2023 年下学期期末质量监测参考答案
（高一数学）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1. C 2. A 3. B 4. B
5. A 6. C 7. D 8. B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的对 2分，有选错的得 0分。
9. AB 10. BD 11. CD 12. ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
13. 3 14. 3 15. 8 16. (2,4)
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：(1)当 = 3时， = { |3 < < 6}，…………1 分
= { | ≤ 5或 > 4}，所以 = { | 5 < ≤ 4}，…………2 分
因此， ∪ ( ) = { | 5 < < 6}.…………4 分
(2)当 = 时，则 ≥ 2 时，即当 ≤ 0时， 成立，…………6 分
当 ≠ 时，即当 < 2 时，即当 > 0时，
由 ，可得 ≥ 5 2 ≤ 4，解得 5 ≤ ≤ 2，此时 0 < ≤ 2.…………8 分
综上， ≤ 2，即实数m的取值范围是( ∞, 2].…………10 分
18. 解：（1） 已知 ， 4都是锐角，sin = ， cos 1 sin 2 3 ．……2 分
5 5
cos( ) 5 ， sin( ) 1 cos2 ( ) 12 ，………4 分
13 13
sin sin[( ) ] sin( ) cos cos( ) sin 12 3 5 4 16 …6 分
13 5 13 5 65
(2)已知 ， 都是锐角， tan 1 ， sin 10 ， 3 10 cos 1 sin2 ，…7 分
7 10 10
tan sin 1
cos ， 3 ………………………………………………………………………8 分
tan 2 2 tan 3
1 tan 2
4 ，……………………………………………………………… 10 分
tan( 2 ) tan tan 2 1
1 tan tan 2 ．………………………………………………………12 分
19.（1）由 可知，当 时， ；………………1 分
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{#{QQABJQCAggCAAAIAAAhCUwHqCAAQkBEACKoOgAAAMAAAiAFABAA=}#}
当 时， ,于是有 ，解得 ，那
么 ………………4 分
所以，当 时，
∴ 个小时后还剩 的污染物 ………………6 分
（2）当 时，有 ………………8 分
解得
∴污染物减少 所需要的时间为 个小时．………………12 分
20.解：解：(1) ∵ ( ) = 3 2 3 × 1+ 2 + 3 = 3sin(2 )，…………3 分
2 2 2 3
∴T= ……………………………………………………………………………………4 分
令 2
≤ 2 ≤ 2 + ( ∈ )
2 3 2 ，
得 ≤ ≤ + 5 ( ∈ )，
12 12
∴ ( )的单调递增区间为[ , + 5 ]( ∈ )；………………………6 分
12 12
(2) ∵ ∈ [0, ]
2 ，
∴ 2 ∈ [ , 2 ]，…………………8 分
3 3 3
∴ sin(2 ) ∈ [ 3 , 1]，…………………10 分
3 2
∴ ( ) ∈ [ 3 , 3]，
2
∴ ( )的最大值为 3，最小值为
3． …………………12 分
2
21.解：(1)对于② 2 2( ) = 1 ( ) ，当 x = 10时，Q2(10) = 1 (
2 )10，
3 3
又 0 < ( 2 )10 < ( 2 )0 = 1，所以Q2(10) = 1 (
2 )10 < 1，故不符合题意，…………1 分
3 3 3
对于③Q3(x) = 300logax + b，当 x = 0时，它无意义，故不符合题意，…………2 分
故选①Q (x) = 1 x3 2x21 + cx，…………3 分50
由表中的数据可得， 1 × 103 2 × 102 + × 10 = 1420，解得 = 160，
50
∴ ( ) = 1 3 2 2 + 160 ．…………………6 分
50
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{#{QQABJQCAggCAAAIAAAhCUwHqCAAQkBEACKoOgAAAMAAAiAFABAA=}#}
(2)根据题意，该车在高速上行驶 300 ，所用时间为300 ，
则所耗电量为 ( ) = 300 ( ) = 300 (2 2 10 + 200) = 600( + 100 ) 3000，
根据函数的性质可知， ( )在[区间 80，120]上单调递增，
∴ ( ) = (80) = 600 × (80 +
100 ) 3000 = 45750 ，………8 分
80
该车在国道上行驶 50 ，所用时间为50 ，
则所耗电量为 ( ) = 50 ( ) = 50 ( 1 3 2 2 + 160 ) = 2 100 + 8000，
50
∵ 0 ≤ ≤ 60，∴当 = 50时， ( ) = (50) = 5500 ，………10 分
∴当这辆车在高速上的行驶速度为 80 / ，在国道上的行驶速度为 50 / 时，总耗
电量最少，最少为 45750 + 5500 = 51250 ． ………12 分
22. 解：(1)假定函数 ( ) = 2 是“自均值函数”，显然 ( ) = 2 定义域为 ，
则存在 ∈ ，对于 1 ∈ ，存在 2 ∈ ，有
1+2 2 = ，即2 2 = 2 1，依题意，函2
数 ( 2) = 2 2在 上的值域应包含函数 = 2 1在 上的值域，而当 2 ∈ 时， ( 2)
值域是(0, +∞)，当 1 ∈ 时， = 2 1的值域是 ，显然(0, +∞)不包含 ，所以函
数 ( ) = 2 不是“自均值函数”；……………………………………………3 分
(2)依题意，存在 ∈ ，对于 1 ∈ [0,1]，存在 2 ∈ [0,1]，
有 1+ ( 2) = ，即 sin( +
2 ) = 2 6 1，当 1 ∈ [0,1]时， = 2 2 1的值域是[2
1,2 ]，因此 ( 2) = sin(
2 + )6 在 2 ∈ [0,1]的值域包含[2 1,2 ]，
当 2 ∈ [0,1]时，而 > 0，则 ≤ 6 2 + ≤ +6 6，若 + ≤6 2，则 (
1
2) = ， ( 2) ≤ 1，2
此时 ( 2)值域的区间长度不超过
1，而区间[2 1,2 ]长度为 1，不符合题意，
2
于是得 +
> ， ( 2) = 1，要使 ( 2) = sin( +
6 2 2
)
6 在 2 ∈ [0,1]的值域包含
[2 1,2 ]，则 ( 2) = sin( 2 +
)
6 在 2 ∈ [0,1]的最小值小于等于 0，
又 2 +
∈ [ , 3 ]时， ( 2)递减，且 ( ) = 0，6 2 2
从而有 +
≥
6 ，解得 ≥
5 ，
6
此时，取 = 1， = 2 1的值域是[0,1]包含于 ( 2)在 2 2 ∈ [0,1]的值域，
所以 的取值范围是[ 5 , +∞)；……………………………………………7 分
6
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{#{QQABJQCAggCAAAIAAAhCUwHqCAAQkBEACKoOgAAAMAAAiAFABAA=}#}
(3)依题意，存在 ∈ ，对于 1 ∈ [0,2]，存在 2 ∈ [0,2]，有
1+ ( 2) = ，即 22 + 2 2 2
+
3 = 2 1，当 1 ∈ [0,2]时， = 2 1的值域是[2 2,2 ]，
因此 ( 2) = 22 + 2 2 + 3在 1 ∈ [0,2]的值域包含[2 2,2 ]，并且有唯一的 值，
当 ≥ 0时， ( 2)在[0,2]单调递增， ( 2)在 2 ∈ [0,2]的值域是[3,4 + 7]，
由[2 2,2 ] [3,4 + 7]得 2 2 ≥ 3 5 72 ≤ 4 + 7，解得 ≤ ≤ 2 + ，此时 的值不唯一，不2 2
符合要求，当 < 0时，函数 ( 2) = 22 + 2 2 + 3的对称轴为
1
2 = ，
当 1 ≥ 2，即 1 ≤ < 0时， ( 2)在[0,2]单调递增， 2 ( 2)在 2 ∈ [0,2]的值域是
[3,4 + 7]，由[2 2,2 ] [3,4 + 7]得 2 2 ≥ 3 5 72 ≤ 4 + 7，解得 ≤ ≤ 2 + ，2 2
要 的值唯一，当且仅当5 = 2 + 7，即 = 1， = 5，则 = 1，
2 2 2 2 2
当 0 < 1 < 2，即 < 1时， ( 2)
1
= ( ) = 3
1，
2 ( 2) =
{ (0), (2)}，又因为 (0) = 3， (2) = 4 + 7，
由[2 2,2 ] [3,3 1 ]且 1 ≤ < 1，得：5 ≤ ≤ 3 1，此时 的值不唯一，不符
2 2 2 2
合要求，由[2 2,2 ] [4 + 7,3 1 ]且 < 1，得：2 + 9 ≤ ≤ 3 1，此时 的值
2 2 2
不唯一，不符合要求，综上得： = 1，所以函数 ( ) = 2 + 2 + 3， ∈ [0,2]有且2
仅有 1个“自均值数”，实数 的值是 1． ………………………………………12 分
2
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{#{QQABJQCAggCAAAIAAAhCUwHqCAAQkBEACKoOgAAAMAAAiAFABAA=}#}2023 年下学期期末质量监测试卷
高一数学
（时量：120 分钟 总分：150 分 考试形式：闭卷）
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求。
1.已知集合 = { |1 < ≤ 4, ∈ }， = { |2 ≤ < 5, ∈ }，则 ∩ =( )
A. [2,4] B. (2,4) C. {2,3,4} D. {3}
2.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴非负半轴，若角 的终边过点 ( 3 , 1 )，
2 2
则 2 =( )
A. 3 B. 1 C. 3 D.
1
2 2 4 4
3.已知 ( ) = 2 + 1 是定义域为[ , + 1]的偶函数，则 2 =( )
A. 0 B. 3 C. 2 D.
1
4 4
4.函数 ( ) = ( 1 ) 5 的零点所在的一个区间是( )
2
A. ( 3, 2) B. ( 2, 1) C. ( 1,0) D. (0,1)
5.“3 > 9”是“1 < 1”的( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数 ( ) = | | 2 ( ≠ 0)的图像大致为( )2 +2
A. B.
C. D.
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{#{QQABJQCAggCAAAIAAAhCUwHqCAAQkBEACKoOgAAAMAAAiAFABAA=}#}
1
7.已知函数 + 1, < 0 ( ) = ( )2 ，则不等式 (2 2 1) > (3 + 4)的解集为( )
2 2, ≥ 0
A. 1 < < 5 B. < 1 或 > 5
2 2
C. ( ∞, 1) ∪ ( 5 , +∞) D. ( 1, 5 )
2 2
8.对于函数 ( )和 ( )，设 ∈ { | ( ) = 0}， ∈ { | ( ) = 0}，若存在 ， ，使得| | ≤ 1，
则称 ( )和 ( )互为“零点相邻函数”，若函数 ( ) = ln( 1) + 2 与 ( ) = 2 + 4
互为“零点相邻函数”，则实数 a的取值范围是( )
A. [4, 13 ] B. [4,5] C. [ 13 , 5] D.
3 3 [4, +∞)
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的对 2分，有选错的得0分。
9.已知两个命题：(1)若 > 0，则 2 + 1 > 5; (2)若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对
角线相等．则下列说法正确的是 ( )
A. 命题(2)是全称量词命题
B. 命题(1)的否定为：存在 > 0，2 + 1 ≤ 5
C. 命题(2)的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D. 命题(1)和(2)被否定后，都是真命题
10.函数 ( ) = ( + )( , , 是常数， > 0， > 0， < )2 的部分图象如图所示，
下列结论正确的是( )
A. (0) = 1
B. 在区间[ , 0]3 上单调递增
C. 将 ( )的图象向左平移
6个单位，所得到的函数是偶函数
D. ( ) = ( 2 )
3
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11.设 x， ∈ +， = + ， = ，以下四个命题中正确的是( )
A. 若 P 为定值m，则 S有最大值 2
B. 若 = ，则 P有最大值 4
C. 若 = ，则 S有最小值 4
D. 若 2 ≥ 总成立，则 k的取值范围为 ≤ 4
12.我们把定义域为[0, +∞)且同时满足以下两个条件的函数 ( )称为“ 函数”：(1)对任
意的 ∈ [0, +∞),总有 ( ) ≥ 0；(2)若 ≥ 0， ≥ 0，则有 ( + ) ≥ ( ) + ( )成立.下
列判断正确的是( )
A. 若 ( )为“ 函数”，则 (0) = 0
B. 函数 ( ) = 0, ∈ 1, 在[0, +∞)上是“ 函数”
C. 函数 g(x) = x2 + x 在[0, +∞)上是“Ω函数”
D. 若 f(x)为“Ω函数”，x1 > x2 ≥ 0，则 f(x1) ≥ f(x2)
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.已知集合 = {0, , 2 3 + 2}，且 2 ∈ ，则实数 = ．
14.幂函数 f(x) = (m2 2m 2)xm在区间(0, +∞)上单调递增，则实数m的值为______ .
15.已知 a > b > 1，若log b + log = 5， a = ，则 + 2 =______.2
16.已知函数 ( ) = | + 1 | | 1 |，关于 x的方程 2
( ) | ( )| + 4 = 0( ∈ )恰有 6
个不同实数解，则 t的取值范围是______ .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题 10分)已知集合 = { | < < 2 }， = { | ≤ 5 或 > 4}.
(1)当 = 3 时，求 ∪ ( )；
(2)若 ，求实数m的取值范围.
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18.(本小题 12分)已知 , 都是锐角，
4 5
（1）若 sin , cos( ) ，求 sin 的值；
5 13
（2）若 tan 1 ,sin 10 ，求 tan( 2 )的值.
7 10
19.(本小题 12分)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P（单
位：mg/L）与时间 t（单位：h）间的关系为 P=P e-kt0 ，其中 P0， k 是正的常数．如果在前
5h消除了 10%的污染物，那么：
（1）10h后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少 50%所需要的时间？（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
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20.(本小题 12分).已知 ( ) = 3 3 2 + 3．
2
(1)求 ( )的最小正周期及单调递增区间；
(2)若 ∈ [0,
]
2 ，求 ( )的最大值和最小值．
21.(本小题 12分)比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主
要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有
关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试(国道限速 60 / ).经数次测试，得
到该纯电动汽车每小时耗电量 (单位： )与速度 (单位： / )的数据如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系，现有以下三种函数模
型供选择：① 1( ) =
1 3 2 2 + ；② 2( ) = 1 (
2 ) ； ( ) = 300 + ．
50 3 3
(1)当 0 ≤ ≤ 60 时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由)，并求
出相应的函数表达式；
(2)现有一辆同型号纯电动汽车从 A地行驶到B地，其中，国道上行驶 50 ，高速上行驶
300 .假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量 与速度
的关系满足(1)中的函数表达式；高速路上车速 (单位： / )满足 ∈ [80,120]，且每小时
耗电量 (单位： )与速度 (单位： / )的关系满足 ( ) = 2 2 10 + 200(80 ≤ ≤
120)).则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多
少？
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22.(本小题 12分)已知函数 ( )的定义域为 ，若存在实数 ，使得对于任意 1 ∈ 都存在
1+ ( 2)2 ∈ 满足 = ，则称函数 ( )为“自均值函数”，其中 称为 ( )的“自均值数”．2
(1)判断函数 ( ) = 2 是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = sin( +
)( > 0)
6 ， ∈ [0,1]为“自均值函数”，求 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = 2 + 2 + 3， ∈ [0,2]有且仅有 1 个“自均值数”，求实数 的值．
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