种对应；
x=5时，5+f（5）+5f (5)=6f（5）+5 ∴5共有6种对应，
综上所述，共有3×6×3×6×3×6=5832种不同映射．
点悟　（1）较简单，枚举一下就可以了，但我们也可这样来理解：原象集A中a和象集B中的哪一个元素对应对b的对应关系不产生影响，相互独立．如a可以与c或d对应，两种情形．同理b也可以与c或d对应，也是两种情形.最后的情形共有2×2种（不能理解成2+2）．
由此可以来研究对于一般的集合A={a1，a2，…，am}，集合B={b1，b2，…，bn}，若A到B构成映射，则所有不同的映射共有多少呢？
处理的思想方法同上，首先考虑a1，它有n种不同对应方法．由于a1的对应情况对a2的对应情况不产生影响，所以a2也有n种对应，同理，a3，a4，…，am都分别有n种对应，最后构成映射，共有种不同方法.
这个结论很有用，希望同学们掌握，但更重要的是掌握处理该问题的思想方法.
练习巩固(2.1.2)
基础级
1．设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法正确的是（ ）
A．Ｍ中每一个元素在Ｎ中必有象
Ｂ．Ｎ中每一个元素在Ｍ中必有原象
Ｃ．Ｎ中每一个元素在Ｍ中的原象是唯一的
Ｄ．Ｎ是Ｍ中所有元素的象的集合
2．已知函数 ，求的值．
3．已知函数 ，（1）求f(f((2))．（2）已知f(x0)=8，求x0．
4．已知g(x)=x2(1，且当x(0时，，求．
5．如果，求f(2)．
6．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1，f(x+1)(f(x)=2x，求f(x)的表达式．
7．设f(x)的定义域为R且满足f(0)=1，对于任意实数x、y有f(x(y)=f(x)(y(2x(y+1)．求f(x)的解析式．
8．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，
则 （ ）
（A）b(((∞,0) （B）b((0,1)
（C）b((1,2) （D）b((2,+∞)
9．设函数 (c>0)的图象如图，
则a、b、c的大小关 系是 （ ）
（A）a>b>c （B）a>c>b
（C）b>a>c （D）c>a>b
10．设f(x)=5(| x |，g(x)=(5+| x |试作出函数f(g(x))的图象．
11．函数 的最大值 ．
12．测量大气温度T时，发现离地面距离越高，温度T越低，在高空11km以内，大约每升高1km降温6(C，在11km以外的上空，其温度几乎不变，如果地面温度为19(C，试写出温度T((C)与离地面高度h(km)之间的函数关系式．
13．已知为二次函数，且，求f(x)．
14．定义在区间((1,1)内的函数f(x)满足 ，求f(x)．
15．设函数y=f(x)的图象关于x=1对称，若x≤1时，y=x2+1，求当x>1时的y=f(x)的解析式．
发展级
16.已知f (x)=若a、b(R+,且a(b，则与的关系为 ( )
A. < B. >.
C. = D.不能确定
17．设函数f (x)定义在R+上，若对于任意x1、x2均有f (x1+x2)=f (x1)+f (x2),且f (8)=3,
则f (2)等于 （ ）
A.1 B. C. D.
18．设f (x)=，则 ．
19.已知一次函数f (x)满足=8x-7,则f (x)= ．
20．若f (3x)=2x2-1，则f (x)= ．
21.设定义在N上的函数f (x)满足f (n)=，
则f (2005)= ．
22.设，定义n(N，试求的表达式.
23.已知函数f (x)满足条件：f (x)+2f ()=x,求f (x)．
24．已知函数的定义域为R，求k的取值范围．
25．建造一个容积为8000米3，深为6米长方体蓄水池，池壁每平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y元表示为底的一边长x米的函数，并求函数的定义域．
26．已知映射f：Ａ→Ｂ中Ａ＝Ｂ＝，f：Ａ中的元素(x，y)对应到Ｂ中的元素．
（１）求Ａ中元素（１，２）的象；
（２）求Ｂ中元素（１，２）的原象；
（３）是否存在这样的元素（a，b）使它的象仍是自己？若有，求出这个元素；
参考答案
基础级
1．A．
2．-6．解：
== (6．
3．解：（1）．
（2）当x0≤2时，，x0=，x0=（舍去）
当x0>2 时，(2x0=8，x0= (4(不合题意，舍去)
综上x0=．
4．解：设g(x)=，则x2=．
∴．
5．解法一：设，则x=．
将x=代入，得，
∴．∴．
解法二：∵，∴．∴．
6．解：设f(x)=ax2+bx+c (a(0)，
又∵f(0)=1，f(x+1)(f(x)=2x，
∴
∴即
∴．
7．解：由f(0)=1，f(x(y)=f(x)(y(2x(y+1)，
设x=y得f(0)=f(x)(x(2x(x+1)，
∴f(x)(x(2x(x+1)=1，即f(x)=x2+x+1．
8．解：由图得f(0)=f(1)=f(2)=0，
分别将x=0、x=1、x=2，代入f(x)=ax3+bx2+cx+d．
求得，，d=0．
∴．
当x(((∞,0)时，f(x)<0，又>0．
∴b<0应选A．
9．解：由图象知：f(1)=1，f((1)= (1，f(0)=0．
代入，得方程组
，解得．
又∵c>0，∴a>c>b．
应选B．
10．解：∵f(x)=5(| x |，g(x)= (5+| x |，
∴f[g(x)]=5(| (5+| x | |．
．
它的图象如图．
11．解：在同一直角坐标系中作出函数
y=2x+3、y=x+3、y= (x+5的图象，
再由分段函数定义域确定所求函数的图象
为图中的粗折线AB—BC—CD．
观察得C为最高点，其坐标满足方程组
解得C(1,4)．
∴函数y的最大值为ymax=4．
12．解：由题意得
．
13．解：设f(x)=ax2+bx+c (a(0)，
又∵f(x+1)+f(x(1)=2x2(4x，
∴a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x(1)2+b(x(1)+c=2x2(4x．
即：2ax2+2bx+2a+2c=2x2(4x．
由多项式恒等得．解得a=1，b= (2，c=．
∴要求的二次函数为y=x2(2x(1或y= (x2(2x+1．
14．解：∵f(x)的定义域为((1,1)，
又∵2f(x)(f((x)=x+1，
2f((x)(f(x)= (x+1．
由①×2+②消去f((x)得3f(x)=x+3，即f(x)=．
∴要求函数f(x)= ,x(((1,1)．
15．解法一：∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，又当x(时f(x)=x2+1，而y=x2+1的顶点为(0,1)，其顶点关于直线x=1的对称点为(2,1)．f(x)=x2+1当x= (1时，f((1)=2，∴点A((1,2)关于直线x=1的对称点为(3,2)．故设要求的定义在(1,+∞)上的函数为f(x)=a(x(2)2+1
又∵在图象上，∴2=a+1，即a=1．
∴ ．
解法二：∵函数f(x)图象关于直线x=1对称，∴f(1(x)=f(1+x)对定义域内x值都成立．
设1(x=t，则x=1(t，∴1+x=1+1(t=2(t．
∴f(t)=f(2(t)，即f(x)=f(2(x),又知时函数的解析式为f(x)=x2+1．
∴f(2-x)=(2(x)2+1=x2(4x+5．此时，∴，∴．
发展级
16．A 17. C 18.
19. f (x)=或f (x)=-2x+11 20. 21. 2013
22.依次递推，可得
23．由f (x)+2f ()=x, 用代x可得f ()+2f (x)= ，
从以上两式消去f ()即得3f ()=-x，∴f (x)=
24．由已知kx2+4kx+5(0的解集为R.当k=0时，函数的定义域为R．当 k(0时，(=（4k）2-20k<0,解得025．设长方体池底的一边长为x米，则其另一边长为米，
池壁面积为 2×6×x+2×6×=12(x+) (米2)．
池底面积为x×=（米2）．根据题意，得所求函数关系式为：
，即．定义域为（0，+∞）．
26．（１）由题意知（１，２）的象是用x＝１，y＝２代入象的表达式得（０，９）．
（２）由题意知（１，２）的原象即是方程组：的解．
（３）以自己为象的元素（a，b）是方程组：的解．∴存在这样的元素．
课本习题解读

习题1．2（P27）


⑷如图5，定义域为，值域为．
4．，，
　　，．
5．⑴不在；⑵；⑶14.
6．因为，所以．
7．⑴如图6所示；⑵如图7所示．
1.3.1函数的单调性
理解领悟
基础级
增函数、减函数、单调性、单调区间的概念：
学习这些概念时要注意如下几点：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．例如，反比例函数，在()，()内都是单调递减的，但不能说它在R上是减函数．也不能说在它的定义域上是减函数，更不能说它的单调减区间是()()．
（2）函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．
因此，若要证明f（x）在上是递增的，就必须证明对于区间上任意的两个值,，当>时都有不等式f()>f()成立．
若要证明f（x）在上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到两个特殊的,，若，有f()f()即可．
若已知f（x）在上是递增的，对任意,，则有f()>f()>．
事实上，当>时，由定义知f()>f()，反之，当f()>f()时，假设，则可证出f()f()，矛盾 >．
证明函数单调性的方法
最基本的方法是根据函数单调性的定义来进行的，其步骤如下：
第一步：取值．即设,是该区间内的任意两个值，且<．
第二步：作差变形．即作差f()-f()，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
第三步：定号．确定差f()-f()的符号．当符号不确定时，可以进行分区间讨论．
第四步：判断．根据定义作出结论．
即“取值——作差——变形——定号——判断”这几个步骤．
函数单调性的应用
单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体地体现在：
（1）利用单调性比较大小．
利用函数的增减性，可以把比较函数值的大小的问题，转化为比较自变量的大小的问题．实际上，这正是我们解不等式的依据．
（2）确定函数的值域或求函数的最值．
如函数f（x）在上单调递增，就可以判断它的值域为,且为其最小值,为其最大值．如在(a,b)内单调递增，其值域即为 (,),且不存在最值．可见函数的单调性在确定函数的值域和最值时，是有很大作用的．
发展级
4．复合函数y=f[g(x)]单调性的求法
令u=g(x),则u是x的函数，通常称之为“内层函数”．u对于y来说，又是其自变量，故称y=f(u)为“外层函数”．在内层函数的值域满足外层函数定义域的子集的前提下，有如下结论：
y=f(u)
递增
递增
递减
递减
u=g(x)
递增
递减
递减
递增
y=f[g(x)]
递增
递减
递增
递减
应用链接
基础级
【例1】 判断函数在()上是增函数还是减函数．并证明你的判断；如果()，函数是增函数还是减函数？
提示 一般地，当,与具有一致的单调性；若，则与的单调性相反．从上可直接得出是减函数，用单调性的定义证明，应注意对差式的变形及分解因式．
解析 在()上是减函数，证明如下：
在（((，0）上任取，,且<，
则,
,
又->0,>0,
>0,即.
故在()上是减函数．
同理可证，当()时，函数仍然是减函数．
点悟①式子中是不完全平方式，配方可知其是一个非负数．
②应注意证明一个函数是增函数还是减函数，都是指在某个区间上是增函数还是减函数．
③最后确定的符号时，根据一定要充分，判定结果明确．
【例2】设函数，当()时，试证明函数在区间[)上是单调减函数．
提示 [）上与分别单调递增、递减、单调性相反，不能直接看出的单调性，所以只能用定义来证明．
解析 在区间[]上任取,,
且<,
=
=
=(),
∵<0,
又∵0<,0<<<+,
>0 即在区间[）上是单调减函数．
点悟 分子有理化的方法运用和变量范围的确定是本题的难点．
【例3】求下列函数的单调区间
（1） （2）
提示（1）可通过画出函数的图象来求单调区间；（2）既要考虑函数的定义域，还要注意在上的递增性．
解析 （1）当时，=,当时，在(和上，函数是增函数．在和上，函数是减函数．
（2）求出单调区间，考虑函数定义域，并注意到在上的递增性．
先求出函数定义域．由，得或．又函数==，当时，为减函数，时，为增函数．
∴当时，为减函数，时为增函数．
故的单调递减区间为(，单调递增区间为．
点悟 ①可以利用函数的图象来求函数的单调区间，对于较复杂的函数的单调性，可以利用一些基本初等函数的单调性．
②例3（2）是一道求复合函数单调区间的问题，一般说来有以下结论．
设,,,若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同．如果是上的减函数，那么的增减性与的增减性相反．
证明：设任意,,且<，当是上的增函数时，若是增函数，则<，即<，且,，<,即<,是上的增函数，其余可仿此证明．
【例4】求函数的单调区间
提示 求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：
①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法，但本题图象不易作出，利用与的单调性（一增一减），也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断的正负．
解析 首先确定定义域：,在()和()两个区间上分别讨论，任取,()且<，则
==()+=()(1),要确定此式的正负只要确定1的正负即可．
这样，又需要判断大于1，还是小于1，由于,的任意性，考虑到要将()分为与()（这是本题的关键）．
①当,()时，1<0, <0,为减函数；
②当,()时，1>0, >0,为增函数．
同理可求
③当,()时，为减函数；
④当,()时为增函数．
点悟 ①用定义来判断函数的单调性，其基本步骤为：设值作差变形定号结论；②请大家讨论本题的推广题：函数的单调性．
【例5】判断函数在 ()上的单调性．
提示 讨论复合函数的单调性，应当尽可能化为简单的基本函数来进行讨论．
解析 ∵=1+,
当时,为增函数．
∴递减．
故函数1+在()上为减函数．
点悟 将函数变形，转化成讨论一些简单的基本函数的单调性问题是讨论函数单调性的一种常用方法．
【例6】讨论函数的单调性．
提示 用定义法，并注意对字母a分情况讨论．
解析 设，则
==
+1>0, >0,1<0, 1<0,
∴>0
∴在定义域上：
当>0时，>0, 为减函数；
当<0时，<0, 为增函数；
当=0时，=0为常数函数．
【例7】讨论函数=在区间上的单调性．
提示 对于这种根式函数的作差比较，注意分子有理化技巧的运用．
解析 设，则
==
=,
∵>0, >0,
∴当>0,>0时，+>0. >.
当<0,<0时，+<0. <.
故=在区间上是增函数，=在区间上是减函数．
点悟 函数单调区间的划分，实际上是函数单调性的逆用思想．即当取得两个变量<且,时，利用>0(<0)不等式，具体确定,的取值范围．从而确定自变量必须归属的区间，达到划分的目的．
设,为方程的两个实根，当为何实数值时，有最小值，并求出这个最小值．
提示 根据根与系数的关系求出关于的函数关系式 ，再由根的判别式求的范围，然后用函数的单调性求解．
解析 ∵,是方程的两个实根，
由根与系数的关系，得+=,=．
=2.
==.
而,为实数根，
故,
解得，或.
由二次函数的单调性知，=在区间上是减函数，在上是增函数．
考虑到抛物线开口向上，且以为对称轴，
故当 时，有．
点悟 求函数值域、最值，解方程、解不等式等均要考虑字母取值范围．有些问题定义域很隐蔽，比如本题，“若忽视的条件，就很容易误解为：“当时，有”的错误解答．因此，我们要注意挖掘题目中的隐含条件解题．
【例9】 是否存在实数，使函数在区间上是减函数，而在区间上是增函数？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
提示 已知函数在规定区间上的单调性，运用定义可得出与所设的,的不等关系式，再根据变量,的范围，求出的范围，由两个已知条件，求出的两个范围，若有公共部分则存在，若无公共部分，则不存在．
解析 =
= .
若对任意<,则，且 +2>4+4+2=10,
当且仅当时，>0恒成立，从而在区间上是减函数．
若对任意<<0，则，且
+2<1+1+2=4,
当且仅当时，<0恒成立，从而在区间上是增函数．
综上，存在实数使在区间上是减函数，而在区间上是增函数，且实数的取值范围为．
点悟 这是一道探索性的命题，是求单调性的逆向问题，定义法是解决此类问题的常用方法．
【例10】 已知函数的定义域为R，且对任意,均有=+，且对任意>0，都有<0, .
（1）试证明：函数是R上的单调减函数；
（2）试求函数在上的值域．
提示（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；
（2）由（1）的结论可知,分别是函数在上的最大值与最小值，故求出与就可得所求值域．
解析（1）任意,且<,,
于是由题设条件=+可知：
.
>, ∴>0, ∴<0.
<.
故函数是单调减函数．
（2）由于函数是R上的单调减函数．
∴在上也为单调递减函数，
∴在上的最大值为，最小值为.
由于=+
=2+=……=,
同理，=.
, ,
, ,.
因此函数在上的值域为.
点悟 ①若将题条件中的“>0，都有<0”改成“都有>0”，则函数就是R上的单调增函数．
②若题设条件中的去掉，我们就无法求出与的值，故不可少．
【例11】设函数=，如果当时有意义，求实数的取值范围．
提示 错解：=在上有意义，
即的定义域为,
不等式0的解集是.
当=1时，=0,得.
点击：上面解答错误的原因是认为在上有意义，就是的定义域．事实上，这里可以是定义域的一个子集．
解析　=在上有意义，
故不等式0在恒成立．
即对一切上恒成立．
,在上是减函数，
在上是增函数．
故在上的最大值是=,
故的取值范围是．
点悟 已知含参数的不等式在某个区间上恒成立，进而求参数取值范围的问题，通常是先分离出参数，再转化为在其已知区间上求最值的问题．
【例12】 已知满足+=0，它在上是增函数，且<0，试问=在上是增函数还是减函数？证明你的结论．
提示 错解：任取,,且有<,则有>,且,,在上是增函数，且<0.
<<0, >>0.
又满足+=0,
=,=,
>>0,
=
=<0,
即,
在上是减函数．
点击：这是本题最容易发生的错误，受已知条件的影响，一开始就在内任取<,展开证明．这样就不能保证,在内的任意性而导致错误．
解析 任取,且<,则有>>0.
在上是增函数，且<0,
<<0． ①
又是满足+=0,
=,= ②
由①、②得>>0.于是
=>0,即,
所以=在上是减函数．
点悟 错解的结论尽管正确，但在数学证明的逻辑推理上是彻底错了，这是证明的目标不明确而造成的，避免错误的方法是：要明确证明的目标，利用单调函数的性质，有针对性地展开证明．
练习巩固
基础级
函数f(x)=4x2-mx+5在区间[2,+∞上是增函数，在区间(-∞，2上是减函数，则m的值为（ ）
A.8 B.-16 C.-8 D.16
函数f(x)=x2+px+1对任意的x均有f(x+1)=f(1-x)，那么f(0),f(-1),f(1)的大小关系是 （ ）
A．f(1)﹤f(-1) ﹤f(0) B．f(0) ﹤f(-1) ﹤f(1) C．f(1) ﹤f(0) ﹤f(-1)D．f(-1) ﹤f(0) ﹤f(1)
函数y=x2+2(m-1)x+3在区间(-∞，-2上是减函数，则m的取值范围是 （ ）
m≤3 B.m≥3 C.m≤-3 D.m≥-3
设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1﹤x2则f(x1)与 f(x2)的大小关系是 （ ）
A. f(x1) ＜f(x2) B. f(x1)﹥ f(x2) C. f(x1)= f(x2) D. 不能确定
若函数f(x)在[3，7]上满足f(-x)=-f(x),且是增函数，在[3，6]上的最大值为8，最小值为-1则2f(-6)+f(-3)= ( )
A.5 B.-5 C.-13 D.-15
对于任何实数k，函数f(x)=在区间(0,+∞)上是 函数（增或减）
函数y=的单调递增区间是 ．
函数在（1,+∞）上递减，则m的取值范围是 ．
已知函数f(x)是区间（0,+∞）上的减函数，那么的大小关系是 ．
已知,求证函数在区间（-2,+∞）上单调递增．
已知函数f(x)=x3-x在(0，a上递减，在[a,+∞上递增，试求a的值．
已知函数f(x)在区间（-∞,+∞）上是增函数，又实数a,b满足a+b≥0,
求证：f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)
发展级
下列函数中在区间（0，1）上为增函数的是 （ ）
A． B．　　　　C． D．
函数的增区间为 （ ）
A． B．　　　　C． D．R
已知定义域为R的函数在区间上单调递减，对任意实数，都有，那么下列式子成立的是 （ ）
A．<< B．<<
C．<< D．<<
设，则在 （ ）
A．区间上递减　　　　　　　B．区间上递减
C．区间上递增　　　　　　　D．区间上递增
已知在上递增，在上递减，则= ．
函数的图象关于点 对称．
在上递增，则的取值范围为 ．
函数的减区间为 ．
函数在区间上有最大值2，求实数．
如果函数的定义域为，且为增函数，=+
（1）证明：=－；
（2）已知=1，且>+2，求的取值范围．
已知是定义在上的增函数，且满足=+，=1，
（1）求证：=3；
（2）解不等式：－>3．
（1）若在区间上的最小值为3，求的值；
（2）已知，为常数且0，=，且=0，并使方程=有等根．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和
参考答案
基础级
1.D 2.C 3.A 4.D 5.D
6.增 7. （-∞,1） 8.m≥-1 9.
10．任取，则
∵a>,∴2a-1>0,∵∴
∴
∴函数在区间（-2,+∞）上单调递增．
11．设由函数f(x)=x3-x在(0，a上递减得
即对于满足的都有即，又，只须
又函数f(x)=x3-x在[a,+∞上递增，可推出，所以
12．由已知a+b≥0,∴a≥-b, b≥-a, 又∵函数f(x)在区间（-∞,+∞）上是增函数，∴f(a) ≥f(-b) ，f(b) ≥f(-a)，相加得f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)．
发展级
13．D 14．B 15．C 16．C 17．25
18． 19． 20．
21．解：．
当时，
，
舍去；
（2）当<0时，在上递减
=；
（3）当>1时，在上递增
=2
22．（1）==+
=－.
（2）∵=1，∴ =+=2
于是>+2=+= ①
在上单调递增，
①可化为：，解之得1<<.
的取值范围是：1<<.
23．（1）在=+中，令，则有=+=2=2，再令=4，=2，可得=+=2+1=3
由－>3得>+=，
而在上是增函数，
，
解之得2<<即为所求．
24．(1)解法一：=4
当，即时，函数在上是增函数，
∴，
由，得=1，
<0，=1
当0<<2，即0<<4时，
，
由，得=，舍去．
当2，即时，函数在上是减函数，
，由得
，∴
综上所述，=1或.
解法二：=4
当时，
或，对称轴
∴ 当时，不合题意，舍去．
当a=1-时，(0，符合题意．
当f()=3时，-2a+2=3．∴a=(.
∴x==(,又(([0，2]，不合题意，舍去．
当=3时，
或
当时，>2，符合题意．
当时，，不合题意，舍去．
综上所述或.
（2）,
则有，
又的对称轴为直线，
在上是增函数．
解得
存在，使在上值域是．
课本习题解读
1.3.2函数的奇偶性
理解领悟
基础级
1、奇、偶函数的概念
⑴设函数y=f(x),定义域x∈D,若对任意x∈D都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若对任意x∈D都有f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数．
⑵奇、偶函数的必要条件
函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判断函数为奇函数或偶函数，首先要看其定义域是否关于原点对称．如函数f(x)=x2，x∈(-1,1]，则此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
⑶函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0.
事实上，由奇函数的定义知，f(-0)=-f(0)，易得f(0)=0
2、奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据．对于不易找到函数f(-x)与±f(x)关系时，常用以下等价形式：
f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0;
f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0.
当f(x)≠0时，也可用来判断．
3、常用结论或常见题型
⑴奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，即奇函数f(x)在[a,b]上的单调性与它在[-b,-a]上的单调性相同；
偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性，即偶函数f(x)在[a,b]上的单调性与它在[-b,-a]上的单调性相反．
⑵利用奇函数、偶函数的性质求函数的解析式或某一函数值等．
[例如]已知f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5,其中a,b,c,d为常数，若f(-7)=-7，求f(7).
[解] 设g(x)=ax7+bx5+cx3+dx,则g(x)为奇函数.
由f(x)=g(x)+5 ①
得f(-x)=g(-x)+5=-g(x)+5 ②
①+②且x换为7得f(7)+f(-7)=10 f(7)=17
4、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
有时可直接根据函数的图象的对称性来判断函数的奇偶性．
有时可根据奇、偶函数图象的对称性，简化作图过程．
[例如]作出函数y=x2-2∣x∣-3的图象．
解：由题意得 y= x2-2x-3,x≥0
x2+2x-3,x<0
因函数y=x2-2∣x∣-3为偶函数，故只需作出y=x2-2x-3(x≥0)的图象，然后依据对称性便可作出另一半图象（图略）．
发展级
5、奇偶性与单调性在不等式中的运用，以及与抽象函数的综合是近年的热点题型．
[例如]已知：函数f(x)定义在R上，对任意x,y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
⑴求证：f(0)=1；⑵求证：y=f(x)是偶函数；
[解]⑴由题意，f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),令x=y=o,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),即f2(0)=f(0)∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
⑵令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),∴f(-y)=f(y).∴函数y=f(x)是偶函数.
应用链接
基础级
【例1】判断下列函数的奇偶性f(x)=.
提示 要判断一个函数的奇偶性，应当先考察这个函数的定义域，如果该定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数又非偶函数；如果该定义域关于原点对称，那么再用定义法检验其奇偶性．
解析 函数定义域为[-1，0]∪（0，1），在定义域内，原函数可化为：f(x)=，显然f(-x)=- f(x)，∴f(x)是奇函数．
点悟 如不先求定义域，而按以下判断：f(-x)==≠±f(x),就将得出f(x)是非奇非偶函数的错误结论．
【例2】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为（ ）
A.-x(x-2) B.x(∣x∣-2) C.∣x∣(x-2) D.∣x∣(∣x∣-2)
提示 f(x)是分段函数，可用奇函数的对称性求其解析式．
解析 设x<0,则-x>0.∵f(x)为奇函数，∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.
∴f(x)= x2-2x, (x≥0)
-x2-2x, (x<0)
即f(x)=x(∣x∣-2)，故选B．
点悟 充分利用奇函数的性质是解题关键．
【例3】定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=，试确定常数m,n的值．
提示 利用奇函数的必要条件f(0)=0可简化解题过程．
解析 ∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0,可得m=0.
又∵f(-x)+f(x)=0, ∴=0,
即x2-nx+1=x2+nx+1,2nx=0. ∵x∈(-1,1),∴n=0.
点悟 解此类题的实质还是待定系数法．
【例4】已知函数f(x)=,g(x)=.
⑴证明f(x)是奇函数；并求f(x)的单调区间．
⑵分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，并由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的、对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
提示 对于（1）用定义法求单调区间，并用对称性简化运算过程．对于（2）可从22=4，32=9寻找规律．
解析 ⑴∵函数f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，又
, ∴f(x)是奇函数.
设x1∵<0,1+>0∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增.
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增.
⑵计算得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0，由此概括出对所有不等于零的实数x有
f(x2)-5f(x)g(x)=0. 事实上，有
f(x2)-5f(x)g(x)==0.
点悟 由简到繁、由特殊到一般是发现规律的常用方法．
【例5】判断下列函数是否具有奇偶性：
⑴ ⑵ ⑶f(x)=a (a∈R)
⑷ ⑸
⑹f(x)=(1+x)3-3(1+x2)+2
⑺ ⑻
提示 判断函数的奇偶性的一般步骤：
一、首先考察函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，那么该函数一定是非奇非偶函数，若关于原点对称，再用定义法进行验证；
二、对于定义域内的任意x，f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0偶函数，
f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0奇函数.
解析 ⑴函数定义域为{1,-1},由定义域知:f(x)=0,∴f(-x)=-f(x)=0,∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
⑵函数定义域为{1},不关于原点或坐标轴对称,因此,函数既非奇函数又非偶函数.
⑶若a≠0,则f(x)为偶函数,若a=0,则f(x)既为奇函数又为偶函数.
⑷函数定义域为[-1,1),故f(x)是非奇非偶函数.
⑸定义域为{x∣x≠0},当x>0时,-x<0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1+x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).故f(x)是奇函数.
⑹f(x)的定义域为R,且f(x)=(1+x)3-3(1+x2)+2=x3+3x,∴f(-x)=-x3-3x=-f(x),故f(x)是奇函数.
⑺定义域∴定义域为[-1,0)∪(0,1]，且x+2>0，有.
∴∴f(x)为奇函数.
⑻提示：直接用f(-x)与f(x)作对比，不易发现二者的关系，但用作商比较法则较为明显．
,∴f(x)是奇函数.
点悟 ⑴函数若按奇偶性分类，可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数.既奇又偶函数的特征为f(x)=0.如⑴易得出“，∴f(x)是偶函数”的错误结论．
⑵在判断函数的奇偶性前，应依定义域将函数解析式化简，如⑹、⑵.
⑶对于型如的分段函数，要判定它的奇偶性，需要考虑
①当x<0时,f(-x)=g2(-x)与f(x)=g1(x)是否具有:g2(-x)=g1(x),还是有:g2(-x)=-g1(x);
②当x>0时,f(-x)=g1(-x)与f(x)=g2(x),是否具有：g1(-x)=g2(x),还是有:g1(-x)=-g2(x),
如果f(x)是奇函数，则还必须有：f(0)=0.
⑷对于函数的解析式含根式的，用f(-x)/f(x)等于1或-1判断奇偶性更方便.
【例6】⑴已知y=f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)=x2+2x，求y=f(x)的解析式；
⑵已知奇函数f(x)有最大值7，试问它有无最小值？若有，求出此最小值；
⑶定义在(-∞,+∞)上的奇函数f(x)在(-∞,0)上是增函数，求满足f(1-x)+f(1-x2)>0的x的集合．
提示 这是一组利用函数奇偶性来求解的问题，可从数、形两个不同的角度来分析．
⑴中要求y=f(x)的解析式，缺少的是当x≤0时,y=f(x)的解析式，又f(-x)=-f(x),x>0时,f(x)=x2+2x,
∴x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+2(-x)].又f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
⑵利用奇函数的图象关于原点对称这一性质，可知有最小值，不过，在具体解题过程中还是要用定义法求解；
⑶将奇偶性和单调性相结合,把已知条件中有关函数值的不等关系,转化到自变量的大小关系,于是问题可解.
解析 ⑴∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).①x=0时,f(0)=-f(0),f(0)=0;②x<0时-x>0,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+2(-x)]=-x2+2x.
综上可得,
⑵按奇函数的定义可知，若存在x1使得f(x1)=7,则必存在x2=-x1,使f(x2)=f(-x1)=-7.同时对于定义域内任一值x3,必有f(x3)>-7,否则若有f(x3)<-7,那么必有f(-x3)=-f(x3)>7,与题设不符，所以f(x)有最小值．
⑶∵f(x)是奇函数,∴f(1-x)+f(1-x2)>0,即f(1-x)>f(x2-1).∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,∴f(x)在(-∞,+∞)是增函数
∴x2-1<1-x,x2+x-2<0,-2点悟 ⑴本题的解法具有一般性，即充分利用函数的奇偶性，将未知区间的待求问题转化到已知区间上去，“桥梁”就是f(-x)=-f(x).又当f(0)有意义时，奇函数f(x)中f(0)=0,也可以由其图象关于原点对称而得到．
⑵利用图象的特征，先得出正确结论，在证明过程中，运用了反证法．当一个结论很明显成立时，却要给予证明，通常采用反证法，因为“先退一步，再往前进”，往往更有说服力．
⑶这也是一类较为典型的题目，其核心就是：先利用奇偶性，将条件化成标准的函数值大小关系，再利用单调性，将函数值的大小关系转化成自变量的大小关系．但这里要提醒的就是：要注意定义域的作用．
【例7】设函数f(x)对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0,f(1)=-2.
⑴求证：f(x)是奇函数；
⑵试问在-3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由；
⑶解关于x的不等式.
提示 ⑴f(x+y)=f(x)+f(y)对一切x,y∈R均成立，选择y=-x，则比较贴近奇函数，因此，先计算f(0)；（2）应考察函数的单调性，来确定是否存在最值；⑶仍然利用单调性，解不等式．
解析 ⑴令x=y=0,则有f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=2f(0).∴f(0)=0.令y=-x,
则有0=f(0)=f(x)+f(-x),∴f(x)为奇函数.
⑵任取x10.由题意,f(x2-x1)<0,
且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0
即f(x1)>f(x2).∴f(x)在R上为减函数.因此，f(3)为函数的最小值，f(-3)为函数的最大值，f(3)=f(1+1+1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.∴函数最大、最小值分别为6,-6.
⑶由题意，将不等式变形得
,
再由已知条件得，即f(bx2+2b)>f(b2x+2x). ∵f(x)在R上是减函数，∴bx2+2b即bx2-(b2+2)x+2b<0.
(ⅰ)由根与系数的关系知，方程bx2-(b2+2)x+2b=0两根为x1=b,x2=(b≠0)
且x1-x2==,如图2-18，若b<，则x1-x2<0，
原不等式的解为x>或xb或x<.
若0,则x1>x2,解为(ⅱ)当b=0时，易见原不等式解为x>0．
点悟 这是一道综合性较强的问题，⑴首先是采用“赋值法”得出f(x)是奇函数，这是一种较为常用的技巧，为什么会想到这样去做？可理解为“要证y=f(x)是奇函数f(-x)=-f(x)从形式上可看出：只与x和-x有关，所以想到把式中的y去掉，且同时要出现x和-x,这样令y=-x就不难理解．⑵本题中f(x)是抽象函数，不可能当-3≤x≤3时，具体地解决最值问题，因此考虑到将问题转化成“能否利用单调性来解决呢？”但在具体解决单调性的过程中，要特别注重条件“f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0”与问题“f(x1)-f(x2)”之间的联系，当然除例题中的证法外，还可以考虑利用f(x+y)-f(x)=f(y)来解．本题第⑶问较难，它有两个难点：一是去掉“f”这一对应法则符号，需要由单调性知识解决；二是含字母的不等式bx2-(b2+2)x+2b<0,需对x2系数b进行讨论，这里要用到分类讨论的方法．
【例8】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0时，有
成立．
⑴判断f(x)在[-1,1]上的单调性，并给出证明；
⑵解不等式；
⑶若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
提示 此题同例7相似，也是有关单调性、奇偶性相结合的综合题．
根据定义，任取-1≤x1⑵在明确⑴的结论以后，要想从函数值的大小关系，转化到自变量x的不等关系，很自然想到利用单调性，但一定要注意定义域，否则很容易出错；
⑶涉及到恒成立问题，由于不等式右边与x无关，所以将问题转化成
“当x∈[-1,1]时,m2-2am+1≥f(x)max”，而f(x)max可利用单调性和f(1)=1来解决．
解析 ⑴任取x1,x2∈[-1,1],且x1f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=,
由已知>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)在[-1,1]上单调递增．
⑵由⑴结论得： ∴
⑶∵f(1)=1，又f(x)在[-1,1]上单调递增．
因此，在[-1,1]上,f(x)≤1．
问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0对a∈[-1,1]恒成立．
设g(a)=-2ma+m2≥0.
①若m=0,则g(a)=0≥0,自然对a∈[-1,1]恒成立；
②若m≠0,则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0,对a∈[-1,1]恒成立,必须g(-1)≥0,
且g(1)≥0,
∴m≤-2,或m≥2.∴m的取值范围是m=0或∣m∣≥2.
点悟 从整个问题来看⑴是关键，而且这一过程中的变形技巧值得大家深思，要透彻理解题意，开拓解题思路；至于⑵和⑶实际上是有关单调性的应用，确定f(x)≤1排除了解题过程中的重要障碍，又构造一次函数g(a),这是此题的又一个技巧，当然问题⑶还可以把m2-2am+1≥1变形为m2≥2am,然后对m的符号进行讨论，采用分离变量法来解，有兴趣的读者不妨一试．
课本习题解读
练习巩固
基础级

1、是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)（ ）
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
2、设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞]时，，那么当x∈(-∞,0)时，f(x)为 （ ）
A. B. C. D.
3、设函数f(x)在(0,2)上是增函数，函数f(x+2)是偶函数，则f(1)、、的大小关系是 .
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x=2对称，已知x∈[-2,2]时，函数f(x)=-x2+1，则x∈[-6,-2]时，f(x)= .
5、判断下列函数是否具有奇偶性.
⑴f(x)=x4-x-2+2；⑵；⑶；⑷
6、奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数，且f(1+a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范围．
7、已知f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)=af(x)+bg(x)+2，在区间(0,+∞)上的最大值为5，求F(x)在(-∞,0)上的最小值．
8、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，且对任意x1,x2∈[0,]都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
⑴设f(1)=2，求；⑵证明f(x+2)= f(x)，x(R．
发展级
9、判断下列函数的奇偶性：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
10、⑴已知偶函数f(x)的定义域是(-∞,+∞)，当x≥0时，f(x)=x2+3x-1，求f(x)的解析式；
⑵已知奇函数f(x)的定义域是(-∞,+∞)，当x≤0时，f(x)=x2+3∣x∣，求f(x)的解析式．
11、定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+∞]的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：
⑴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ⑵f(b)-f(-a) ⑶f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);⑷f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a). 其中成立的是 ．
A.⑴与⑷ B.⑵与⑶ C.⑴与⑶ D.⑵与⑷
12、若y=f(x+a)为偶函数，则曲线y=f(x)关于 对称．
13、若函数y=f(x)满足对一切实数x,y总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)(0，
求证f(x)为偶函数．
14、若对于一切实数x总有f(10+x)=f(10-x)且f(20+x)=-f(20-x),
求证函数y=f(x)的图象关于原点对称．
15、设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增，且有f(2a2+a+1)求a的取值范围．
16、已知函数f(x)的定义域为(-1,1),f(x)是奇函数，且f(x)在(0,1)上单调递增．
⑴求函数在(-1,1)上的单调性；
⑵若 f(1-a)+f(1-a2)>0，那么，实数a的取值范围是什么？
17、定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减，若g(1-m)
参考答案
基础级
1、A 2、D 3、5、⑴∵f(x)的定义域为{x∣x∈R且x≠0},又f(-x)=(-x)4-(-x)-2+2=x4-x-2+2=f(x),
∴f(x)=f(x)=x4-x-2+2是偶函数.
⑵∵f(x)的定义域为R,
又f(-x)+f(x)=.
即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数
⑶∵f(x)的定义域为R,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1=-f(x);当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=1-(-x)2=1-x2=-f(x);当x=0时,f(-x)=1=f(x).∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
另解：函数f(x)图象如图所示，
关于原点或y轴都不对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
⑷∵f(x)的定义域为{x∣x∈R且x≠0}又
f(x)==f1(x)-f1(-x).
∴f(-x)=f1(-x)-f1(x)=-f(x),即f(x)是奇函数
6、-17、-1
发展级
8、⑴由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2), x1,x2∈[0,]知f(x)=≥0,x∈[0,1].
∵f(1)= =[]2,∴=.同理=[]2,∴
⑵依题设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,∴f(-x)=f(2-x),x∈R,将上式中-x以x代换，得f(x)=f(x+2),x∈R．
9、⑴f(x)的定义域是{-9,9},且f(-9)=f(9)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数；
⑵f(x)的定义域是(-∞,-1]∪(1,+∞),关于原点不对称，故f(x)既非奇函数也非偶函数；
⑶当x≥0时,f(x)=1+2x,f(-x)=1+2x,f(x)=f(-x);当x<0时,f(x)=1-2x,f(-x)=1-2x,f(x)=f(-x)也成立，故f(x)是偶函数；
⑷∵f(x)的定义域是R,又当x<0时-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)-5=x2+2x-5=-(-x2-2x+5)=-f(x)
当x=0时,f(-x)=f(0)=0=-f(0).当x>0时,-x<0.∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)+5=-(x2-2x-5)=-f(x)
综上可得f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数．
10、⑴f(x)=x2+3x-1,x∈[0,+∞）的图象关于y轴的对称图形的解析式是y=(-x)2+3(-x)-1,
x∈(-∞,0],
∴f(x)= x2+3x-1(x≥0),
x2-3x-1(x<0).
⑵f(x)=x2-3∣x∣,x∈(-∞,0)的图象关于原点的对称图形的解析式是
y=-[(-x)2-3∣-x∣]=-x2+3x,x∈[0,+∞)
∴f(x)= -x2+3x(x≥0),
x2+3x(x<0).
注意本题解法可归纳如下：从偶函数在一个半轴上的解析式f(x)，(x∈[0,+∞)
或 x∈(-∞,0）可得到另一半轴上的解析式f(-x)，(x∈(-∞,0)或x∈[0,+∞)),
在奇函数那里则是从f(x)变为-f(-x).
11、选C. 提示：利用特殊化思想，取f(x)=x,g(x)=∣x∣,代入验证，即得.
12、∵y=f(x)是由y=f(x+a)中的x用x-a代入而得，∴y=f(x)的图象是由曲线y=f(x+a)右移a个单位而得，∵曲线y=f(x+a)的对称轴为x=0，∴曲线y=f(x)关于直线x=a对称．
13、由题意取x=y=0时,2f(0)=2f2(0),∵f(0)(0,∴f(0)=1．再取x=0，则对于一切y(R有
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),∴f(-y)=f(y),从而知f(x)为偶函数．
14、∵f(10+x)=f(10-x)( f(x) =f(20-x)( f(-x)= f(20+x),∴f(-x)= -f(x)，∴f(x)为奇函数，从而知y=f(x)的图象关于原点对称．
15、由f(x)是R上的偶函数在区间(-∞,0)上递增，可知f(x)在(0,+∞)上递减.
∵2a2+a+1=,3a2-2a+1=,且f(2a2+a+1) ∴2a2+a+1>3a2-2a+1,即a2-3a<0.解之得016、提示：⑴讨论函数的单调性，亦即证明函数在某一区间上的单调性，结论必须由自己确定，题目本身没有给出，因此，这类问题必须遵循严格的代数推理论证．
⑵由抽象函数的范围求参数a的取值范围是常见题型，较为常用的方法是，将原不等式变形后利用函数单调性，将函数符号去掉，再解得到的不等式．
解析：⑴任取-1-x1>-x2>0.∵f(x)在(0,1)上单调递增,∴f(-x1)>f(-x2).又f(x)是奇函数,
∴-f(x1)>-f(x2), 即f(x1) 设任意-1故f(x1) ⑵由题意知f(1-a2)>-f(1-a).∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)> f(1-a).
由定义域及单调性，得 –1<1-a2<1 0 -1 1-a2>a-1 a2+a-2<0
综上，a的范围是(0,1).
17、本题若将1-m,m同时[0,2],[-2,0]以及分别在[0,2],[-2,0]来讨论，也可以求解，此时须借助于偶函数的性质：g(x)在[0,2]上单调递减，则它在[-2,0]上单调递增．但若注意到g(-x)=g(x),利用g(x)=g(∣x∣),则可把变量转化到已知的单调区间，避免繁琐的讨论，减少运算量．
∵g(1-m)又x≥0时,g(x)单调递减，∴ ∣m∣≥0
∣1-m∣>∣m∣,
∣1-m∣≤2
解得-1≤m≤.故所求m的取值范围是[-1,).
课本习题解读
知能结合
1．课标要求
1. 集合的含义与表示
通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
2. 集合间的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
在具体情境中，了解全集与空集的含义。
3. 集合的基本运算
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念作用。
4. 函数及其表示
进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
通过具体实例了解简单的分段函数，并能简单应用。
5.函数的性质
理解函数的单调性、最大（小）值及其集合意义；结合具体函数了解奇偶性的含义。
能运用函数图象理解和研究函数的性质。
6. 了解17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例。
2．网络结构
综合链接
基础级
[例1]下面有四个命题
⑴地球周围的行星能确定一个集合；
⑵实数中有理数的所有的全体能确定一个集合；
⑶{(}中没有任何元素；
⑷{1，2，3}与{1，3，2}是不同集合；
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提示 ⑴是错误的，因为“周围”是个模糊的概念，随便找一颗行星无法判断是否属于地球的周围，
因此它不满足集合元素的确定性。
⑵是正确的，虽然满足条件的数有无数多个，但任何一个元素都能判断出来是否属于这个集合。
⑶是错误的。集合的定义是把某些指定的对象集在一起，而这个“对象”可以是数字、人、图形等等，当然也可以是集合，而{(}这个集合中只有一个元素是“(”，因此它不是空集，而是由集合作为元素的一个单元素集。
⑷是错误的，因为集合中元素是无序的。
解答 故本题应选B。
点悟 我们要深刻理解集合的概念和集合中元素的三条性质。

[例2] 设A={x–2,2x2+5x,12}，已知–3(A，求x。
提示 –3(A说明集合A中x–2=–3或2x2+5x=–3，因此要用分类讨论的数学思想。
解析 由题意可知：x–2=–3或2x2+5x=–3。
①当x–2=–3时，x=–1，
把x=–1代入集合A中，x–2=2x2+5x不满足集合元素的互异性，故舍去。
②当2x2+5x=–3时，x=–1或x=–，将x=–代入A中满足。
∴x=–。
点悟 解此类题目旧地，一定要检验是否满足集合元素的互异性。

[例3] 已知集合T是方程x2+px+q=0（p2–4q>0）的解集，A={1，3，5，7，9}，B={1，4，7，10}，且T∩A=(，T∩B=T，试求p、q的值。
提示 此题关键是把“T∩A=(”、“ T∩B=T”这两个条件弄明白，T∩A=(，即A中元素都不是方程的根，T∩B=T，说明T(B，即方程的解是B中的元素。
解析 由△=p2–4q>0知T((。
∵T∩A=(，∴1，3，5，7，9(T。
又∵T∩B=T，∴T(B，∴T={4，10}。
∴x2+px+q=0的两根为4和10。
由韦达定理知：p=–(4+10)=–14，q=4×10=40。
点悟 把两个条件结合起来可求出方程的根，再根据韦达定理求解较为便捷。
【例4】 下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是 （ ）
A．f(x)=x，g(x)=()2 B．f(x)=1，g(x)=x0
C．f(x)=|x|，g(x)= D．f(x)=|x|，g(x)=
提示 看每组给出的两个函数是否是同一函数.
解析 A：f(x)=x的定义域为R ，g(x)=()2的定义域为{x|x≥0}；B：f(x)=1的定义域为R，g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}；C：f(x)=|x|的定义域为R，g(x)==|x|的定义域为R；D：g(x) .的定义域为{x|x≠0}.故选C.
点悟 如果两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数是同一函数；如果两个函数的定义域和值域相同，这两个函数不一定是同一函数.
【例5】 （1）若函数y= f(2x＋1)的定义域为[ 1，2 ]，求f (x)的定义域.
（2）已知函数f(x)的定义域为［－，］，求函数g(x)=f(3x)＋f()的定义域.
提示 f(2x＋1)的定义域为[1，2]是指x的取值范围是[1，2]，f(3x)＋f()中的x的范围是［－，］.
解析（１）∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，∴3≤2x+1≤5，∴f(x)的定义域为[3，5].
（２）∵f(x)定义域是［－，］，∴g(x)中的x必需满足
∴-≤x≤.∴g(x)的定义域为［－］.
点悟 分清楚题中所给范围的含义和适用范围是关键。.
【例6】 （1）已知f ()=，求f(x)的解析式.
（2）已知y=f(x)是一次函数，且有f [f(x)]=9x＋8，求此一次函数的解析式.
提示 (1)用换元法；（2）用待定系数法.
解析（１）设(x≠0且x≠1)
（２）设f(x)=ax＋b，则f[f(x)]=af(x)＋b=a(ax＋b)＋b=a2x＋ab＋b=9x＋8
点悟 如果两个式子在变量取定义域内的任意实数时都相等，则这两个式子的对应项的系数都相等.
【例7】 已知函数(x)=f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且()=16，(1)=8．
（1）求(x)的解析式，并指出定义域；
（2）求(x)的值域.
提示 设f(x)=ax，g(x)=，a、b为比例常数
解析 (1)设f(x)=ax，g(x)=，a、b为比例常数，则(x)=f(x)＋g(x)=ax＋
由，解得
∴(x)=3x＋，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)由y =3x＋，?得3x2－yx＋5=0(x≠0)
∵x∈R且x≠0，?∴Δ=y2－60≥0，∴y≥2或y≤－2
∴(x) 的值域为(－∞，－2∪［2，＋∞
点悟 待定系数法是求函数解析式的常用方法；用判别式法求函数值域时，往往要注意函数的定义域.
【例8】 设函数．求函数在上的单调增区间，并证明之.
提示 设00对任意x1，x2都成立时，必须有x1，x2都属于区间，+().
解析 在区间(0，上是单调减函数，在区间，+()是单调增函数.
证明：设0∵01，∴(1-?)<0，∴f(x1)- f(x2)>0，
∴在区间(0，上是单调减函数，同理可证在区间，+()是单调增函数.
点悟 对于型的函数，在区间(-(，-，，+()上是单调增函数，在区间-，0)，(0，上是单调减函数.
【例9】 等腰梯形ABCD 下底AB＝10，上底DC＝4，两腰AD＝BC＝5，动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动，设P 点移动的距离为x，△ABP 的面积为y，求函数y＝f（x）．
提示 根据P点的位置确定△ABP 的面积.
解析 如图，可知等腰梯形的高为4，
当P 点在BC上运动到P1位置时，△AP1B的高P1H1＝．
∴ 此时＝×10×；
当P点在CD上时，＝h×AB＝×4×10＝20，
当P 点运动到DA上的P3位置时，△AP3B的高P3H3满足：＝，
此时＝×10×.
∴ y＝
点悟 画图，利用图形思考，是一项基本功．本题运用的分类讨论思想，数形结合思想是中学数学中重要的思想方法．
【例10】 已知函数f(x)=，x∈[1，＋∞
（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；
（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
提示 运用型函数单调性解题.
解析 (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈[1，＋∞)
设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)
∵x2＞x1≥1，?∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)
可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．
(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立
设y=x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．
点悟 f(x)≥a恒成立是指 f(x)的最小值≥a，f(x)≤a恒成立是指 f(x)的最大值≤a.
发展级
[例11] 已知A={x(R|x2–2(p+2)x+p2=0}且A∩R+=(，求实数P的取值范围。
提示 此题A∩R+=(的题意为x2–2(p+2)x+p2=0没有正实根，因此主要考察一元二次方程的知识，但A∩R+=(这种说法一定要熟悉并能够学会应用。
解析 方程x2–2(p+2)x+p2=0，
△=[–2(p+2)]2–4p2=16(p+1)。
⑴若△<0，则A=(，A∩R+=(，此时p<–1；
⑵若△≥0，则p≥–1，此时设x1、x2为x2–2(p+2)x+p2=0的两个实根，∵A∩R+=(，∴x1<0，x2<0，
从而  即  。
∴p<–2与p≥–1矛盾，舍去。
∴p的取值范围是{p|p<–1}。
点悟 不能忽略A=(的情况。
【例12】设是定义在[-1，1]上的偶函数，与的图象关于直线对称.且当时，
（1）求函数的表达式；
（2）在或的情况下，分别讨论函数的最大值，并指出为何值时，的图像的最高点恰好落在直线上.
提示 注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求.
解析 （1）当时，，由于与的图象关于直线对称，所以，
当时，，由为偶函数，可知：
所以，
（2）因为为偶函数，所以，（）的最大值，必等于在区间上的最大值.故只需考虑的情形，此时，.
对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性.因此，我们不妨在区间上任取，设，则

如果，则，故<0，即在区间上单调递增.所以，的最大值在取得，为.
令=12可解得：
如果，则的符号不能确定，为确定的单调区间，可令<0
由于，要使上式成立，只需：，即，由此我们不难得知：
在区间上单调递增，在区间上单调递减.（证明略）
所以，在区间上的最大值为.
令=12，解之得：，与 矛盾.
综上可知：当时，的最大值为，当时，的最大值为.
并且，当时，函数的图像的最高点恰好落在直线上.
点悟 奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上.
【例12】函数对任意的m，n∈R都有，并且当x＞0时，.
（1）求证：在R上是增函数；
（2）若，解不等式.
提示 ；在解决(2)时先找一个数a，使f(a)＝2.
解析 （1）证明：设，且，则，
而
，∴是增函数.
（2）解：，
∴，∴， ∴原不等式即，
是R上的增函数，∴解得－3＜a＜2.
点悟 是在某些特殊情况下证明函数单调性的重要技巧；在解形如f[g(x)]k的不等式时，经常先找一个常数a，使使f(a)=k，再利用f(x)的单调性得到g(x)与a的大小关系，从而由g(x)>a或g(x)练习巩固
一、选择题
1．设A={x|x是直角三角形}，B={x|x是等腰三角形}，则A∩B=（ ）
A．( B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
2．已知U=R，M={x|x2–4x+4>0}，则CuM=（ ）
A．R B．( C．{2} D．{0}
3．设全集为R，集合M={x|x≤0}，N={x|x>2}，则集合Cu(M∪N)=（ ）
A．{x|x≤0或x>2} B．{x|04．设不等式|x–2|<1的解集为A，不等式|2x–3|>1的解集为B，则A∩B=（ ）
A．{x|12} D．{x|25．集合A={x|≤0}，B={x|x≤a}若A∩B(，则实数a满足（ ）
A．a<3 B．a≥–3 C．a≥–2 D．–2≤a<3
6．下列四个命题中，⑴A∩B=A ⑵A∪B=B ⑶A∩(CuB) ⑷A∪B=U。与命题A(B等价的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．集合A={x|x=2k，k(Z}，B={x|x=2k+1，k(Z}，C={x|x=4k+1，k(Z}，又a(A，b(B，则有（ ）
A．a+b(A B．a+b(B
C．a+b(C D．a+b不属于A、B、C中任何一个
8．同时满足：⑴M({1,2,3,4,5}，⑵a(M，则6–a(M的非空集合M有（ ）个
A．16 B．15 C．7 D．6
二、填空题
9．A={x|x(R且x(Q}，下列实数：–，，(，–0.101010…，，，cos60(中，集合A中的元素是 ．
10．设({x|x2–ax–=0}，则集合{x|x2–x–a=0}中所有元素的积为 ．
11．设x，y，z都是非零实数，试用列举法把M=++++的可能取值所组成的集合表示出来是 ．
三、解答题
12．已知集合A={1,3,x}，B={1,x2}，若B∪(CuB)=A，求x。
13．已知全集U=R，A={x|ax2+bx–6>0}，B={x|ax+b+c>0}，若A={A|214．设U={2,3,a2+2a–3}，A={b,2}，CuA={5}，求实数a和b的值。
15．某班级共50名学生，报名参加数学小组的占全班学生的，参加英语小组的比参加数学小组的多3人，两科均不参加的人数比两科都参加的人数的多1人，求两科均参加的人数。
亮点题粹
例1 下列表达是否正确，说明理由。
⑴Z={全体实数}；
⑵R={实数集}={R}；
⑶{(1,2)}={1,2}；
⑷{1,2}={2,1}。
亮点： 有利于对集合的有关概念进行深刻理解。
解析： ⑴不正确，应写成Z={整数}。
⑵不正确，本题的正确写法是：R={实数}，而{R}表示以实数集为元素的集合，它与R的关系为是
R({R}，用{R}表示实数集是不对的。
⑶不正确，集合{(1,2)}表示直角坐标平面中的一点{1,2}，而{1,2}是数1，2的集合，它们是不
可能相等的。
⑷正确，根据集合中元素的无序性，可知{1,2}={2,1}。
联想： 对集合符号的正确理解，是判断⑴和⑵结论的依据，集合符号“{ }”已包含“所有”的意思；
“{ }”就是集合的符号，因而大括号内的文字描述，不应再用“全体”、“所有”、“全部”或“集”
等述语。对于⑶，主要是要分清集合元素的特征，前者是以实数对作为元素，而后者是以实数作
为元素，且前者是集合中只含有一个元素，后者是两个元素的集合。解答⑷，主要是利用集合中
元素的特性。
例2 设集合A={a|a=n2+1，n(N}，集合B={b|b=k2–4k+5，k(N}。若a(A，试判断a与集合B的关系。
亮点： 判断一对象a与集合B的关系，即判断“属于”和“不属于”的关系，“a(A”，则a可写成“n2+1，n(N”的形式；判断a是否属于集合B，则看a是否可表示成“k2–4k+5，k(N”的形式。
解析： ∵a(A，
∴a=n2+1=(n2+4n+4)–4(n+2)+5=(n+2)2–4(n+2)+5，
∵n(N ∴n+2(N ∴a(B。
联想： 在a(A的条件下，判断A是否属于集合B的过程中，关键是先要“变”（或“凑”）形式，即由“n2+1”向“k2–4k+5”的形式变化，然后再判断。
例3 已知集合A={x(R|mx2–2x+3=0，m(R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围。
亮点： 讨论方程实数根的情况，从而确定实数m的取值范围。
解析： ⑴当m=0时，原方程为–2x+3=0，x=，符合题意。
⑵当m(0时，方程mx2–2x+3=0为一元二次方程。由△=4–12m≤0得m≥，即当m≥时方程mx2–2x+3=0元实数根或有两个相等的实数根，符合题意。由⑴、⑵知m=0或m≥。
联想： 此题容易漏解m=0。漏解的原因是默认所给的方程是一元二次方程。排除此类问题障碍的办法是对m进行讨论。当m=0时，它是一个一元一次方程；当m(0时，它是一个一元二次方程，也只有此时才能用根的判别式解决问题。
例4 已知集合M满足{1，2}(M({1,2,3,4,5}，则这样的集合M有多少个？
亮点： 由已知集合M中的元素至少含有1，2，至多含有1，2，3，4，5，故要求满足条件的集合的个数，只要求集合{3,4,5}的子集的个数。
解析： 因集合{3,4,5}的子集有(，{5}，{4}，{3}，{3,4}，{4,5}，{3,5}，{3,4,5}共有八个，故满足条件的集合M有8个。
联想： 此题易得出错误答案：7个，要注意n个元素的集合的子集共有2n个，其中包含(和其本身这两个特殊的子集。
例5 设全集U={2,3,a2+2a–3}，A={|2a–1|}，CuA={5}，求实数a的值。
亮点： CuA={5}包含了两层含义：5(U，5(A这样解题的方法就在眼前了。
解析： ∵CuA={5}，∴5(U，5(A。∴a2+2a–3=5，解得a=2或a=–4。当a=2时，|2a–1|=3(5；
当a=–4时，|2a–1|=9(5，但9(U，所以a的值为2。
联想： 本题在由CuA={5}求得a=2或a=–4之后，验证其是否符合隐含条件A(U是必要的。否则就会把a=–4误认为本题的答案了。集合是一种数学语言，如果不能从这种语言中破译出它的全部意义，那么就会造成各种各样的错误。明白了这一点，你大概也就会抓住“集合”这一节学习的要求了。
例6 设集合A={x||x–a|<2}，B={x|<1}，若A(B，求实数a的取值范围。
亮点： 化简集合A、B，利用数轴作图，比较得解。
解析： 由已知得A={x|a–2联想： 根据问题的实际，画出数轴图，是解好本题的重要一环。
例7 已知集合A={(x,y)|x2–y2–y=0}，B={(x,y)|x2–xy–2y2 =0}，C={(x,y)|x–2y =0}，D={(x,y)|x+y=0}。
⑴判断B、C、D间的关系；
⑵求A∩B。
亮点： 问题中的集合C、D的意义比较明确，它们可以分别看做是方程x–2y=0和x+y=0上的点集，所以要判断B、C、D间的关系，需要将集合B变换形式，明确意义，即将x2–xy–2y2=0进行化简转换，看与x–2y=0和x+y=0的关系，对于第⑵问要求A∩B，从代数的角度看，即解方程组 ．
解析： ⑴∵x2–xy–2y2=(x–2y)(x+y) ∴B={(x,y)|x2–xy–2y2 =0}=B={(x,y)|(x–2y)(x+y)=0}={(x,y)|x–2y=0或x+y=0}={(x,y)|x–2y=0}∪{(x,y)|x+y=0}=C∪D；
⑵A∩B={(x,y)|}={(x,y)|}={(x,y)|或}
={(x,y)|}∪{(x,y)|}={(,),(–2,–1)}∪{(4,–4)}={(,),(–2,–1),(4,–4)}．
联想： 解集合问题，不仅仅是运用集合语言，更重要的是明确集合语言所蕴含的真实的数学含义，在集合语言的转换过程中，实质就是在进行数学问题的等价转换，向着我们熟悉的能够解决的问题转化。
本章检测与评价
一、选择题
1． 已知集合M、N和全集S，对图中阴影部分所表示的集合做如下结论：
①Cs(M∩N)
②Cs(M∪N)∪(M∩N)
③(M∩CsN)∪(CsM∩N)
④(M∩CsN)∩(CsM∩N)
其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．① D．①③
2．集合A={x|x2–px+15=0，x(Z}，B={x|x2–5x+q=0，x(Z}，若A∪B={2，3，5}，则A、B依次是（ ）
A．{3,5},{2,3} B．{2,3},{3,5} C．{2,5},{3,5} D．{3,5},{2,5}
3．设全集U=N*，A={2n|n(N*}，B={4n|n(N*}，则集合N*可以表示为（ ）
A．A∩B B．(CuA)∪B C．A∪(CuB) D．(CuA)∪(CuB)
4．设A、B为全集U的子集，则集合{x|x(A，且x(B}等于（ ）
A．A∩(CuB) B．(CuA)∩B C．A∪(CuB) D．(CuA)∪B
5．经统计知，某村有电话的家庭35家，有农用三轮车的家庭65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
6．集合M和N中含有的元素个数相等，且M∪N={a,b,c,d}，则M的不同构成方法有（ ）
A．3 B．6 C．10 D．11
7．设全集I={(x,y)|x,y(R}，集合M=,N={(x,y)|y(x+1}，那么(CiM)∩(CiN)等于（ ）
A．( B．{(2,3)} C．(2,3) D．{(x,y)|y=x+1}
8．已知U为全集，集合M、NU，若M∩N=N，则（ ）
A．CuM(CuN B．M(CuN C．CuM(CuN D．M(CuN
二、填空题
9．已知A、B是两个非空集合，A∩B=(，设M={A的真子集}，N={B的真子集}，则M∩N= ．
10．若A={x|f (x)>0}，B={x|f (x)<0}，C={x|g (x)>0}，D={x|g (x)<0}，则f (x)g (x)<0的解集是 ．
11．如图，用集合表示图中阴影部分为 ．
12．U={实数对(x,y)}，A=，B={(x,y)|y=3x–2}，则(CuA)∩B= ．
三、解答题
13．设集合A、B是全集S={1,2,3,4}的子集，若(CsA)∩B={1}，A∩B={3}，(CsA)∩(CsB)={2}，求A、B。
14．设A是数集，满足a(A时，必有(A，若2(A，问：
⑴A中至少有几个元素？并把它们列举出来。
⑵A中还可以有其他元素么？
⑶若A中只能有一个元素且2(A，实数a是否存在？
15．已知集合A={x|x2–ax+a2–19=0}，B={x|x2–5x+6=0}，C={x|=}，且A∩B((，A∩C=(，求a的值。
16．若A={x|x2+px+q=0}，B={x|x2–3x+2=0}，A∪B=B，求实数p，q 满足的条件。
本章参考答案与提示
练习巩固（1.1-1）
一、选择题：
C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线。
B 提示：因为集合M和集合N都是由2、3这两个数字组成的集合，而集合里元素的排列顺序不固定，即无序性，故M、N表示相同．
C 提示：∵n(N*，x=((1)n，只有1与(1两个值；3x+2y=16的正整数解只有两组：，．
D 提示：因为的解为:.写成集合的形式为{（x，y）| （2，1）}
B 提示：是 中的元素
B 提示：x从0开始取自然数，同时保证8-x也是自然数。
C 提示：画出二次函数的图象即可观察出结论．
A 提示：由逻辑推理必在A或D中选，用特值法即可.
A 提示：①{(}是单元集，不是空集，故①不真；②{0}是含有元素0的单元集，也不是空集，故②也不真；③不真；④∵是单元集而不是二元集，故（4）也不真．综上可知选A．
二、
10.
11. （1）1是单位，既非合数又非质数，故1({质数}.
（2）161=7×23，故161({合数}.
（3）故(.
（4）x2-2000x+1999=(x-1)(x-1999),故1999({方程x2-2000x+1999=0的解}.
（5）( ( (
（6）( ( (
（7）( (
12. 提示：由题意知是的一个根，所以，，所以a=.
13. B 提示：因为A是偶数集，B是奇数集，∴a+b是奇数，即a+b(B.
14. {5, -5, 10, -10, 15, -15, 20, -20}
15.
16.
17.
18. 元素之和为 提示：∵
∴有
解得，以此代入得
.由韦达定理x1+x2=,
x1+x2即为集合中的所有元素的和．
19．{(1，7} 提示：①当x、y、z均为正时，其值为7；
②当x、y、z中有两个为正、一个为负时，其值为(1；
③当x、y、z中有一个正、两个为负时，其值为(1；
④当x、y、z全为负时，其值为(1．
所以的所有可能的值仅有(1和7两个，故所求的集合为{(1，7}．
20．a2001+b2002= (1 提示：由题意或，由（1）得，而不符合集合元素的互异性．由（2）亦有舍去，故有
21.4 提示： 注意到长为1的边可为底也可为腰，40(的角可为顶角也可为底角，故符合要求的等腰三角形有4个.
三、
（4），（5）
23.{0，6，14，21}
24.{-7，-1，1，2，3，4}
25. 解：令，，其中a1，b1，a2，b2均为整数，则：
x+y=(a1+a2)+(b1+b2),且a1+a2(Z，b1+b2(Z，∴x+y(M．
x(y=(a1(a2)+(b1(b2),且a1(a2(Z，b1(b2(Z，∴x(y(M．
xy=(a1a2+5b1b2)+(a1b2+b1a2)，且a1a2+5b1b2(Z,a1b2+b1a2(Z，∴xy(M．
，可能属于M，也可能不属于M．
26. 解：∵-3({a2-2a-3, 2a2-a-4, a2+1}∴a2-2a-3=-3 或2a2-a-4=-3,∴a=0,2,1, .经检验a=0,2,1, 均合题意。∴a的值构成的集合为{0，2，1，}
27.
28.解：;
;
∴符合题意的值应为.
29.解： 当a=0时，原方程即2x+1=0,有一解x=; 当a(0时，为使原方程有两个相等的解，必须Δ=4-4a=0,得a=1.故a=0或1.
30. 解：（1）因为大于且小于或等于10的实数有无穷多，所以集合A是无限集.
（2）∵<0,∴.
故.
（3）∵故.
31. 解:（1）为使方程只有一个根，须a=0，解为或a(0，△=4(4a=0，即a=1时，解为x= (1（重根）
（2）A中只有一个元素时，已求得a=0或a=1；A中没有元素时，a(0，由△<0得a>1，故所求a的取值范围是a≥1或a=0．
练习巩固（1.1-2）
一、选择题
1．A
2．D
3．C 提示：因为N是自然数集；Q是有理数集，N+是正整数集，Z是整数集，故有：N(N+不正确．
4．A 提示：因为0<，即0(M，所以①③均不正确，又因为≤，故④也不正确，只有②正确，所以选A．
5．C 提示：因为y=(x–1)2–2≥–2所以M={y|y≥–2}，又因N={x|–2≤x≤4}，∴NM．
6．D
二、
7．{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}
8．{p|p≥4}
9．(，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}
10．“” 提示：因为N=(．
11．{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{0，1，2，3}，{0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，3，4} 提示：因为{1，0}M，所以M必须含有1，0而且还至少含有2，3，4中的一个．
三、
12．要证A(B，只要对任一x0(A能够证明x0(B；要证A(B，可从B中找出一个元素不属于A．
证明：设x0(A，即存在a(*满足x0=a2+1，而a2+1=(a+2)2–4(a+2)+5，其中a+2(N*，即x0(B，故A(B；
又当b=2时，y=b2–4b+5=(b–2)2+1=1，这里1(B，而x0=a2+1>1，故A(B．由A(B且A(B，即得AB．
13．{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
14．⑴⑶⑸⑹
15．(，{0}，{2}，{0,2} 提示：B的真子集有：(，{0}，{1}，{2}，{3}，{0,1}，{0,2}，{0,3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}；C的真子集有：(，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}；满足题意的集合A有：(，{0}，{2}，{0,2}．
16．∵{x|x2+1=0，x(R}=(，{x|x2–1=0，x(R}={–1,1}，即M为集合{–1,1}的非空子集，∴M的个数为22–1=3个．
17．满足A{1,2,3}的集合A有：(，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，其中至多只有一个奇数的集合有(，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}共6个．
练习巩固(1.2-1)
参考答案
1．B ②和③正确，①和④错误
2．a=2，k=5．提示：因为y=3x+1．所以，x=1时，y=4(B；
x=2时，y=7(B；
x=3时，y=10(B；
x=k时，y=3k+1(B；
又B={4，7，a4，a2+3a}
所以10=a4或10=a2+3a．
则a=±或a= (5或a=2
又a(N+，所以a=2．
所以B={4，7，16，10}．
又3k+1(B，k(1、2、3．所以3k+1=16，k=5(N+．
注：主要体现方程思想
3．⑴设x(A，且B中的m与A对应，C中的n与B中的m对应，则m=3x+2，n=，即n=∴集合A到集合C的对应法则．
⑵∵；
；
；
；
∴C=．
⑶因为集合A中的任一元素，按照对应法则f在集合C中都有唯一元素与之对应，所以都构成集合A到集合C的映射．
4．D．提示：±1是指1或(1，所以出现“一对多”情形
5．B．提示：②和④正确，①、③、⑤错误．
错在：B中的1与C中的3和1同时对应．
③错在：由于C与A不能直接对应，只能来解决．这时便会产生或，即C中的3与A中的0和2同时对应．
的原因同③
6．C．提示：②和④正确，①和③错误．
①错在：存在A中的元素m0([1，4]，使得m0不能与B中元素相对应．
③错在：B中2.7与A中1.3和2同时对应．
7．B．提示：A．允许集合B中的元素没有原象．C．若集合A为有限集，只能得出象集是有限集，但不能肯定集合B是有限集．D．显然不正确．
8．D．提示：A、B、C都有可能，但不能肯定．D是正确的．
9．设的原象，则，∴x=8．
10．(1)设．则∴x和y可看成关于t的一元二次方程的两根，∴“△=a2(4b≥0”是点Q(a，b)有原象的充要条件．故不是Q的每一个点都有原象．
(2)在(1)的基础上，不难发现：若点Q(a，b)有原象，且原象是唯一的充要条件是△=a2(4b≥0．故点Q(a，b)有原象，原象不一定唯一．
11．⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸．
12．如图所示，A到B的映射共有8种：
B到A的映射共有9种：
.
13．m=5．提示：m3=125．
14．35．提示：先考虑f(1)，f(3)：
f(1)=f(3)时，有5种情形；
f(1)= (f(3)时，有2种情形．又f(2)不受任何限制，有5种情形．
∴共有(5+2)×5=35(种)不同映射．
15．C
16．D
17．⑴∵3x2(2x(1(0，∴．∴定义域为．
⑵∵，∴．∴．∴定义域为．
⑶∵，∴．
∴定义域为：．
⑷∵，∴．∴x(x+1)>0．∴x<(1或x>0．
∴定义域为．
18．(1)若a=0，则b=0，c≥0；若a(0，则．
(2)∵的定义域是[(1，3]，
∴不等式ax2+2x+c≥0的解集是[(1，3]．
∴∴．
∴．
∴3x2+2x(1≥0．
∴．
∴的定义域是．
19．(1)∵，∴．
∴f(x2(2x(3)的定义域是：[(2，(1]∪[3，4]．
(2)∵，∴(1≤x+3<8．
∴(1≤2x(3<8．∴．
y=f(2x(3)的定义域是：
20．由题意得
只需比较m和1(m大小即可．m((1(m)=2m(1
若，则x=m=；
若，则m>1(m，无解．
若，则m<1(m，得m≤x≤1(m．
综上，当021．由题可得∴．
1(若b>a>0时，x((，则g(x)=f(x)(f((x)不存在；
2(若b>a=0时，g(x)的定义域是{0}；
3(若b>0>a≥(b时，∴g(x)的定义域是[a，(a]；
4(若b>0>(b>a时，(b≤x≤b．∴g(x)的定义域是[(b，b]；
5(若b=0>a时，g(x)的定义域是{0}；
6(若0>b>a时，x((，则g(x)不存在．
综上所述，若b>a>0或0>b>a时，g(x)不存在．
若b>a=0或b=0>a时，g(x)的定义域是{0}；
若b>0>a≥(b时，g(x)的定义域是[a，(a]；
若b>0>(b>a时，g(x)的定义域是[(b，b]．
22．⑴当m>0时，值域是[(2m(1，m(1]；
当m=0时，值域是{(1}；
当m<0时，值域是[m(1，(2m(1]．
⑵∵
∴值域是．
⑶∵，
又x≥1，∴2x(1≥1．∴．
∴
∴值域是．
⑷∵，
∴y(1．
又x(2，∴y(．
∴值域是．
⑸设则
∴．
∵t≥0，∴值域是．
23．∵，∴y=f(x)在[1，m]上随x增加而增加．
∴．即．
∴m2(4m+3=0
∴m=1(舍)或m=3．
∴m=3．
24．(1)解法一：设t=1+，则x=2t(2．
∴f(t)=3(2t(2)2+5(2t(2)(1=12t2(14t+1．
∴．
解法二、=．
(2)∵，
∴．
∴．
25．(1)设f(x)=ax+b(a、b是常数，a(0)，
∴
∴.
∴或．
∴或．
(2)解法一：设
则
=．
∴．∴
∴．
练习巩固(1.2-2)
1．-6．解：
== (6．
2．解：（1）．
（2）当x0≤2时，，x0=，x0=（舍去）
当x0>2 时，(2x0=8，x0= (4(不合题意，舍去)
综上x0=．
3．解：设g(x)=，则x2=．
∴．
4．解法一：设，则x=．
将x=代入，得，
∴．∴．
解法二：∵，∴．∴．
5．设f(x)=kx+b (k(0)，∵f[f(x)]=2x+1
∴f(kx+b)=2x+1．
∴k(kx+b)+b=2x+1，即k2+b(k+1)=2x+1．
由多项式恒等条件得解得或
∴f(x)=或f(x)=．
6．解：设f(x)=ax2+bx+c (a(0)，
又∵f(0)=1，f(x+1)(f(x)=2x，
∴
∴即
∴．
7．解：由f(0)=1，f(x(y)=f(x)(y(2x(y+1)，
设x=y得f(0)=f(x)(x(2x(x+1)，
∴f(x)(x(2x(x+1)=1，即f(x)=x2+x+1．
8．解：由图得f(0)=f(1)=f(2)=0，
分别将x=0、x=1、x=2，代入f(x)=ax3+bx2+cx+d．
求得，，d=0．
∴．
当x(((∞,0)时，f(x)<0，又>0．
∴b<0应选A．
9．解：由图象知：f(1)=1，f((1)= (1，f(0)=0．
代入，得方程组
，解得．
又∵c>0，∴a>c>b．
应选B．
10．解：∵f(x)=5(| x |，g(x)= (5+| x |，
∴f[g(x)]=5(| (5+| x | |．
．
它的图象如图．
11．解：在同一直角坐标系中作出函数
y=2x+3、y=x+3、y= (x+5的图象，
再由分段函数定义域确定所求函数的图象
为图中的粗折线AB—BC—CD．
观察得C为最高点，其坐标满足方程组
解得C(1,4)．
∴函数y的最大值为ymax=4．
12．解：由题意得
．
13．解：设f(x)=ax2+bx+c (a(0)，
又∵f(x+1)+f(x(1)=2x2(4x，
∴a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x(1)2+b(x(1)+c=2x2(4x．
即：2ax2+2bx+2a+2c=2x2(4x．
由多项式恒等得．解得a=1，b= (2，c=．
∴要求的二次函数为y=x2(2x(1或y= (x2(2x+1．
14．解：∵f(x)的定义域为((1,1)，
又∵2f(x)(f((x)=x+1，
2f((x)(f(x)= (x+1．
由①×2+②消去f((x)得3f(x)=x+3，即f(x)=．
∴要求函数f(x)= ,x(((1,1)．
15．解法一：∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，又当x(时f(x)=x2+1，而y=x2+1的顶点为(0,1)，其顶点关于直线x=1的对称点为(2,1)．f(x)=x2+1当x= (1时，f((1)=2，∴点A((1,2)关于直线x=1的对称点为(3,2)．故设要求的定义在(1,+∞)上的函数为f(x)=a(x(2)2+1
又∵在图象上，∴2=a+1，即a=1．
∴ ．
解法二：∵函数f(x)图象关于直线x=1对称，∴f(1(x)=f(1+x)对定义域内x值都成立．
设1(x=t，则x=1(t，∴1+x=1+1(t=2(t．
∴f(t)=f(2(t)，即f(x)=f(2(x),又知时函数的解析式为f(x)=x2+1．
∴f(2-x)=(2(x)2+1=x2(4x+5．此时，∴，∴．
16．A 17. C 18.
19. f (x)=或f (x)=-2x+11 20. 21. 2013
22.依次递推，可得
23．由f (x)+2f ()=x, 用代x可得f ()+2f (x)= ，
从以上两式消去f ()即得3f ()=-x，∴f (x)=
24．由已知kx2+4kx+5(0的解集为R.当k=0时，函数的定义域为R．当 k(0时，(=（4k）2-20k<0,解得025．设长方体池底的一边长为x米，则其另一边长为米，
池壁面积为 2×6×x+2×6×=12(x+) (米2)．
池底面积为x×=（米2）．根据题意，得所求函数关系式为：
，即．定义域为（0，+∞）．
练习巩固(1.3-1)
1.D 2.C 3.A 4.D 5.D
6.增 7. （-∞,1） 8.m≥-1 9.
10．任取，则
∵a>,∴2a-1>0,∵∴
∴
∴函数在区间（-2,+∞）上单调递增．
11．设由函数f(x)=x3-x在(0，a上递减得
即对于满足的都有即，又，只须
又函数f(x)=x3-x在[a,+∞上递增，可推出，所以
12．由已知a+b≥0,∴a≥-b, b≥-a, 又∵函数f(x)在区间（-∞,+∞）上是增函数，∴f(a) ≥f(-b) ，f(b) ≥f(-a)，相加得f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)．
发展级
13．D 14．B 15．C 16．C 17．25
18． 19． 20．
21．解：．
当时，
，
舍去；
（2）当<0时，在上递减
=；
（3）当>1时，在上递增
=2
22．（1）==+
=－.
（2）∵=1，∴ =+=2
于是>+2=+= ①
在上单调递增，
①可化为：，解之得1<<.
的取值范围是：1<<.
23．（1）在=+中，令，则有=+=2=2，再令=4，=2，可得=+=2+1=3
由－>3得>+=，
而在上是增函数，
，
解之得2<<即为所求．
24．(1)解法一：=4
当，即时，函数在上是增函数，
∴，
由，得=1，
<0，=1
当0<<2，即0<<4时，
，
由，得=，舍去．
当2，即时，函数在上是减函数，
，由得
，∴
综上所述，=1或.
解法二：=4
当时，
或，对称轴
∴ 当时，不合题意，舍去．
当a=1-时，(0，符合题意．
当f()=3时，-2a+2=3．∴a=(.
∴x==(,又(([0，2]，不合题意，舍去．
当=3时，
或
当时，>2，符合题意．
当时，，不合题意，舍去．
综上所述或.
（2）,
则有，
又的对称轴为直线，
在上是增函数．
解得
存在，使在上值域是．
练习巩固(1.3-1)
1.D 2.C 3.A 4.D 5.D
6.增 7. （-∞,1） 8.m≥-1 9.
10．任取，则
∵a>,∴2a-1>0,∵∴
∴
∴函数在区间（-2,+∞）上单调递增．
11．设由函数f(x)=x3-x在(0，a上递减得
即对于满足的都有即，又，只须
又函数f(x)=x3-x在[a,+∞上递增，可推出，所以
12．由已知a+b≥0,∴a≥-b, b≥-a, 又∵函数f(x)在区间（-∞,+∞）上是增函数，∴f(a) ≥f(-b) ，f(b) ≥f(-a)，相加得f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b)．
13．D 14．B 15．C 16．C 17．25
18． 19． 20．
21．解：．
当时，
，
舍去；
（2）当<0时，在上递减
=；
（3）当>1时，在上递增
=2
22．（1）==+
=－.
（2）∵=1，∴ =+=2
于是>+2=+= ①
在上单调递增，
①可化为：，解之得1<<.
的取值范围是：1<<.
23．（1）在=+中，令，则有=+=2=2，再令=4，=2，可得=+=2+1=3
由－>3得>+=，
而在上是增函数，
，
解之得2<<即为所求．
24．(1)解法一：=4
当，即时，函数在上是增函数，
∴，
由，得=1，
<0，=1
当0<<2，即0<<4时，
，
由，得=，舍去．
当2，即时，函数在上是减函数，
，由得
，∴
综上所述，=1或.
解法二：=4
当时，
或，对称轴
∴ 当时，不合题意，舍去．
当a=1-时，(0，符合题意．
当f()=3时，-2a+2=3．∴a=(.
∴x==(,又(([0，2]，不合题意，舍去．
当=3时，
或
当时，>2，符合题意．
当时，，不合题意，舍去．
综上所述或.
（2）,
则有，
又的对称轴为直线，
在上是增函数．
解得
存在，使在上值域是．
练习巩固(1.3-2)
1、A 2、D 3、5、⑴∵f(x)的定义域为{x∣x∈R且x≠0},又f(-x)=(-x)4-(-x)-2+2=x4-x-2+2=f(x),
∴f(x)=f(x)=x4-x-2+2是偶函数.
⑵∵f(x)的定义域为R,
又f(-x)+f(x)=.
即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数
⑶∵f(x)的定义域为R,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1=-f(x);当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=1-(-x)2=1-x2=-f(x);当x=0时,f(-x)=1=f(x).∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
另解：函数f(x)图象如图所示，
关于原点或y轴都不对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
⑷∵f(x)的定义域为{x∣x∈R且x≠0}又
f(x)==f1(x)-f1(-x).
∴f(-x)=f1(-x)-f1(x)=-f(x),即f(x)是奇函数
6、-17、-1
8、⑴由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2), x1,x2∈[0,]知f(x)=≥0,x∈[0,1].
∵f(1)= =[]2,∴=.同理=[]2,∴
⑵依题设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,∴f(-x)=f(2-x),x∈R,将上式中-x以x代换，得f(x)=f(x+2),x∈R．
9、⑴f(x)的定义域是{-9,9},且f(-9)=f(9)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数；
⑵f(x)的定义域是(-∞,-1]∪(1,+∞),关于原点不对称，故f(x)既非奇函数也非偶函数；
⑶当x≥0时,f(x)=1+2x,f(-x)=1+2x,f(x)=f(-x);当x<0时,f(x)=1-2x,f(-x)=1-2x,f(x)=f(-x)也成立，故f(x)是偶函数；
⑷∵f(x)的定义域是R,又当x<0时-x>0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)-5=x2+2x-5=-(-x2-2x+5)=-f(x)
当x=0时,f(-x)=f(0)=0=-f(0).当x>0时,-x<0.∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)+5=-(x2-2x-5)=-f(x)
综上可得f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函数．
10、⑴f(x)=x2+3x-1,x∈[0,+∞）的图象关于y轴的对称图形的解析式是y=(-x)2+3(-x)-1,
x∈(-∞,0],
∴f(x)= x2+3x-1(x≥0),
x2-3x-1(x<0).
⑵f(x)=x2-3∣x∣,x∈(-∞,0)的图象关于原点的对称图形的解析式是
y=-[(-x)2-3∣-x∣]=-x2+3x,x∈[0,+∞)
∴f(x)= -x2+3x(x≥0),
x2+3x(x<0).
注意本题解法可归纳如下：从偶函数在一个半轴上的解析式f(x)，(x∈[0,+∞)
或 x∈(-∞,0）可得到另一半轴上的解析式f(-x)，(x∈(-∞,0)或x∈[0,+∞)),
在奇函数那里则是从f(x)变为-f(-x).
11、选C. 提示：利用特殊化思想，取f(x)=x,g(x)=∣x∣,代入验证，即得.
12、∵y=f(x)是由y=f(x+a)中的x用x-a代入而得，∴y=f(x)的图象是由曲线y=f(x+a)右移a个单位而得，∵曲线y=f(x+a)的对称轴为x=0，∴曲线y=f(x)关于直线x=a对称．
13、由题意取x=y=0时,2f(0)=2f2(0),∵f(0)(0,∴f(0)=1．再取x=0，则对于一切y(R有
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),∴f(-y)=f(y),从而知f(x)为偶函数．
14、∵f(10+x)=f(10-x)( f(x) =f(20-x)( f(-x)= f(20+x),∴f(-x)= -f(x)，∴f(x)为奇函数，从而知y=f(x)的图象关于原点对称．
15、由f(x)是R上的偶函数在区间(-∞,0)上递增，可知f(x)在(0,+∞)上递减.
∵2a2+a+1=,3a2-2a+1=,且f(2a2+a+1) ∴2a2+a+1>3a2-2a+1,即a2-3a<0.解之得016、提示：⑴讨论函数的单调性，亦即证明函数在某一区间上的单调性，结论必须由自己确定，题目本身没有给出，因此，这类问题必须遵循严格的代数推理论证．
⑵由抽象函数的范围求参数a的取值范围是常见题型，较为常用的方法是，将原不等式变形后利用函数单调性，将函数符号去掉，再解得到的不等式．
解析：⑴任取-1-x1>-x2>0.∵f(x)在(0,1)上单调递增,∴f(-x1)>f(-x2).又f(x)是奇函数,
∴-f(x1)>-f(x2), 即f(x1) 设任意-1故f(x1) ⑵由题意知f(1-a2)>-f(1-a).∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)> f(1-a).
由定义域及单调性，得 –1<1-a2<1 0 -1 1-a2>a-1 a2+a-2<0
综上，a的范围是(0,1).
17、本题若将1-m,m同时[0,2],[-2,0]以及分别在[0,2],[-2,0]来讨论，也可以求解，此时须借助于偶函数的性质：g(x)在[0,2]上单调递减，则它在[-2,0]上单调递增．但若注意到g(-x)=g(x),利用g(x)=g(∣x∣),则可把变量转化到已知的单调区间，避免繁琐的讨论，减少运算量．
∵g(1-m)又x≥0时,g(x)单调递减，∴ ∣m∣≥0
∣1-m∣>∣m∣,
∣1-m∣≤2
解得-1≤m≤.故所求m的取值范围是[-1,].
练习巩固(一)
1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C 9．，(，， 10．
11．{–3,–1,1,5} 12．B∪(CuB)=A ∴A=U，∴x=0或x=–或x=。
13．易得ax2+bx–6=0两根为2，3，则a=–1，b=5，则B={x|–x+5+c>0}={x|x<5+c}，由于A∩B((，AB，由数轴知，2<5+c<3，即–314．解：∵CuA={5}， ∴a2+2a–3=5 ∴a=2或a=–4。
又∵A(U，5(A，∴b=3，∴，或  ．
15．设两科均参加的人数为x人，则由题意，两科均不参加的为(+1)人，设全集U={全班学生}，A={报告
参加数学小组的人}，B={报名参加英语小组的人}，card(A∩CuB)=30–x，card(B∩CuA)=33–x，card(A∩B)=x，∴(30–x)+(33–x)+x+(+1)=50。∴x=21。∴两科均参加的有21人。
检测与评价
一、
1．C 本题根据图画分析易得①正确。
2．A A∪B={2,3,5}。A={x|x2–px+15=0，x(Z}，∴A={3,5}，B={x|x2–5x+q=0，x(Z}，∴B={2,3}。
3．C CuB中包含所有正奇数，A为正偶数集 ∴U=(CuB)∪A。
4．A CuB={x|x(B}，A={x|x(A}，∴答案为A∩(CuB)。
5．B 35+65–20=80。
6．D M、N各含2个、3个或4个元素，共11种情况。
7．B CiM=，CiN={(x,y)|y=x+1}，∴CiM∩CiN={(2,3)}。
8．C ∵M∩N=N，∴N(M，∴CuM(CuN。
二、
9．{(}提示：MA，NB，A∩B=(，∴M∩N={(}。
10．(A∩D)∪(B∩C) 提示：A∩D={x|f (x)g (x)<0}，B∩C={x| f (x)g (x)<0}。∴(A∩D)∪(B∩C)。
11．A∩(CuB) 提示：由图形易得A∩(CuB)。
12．{(2,4)} 提示：A={(x,y)|3x–y=2且x(2，y(4} ∴CuA∩B={(2,4)}。
三、
13．解析：方法一：∵(CsA)∩B={1} ∴1(B，1(A。
同理可知3(A，3(B，2(A，2(B。
若4(B且4(A，则4((CsA)∩B或4(∩，这与已知相矛盾，又4((CsA)∩(CsB)，故4(A。
综上可知A={3,4}，B={1,3}。
方法二：根据题意可作图，把全集S分成A∩B、A∩(CsB)、(CsA)∩B和
(CsA)∩(CsB)四个子集。
由图可知A={3,4}，B={1,3}。
方法三：∵B=[(CsA)∩B]∪(A∩B)={1,3}，
又CsA=[(CsA)∩B]∪[(CsA)∩(CsB)]={1,2} ∴A={3,4}。
14．解析：⑴由2(A，则=–1(A，则==(A ∴=2(A，故A中至少有3个元素。
⑵可以，若a=3(A，则=–(A，⑶a=，a2–a+1=0方程无实数解，实数a不存在。
15．解析：B={2,3}，C={–4,2}，∵A∩C=(，A∩B((，∴2(A，3(A，
代入x2–ax+a2–19=0得a=5或a=–2。
当a=5时，A={2,3}，不满足A∩C=(，应舍去。
当a=–2时，A={–5,3}，满足题意。
∴a=–2。
16．解析：∵B={1,2}，而A∪B=B，∴A(B={1,2}，
①当A={1,2}时，p=–3，q=2；
②当A={1}时，p=–2，q=1；
③当A={2}时，p=–4，q=4；
④当A=(时，p2<4q。
∴实数p，q满足的条件为：p=–3，q=2或p=–2，q=1；或p=–4，q=4或p2<4q。
练习巩固答案（1—3）
1．C
2．C（注意：可能M=(，M=P）
3．A
4．D
5．C X可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，故选C．
6．B
7．{(1，2)}
8．{x|x=-(2n–1)，n(N*}
9．–2 提示：有题意得a2–a–2=0，3–a2=–1，∴a=–2．
10．{x|x是梯形} 提示：至少有一组对边平行包含“只有一组对边平行”和“两组对边都平行”，∴CsA是只有一组对边平行即梯形．
11．A=C 提示：有Venn图可以得出．
12．可知B={x|1≤x≤3}，故a=1，b=3．
13．B={2，3}，C={–4，2}．由题意可知3(A但2(A．
将x=3代入x2–ax+a2–19=0得a=5或a=–2．
当a=5时，A={2，3}，与2(A矛盾．
当a=–2时，A={–5，3}，符合题意，故a=–2．
14．∵A∩B={–3}，∴–3(B，∵a2+1>0，∴集合B中能等于–3的元素有a–3或2a–1两种情形．①当a–3=–3，即a=0时，A={0,1,–3}，B={–3,–1,1}，这时A∩B={–3,1}与已知A∩B={–3}矛盾，故舍去a=0；②当2a–1=–3时，a=–1；A={0,1,–3}，B={–3,–4,2}符合要求∴A∪B={–4,–3,0,1,2}．
15．解：A={–1,1}，B(((x2–2ax+b=0有根(4a2–4b>0(a2–b>0．
∵A∪B=A，∴B(A．
当B={1}时，，；
当B={–1}时，，；
当B={–1,1}时，，．
综上所述：或或．
16．解：A={x|(x+a)x=12}，B={x|x(x+b)+c=0}．∵A∩B={–3}，∴–3(A，–3(B．
当–3(A时，可得a=–1，从而A={–3,4}；
当–3(B时，可得3b–c=9，
∵A∪B={–3,4}=A，
∴B(A．∵A∩B是单元素集 ∴A(B∴BA ∴B={–3}．
∴△=b2–4c=0．
解 得 ∴6a+b+c=9．
17．U={(1,2)，(1,–2)，(–1,2)，(–1,–2)，(2,1)，(2,–1)，(–2,1)，(–2,–1)}，
A={(2,1)，(2,–1)，(–2,1)，(–2,–1)}，
∴CuA={(1,2)，(1,–2)，(–1,2)，(–1,–2)}．
故需要预定座位数为：5+2+1+10+4+3+2=27．
18．C
19．D
20．C
21．{x|–b≤x≤b}，{x|a≤x≤–a}．
22．p=8，q=6
23．P=–10，q=25
24．如右图，集合Cu(A∪B)有x个元素，设集合A∩B有y个元素，由题意
知0 素，且可得方程x+(10–y)+y+(6–y)=18(0 ∴025． 某校参加各个小组的情况如右图所示，有互不包含的七个集合：A，B，C，
D，E，F，G集合G表示同时参加三个小组的学生集合，其人数为2，记作
card(G)=2．由于同时参加数学、物理，数学、历史，物理、历史各两个小
组的人数分别为12人，6人，5人，故可知card(D)=12–2=10，card(E)=6–
2=4，card(F)=5–2=3．又由于参加数学、物理、历史小组的人数分别为21
人，17人、10人，可知
card(A)=21–2–10–4=5，
card(B)=17–2–10–3=2，
card(C)=10–2–3–4=1．