山西省朔州市怀仁市2023-2024学年高一上学期1月第二次教学质量调研（期末）数学试题（含解析）

怀仁市2023~2024学年度上学期高一
第二次教学质量调研试题
数学
注意事项：
1.考试时间120分钟，满分150分.
2.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
5.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
6若函数（其中）图像的一个对称中心为，其中相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得的图像，只要将的图像（ ）
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
7.已知，则大小关系是
A. B.
C. D.
8.若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.设函数，当为增函数时，实数的值可能是（ ）
A.2 B.-1 C. D.1
10.下列各式中值为1的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.下列命题正确的是（ ）
A.若，则；
B.若正数满足，则；
C.若，则的最大值是；
D.若，则的最小值是9；
12.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.若则
C.的最小正周期为4
D.在上的零点个数最少为1012个
第II卷
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则__________.
14.函数的值域为__________.
15.若，且，则__________.
16.设函数的定义域为，且对任意实数恒有：①；②；③当时，.若在上恰有三个零点，则的取值范围为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分，每小题5分）计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）已知函数过点.
（1）求解析式；
（2）若，求的值域及单调增区间.
19.（本小题满分12分）已知函数，且的最小正周期为.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分，每小题6分）
（1）已知，求的值.
（2）已知函数，其中表示不超过的最大整数.例如：.若对任意都成立，求实数的取
值范围.
21.（本小题满分12分）如图，风景区的形状是如图所示的扇形区域，其半径为4千米，圆心角为，点在弧上.现在风景区中规划三条商业街道，要求街道与平行，交于点，街道与垂直（垂足在上）.
（1）如果弧的长为弧长的三分之一，求三条商业街道围成的的面积；
（2）试求街道长度的最小值.
22.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数在为增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，且对于，都有成立，求实数的取值范围.
怀仁市20232024学年度上学期高一第二次教学质量调研
数学答案
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1.【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数不等式求得，再求得即可.
【详解】由题意，，又
故故选：A
2.【答案】B
【解析】
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由可得或，推不出，
当时，一定成立，
故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
3.B
【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解.
【详解】设，又，则有
，
由三角函数的有界性，知
，
所以.故选：B.
4.【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求.
【详解】由，即，
又.故选：C
5.【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况对函数的解析式进行化简，然后可得答案.
【详解】当时，，
当，
所以函数的图像大致是选项，故选：
6.【答案】D
【解析】根据已知函数（其中，由题意，得，
，所以，又，所以，所以
又函数的图像经过点，所以，所以
，所以，又，所以，所以函数
，又，所以函数的图像向左平移个单位长度可得到函数的图像，故选
7.【答案】A
【解析】
【分析】因为，故只需比较合指数幂的运算性质及幂函数的单调性即可得出结果.
【详解】因为，故只需比较的大小
，即
，即
，又在上递增.
，即.故选：A.
8.【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解.
【详解】因为在上单调，所以，即，则，
由此可得.
因为当，即时，函数取得最值，
欲满足在上存在极最点，
因为周期，故在上有且只有一个最值，
故第一个最值点，得，
又第二个最值点，
要使在上单调，必须，得.
综上可得，的取值范围是故选：C.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9【答案】CD
【解析】
【分析】由题知，且，进而解不等式即可得，再结合选项即可得答案.
【详解】解：当时，为增函数，则，
当时，为增函数，
故为增函数，则，且，解得，
所以，实数的值可能是内的任意实数.故选：CD.
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】利用诱导公式 二倍角公式 两角和的正弦公式即特殊角的三角函数计算可得.
【详解】解：对于，故A正确；
对于
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：
11.【答案】BC
【解析】
【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.
【详解】对于选项，
因为，所以，
，即，故，所以错误；
对于选项B，因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于选项C，因为，当且仅当即时，等号成立，所以，故C正确；
对于选项，因为，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故错误.故选：.
12.AC
【分析】根据题设及正弦型函数的对称性有，假设B中解析式成立，由得，进而验证解析式，令，作差求，进而求最小正周期，根据所得周期及正弦型函数的零点性质判断区间零点个数.
【详解】A，由题意在的区间中点处取得最大值，即，正确；
，假设若，则成立，由知，
而，故假设不成立，则错误；
C，，且在上有最大值，无最小值，
令，
则两式相减，得，即函数的最小正周期，故正确；
，因为，所以函数在区间上的长度恰好为506个周期，
当，即时，在区间上的零点个数至少为
个，故错误.故选：AC.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.【答案】-2
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性 奇偶性与参数之间的关系可得出的值.
【详解】若函数在上递减，则.
当时，函数为偶函数，合乎题意；
当时，函数为奇函数，不合乎题意.
综上所述，.故答案为：-2.
14.【答案】
【解析】
【分析】在含有根号的函数中求值域，运用换元法来求解
【详解】令，则
函数的值域为
【点睛】本题主要考查了求函数的值域，在求值域时的方法较多，当含有根号时可以运用换元法来求解，注意换元后的定义域.
15.【答案】
【解析】
【分析】由题意求出的范围，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
，所以，所以，
所以，
所以，
因为，则，
，所以
所以
，
所以.故答案为：.
16.
【分析】根据函数的周期和奇偶性作出和在上的图象，根据交点个数列出不等式解出.
【详解】因为，所以是偶函数，由得，所以的周期是2，
结合时，，得到函数在上的图象，
因为在上恰有三个零点，
所以，解得
所以的取值范围为.故答案为：.
四 解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）【答案】（1）125
（2）0
【解析】【分析】（1）按照指数运算进行计算即可；（2）按照对数运算进行计算即可；
【详解】
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）【答案】（1）
（2）值域为，单调增区间为.
【解析】
【分析】（1）将代入，解得，即可得解析式；
（2）求得，令，利用二次函数与对数函数的性质求解即可.
【详解】
（1）将代入，得，解得，
所以，其中.
（2），
由，解得，
令，
，
由二次函数的性质可知，在时，，
又在上单调递减，
所以的值域为.（注：也正确）
又函数在上单调递增，在上单调递减.
由复合函数的单调性知函数的单调增区间为
19.（本小题满分12分）【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）先由三角恒等变换化简解析式，根据最小正周期公式求出，再由正弦函数的性质得出单调区间；
（2）由的单调性结合函数零点存在定理求出实数的取值范围.
【详解】（1）函数
因为，所以，解得
所以
由得
故函数的单调递增区间为，
由得
故函数的单调递减区间为.
（2）由（1）可知，
在上为增函数；在上为减函数
由题意可知：，即
解得，故实数的取值范围为
20.（本小题满分12分）【解析】
（1）【分析】由以及诱导公式求出，再利用两角和的正弦公式 二倍角公式以及同角公式将化为的形式，代入即可得解.
（1）【详解】因为，
所以，所以，
所以，所以或
因为，所以，所以，
所以
.
（2）【答案】
【分析】讨论的取值范围，求出，根据不等式恒成立，只需即可求解.
【详解】由，
当时，；
当时，；
当时，；
当；
又对任意都成立，即恒成立，
，所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：
21.（本小题满分12分）（1）平方千米（2）千米
【解析】
【分析】（1）结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；
（2）由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示，然后结合正弦函数性质可求.
【详解】（1）如下图，连接，过作，垂足为.当弧的长为弧长的三分之一时，，在中，，故.在中，，所以，则，所以，可得的面积（平方千米）；
（2）设，则，
又，则，所以.在直角三角形中，，其中.因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即.
综上，街道长度的最小值为千米.
22.（本小题满分12分）（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据函数单调性定义得到对恒成立，再根据时，的取值范围为，即可得到答案.
（2）当时，的最小值为0，将题意转化为对任意恒成立，根据对数函数的定义得到，从而将题意转化为对任意恒成立，再根据指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）设，且，则
因为函数在上为增函数，所以恒成立
又因为，所以，
所以恒成立，即对恒成立.
当时，的取值范围为，
故，即实数取值范围为
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为0，
所以由题意，可得对任意恒成立，
所以对任意恒成立.
①由有意义，得，即.
又有意义，得，即.
②由，
得，
即，
得对任意恒成立，
又，所以为减函数，
即：当的最大值为，
所以，解得.
由①②得，实数的取值范围为