1.2.1直角三角形的性质和判定 课件(共24张PPT)2023-2024学年度北师大版数学八年级下册

(共24张PPT)
1.2.1 直角三角形的性质和判定
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定.
2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.
3.结合具体事例理解互逆命题、互逆定理的概念,并体会原命题成立时，其逆命题不一定成立.
学习目标
难点
重点
我们之前学习过直角三角形的哪些性质？
角：直角三角形的两个锐角互余.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
边：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
新课引入
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
根据三角形的内角和可以得到直角三角形的两个锐角互余.
新知学习
如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
可以证明出来吗？
证明：直角三角形的两锐角互余.
证明
已知：如图，在△ABC中， ∠C =90°.
求证： ∠A +∠B=90°.
证明：在△ABC中，
∵ ∠A +∠B +∠C=180°，∠C=90°，
∴ ∠A +∠B=180°-∠C=90°.
证明
证明：有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中，
∵ ∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形.
归纳
定理：直角三角形的两个锐角互余.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的性质与判定：
思考
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，我们曾经度量过，在一个三角形中，当两边的平方和
等于第三边的平方时，“这个三角形是直角三角形”，你能用
我们学过的定理和基本事实来证明此结论吗
证明
已知：如图，在△ABC中，AB2+AC2=BC2．
求证：△ABC是直角三角形．
A
B
C
分析：想要证明△ABC是直角三角形．
那我们可以通过构造一个直角三角形，使之与△ABC全等，这样便能证明△ABC是直角三角形．
A
B
C
A′
B′
C′
则 A′B′2+A′C′2=B′C′2
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A=∠A′=90°
因此，△ABC是直角三角形.
证明：如图，作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，
A′B′=AB，A′C′=AC
归纳
勾股定理的逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言：
在△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
C
A
B
思考
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
观察上面这两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
探究
再观察下面两组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
上面两组命题的条件和结论也有类似的关系吗？
归纳
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
互逆命题和逆命题：
其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
探究
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形； （ ）
你发现了什么？
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0. （ ）
（2）两直线平行，同旁内角互补； （ ）
逆命题：多边形是四边形. （ ）
逆命题：同旁内角互补，两直线平行. （ ）
逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0. （ ）
√
×
√
√
×
√
归纳
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
如果原命题是定理，而且逆命题也是真命题，那么我们称它们为
互逆定理.
其中逆命题称为原命题（即原定理）的逆定理．
互逆定理:
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
1.在Rt△ABC中，a，b，c为三边长，则下列关系中正确的是(　　)
A.a2+b2=c2 B.a2+c2=b2
C.b2+c2=a2 D.以上都有可能
D
2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是 (　　)
A.75° B.65° C.55° D.45°
C
课堂练习
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 (　　)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.a2=c2-b2
D.a∶b∶c=3∶4∶6
D
4.先判断下列命题的真假，再写出它的逆命题，最后指出其中
的互逆定理.
(1)如果x2>0，那么x>0;
(2)长方形是正方形;
(3)内错角相等，两直线平行.
解:(1) 原命题是假命题. 逆命题:如果x>0，那么x2>0.
(2) 原命题是假命题. 逆命题:正方形是长方形.
(3) 原命题是真命题. 逆命题:两直线平行，内错角相等.
其逆命题是真命题，它们互为逆定理.
5.李华将一个含45°角的直角三角板和一把直尺按照如图所示叠放，其中直尺的顶点和三角板的45°角重合,若∠1＝20°，则∠2的度数为____°.
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6.填空
(1)在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则这个三角形是_______三角形.
(2)在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是______________．
直角
a或 a
7.如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，若AB＝12 cm，BC＝16 cm．
（1）求AE的长；
解：(1) ∵∠CBD= ∠ FBD，∠CBD=∠ADB，
∴∠FBD=∠ADB ∴EB=ED
设AE=x cm，则DE=(16-x) cm，即EB=(16-x) cm，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2 即 122+x2=(16-x)2，
解得x=3.5，即AE的长为3.5cm．
（2）求重合部分的面积．
解：(2)BA⊥AD，∴S△BDE= DE BA
= ×(16-3.5)×12=75(cm2)．
定理1：直角三角形的两个锐角互余；
定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形
互逆命题与互逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
角的性质
边的性质
互逆命题
互逆定理
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