四川省乐山市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

机密★启用前〔考试时间：2024年1月21日下午3：00—5：00〕
乐山市高中2025届期末教学质量检测
数 学
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
注意事项：
1．答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚﹒
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球
2．已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是
A． B．2 C． D．
3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是
A．两条平行直线确定一个平面 B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面
4．已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是
A． B． C． D．
5．如图，正方形A＇B＇C＇D＇是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形ABCD的直观图，若，则四边形ABCD周长为
A． B．4 C． D．8
6．已知直线：，直线过点，且，则直线与直线间的距离是
A． B．2 C．3 D．
7．已知正方体棱长为1，点P是正方体表面上一个动点，满足，则点P的轨迹长度为
A．2 B． C．4 D．
8．已知点是直线上一动点，PM与PN是圆C：的两条切线，M、N为切点，由四边形PMCN的最小面积为
A．4 B． C．2 D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是
A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离
C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个
11．如图，在正方体中，，点P为线段上的一动点，则下列结论正确的是
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．当点P与点重合时，平面平面
D．当时，直线与平面所成角的正切值为
12．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线（），弦AB过焦点F，△ABQ为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是
A．点Q在抛物线（）的准线上
B．存在点Q，使得
C．
D．△ABQ面积的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则 ．
14．直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的一般方程是 ．
15．如图，圆O的半径为2，A是圆内一个定点，且，B是圆外一个定点，且，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，线段BP的垂直平分线和半径OP相交于点R，当点在圆上运动时，点Q和点R的运动轨迹分别是椭圆和双曲线，设它们的离心率分别为和，则 ．
16．在多面体PABCQ中，，且QA，QB，QC两两垂直，则该多面体的外接球半径为 ，内切球半径为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（本小题满分10分）
已知斜棱柱中，，．设，，．
（1）用基底，，表示向量，并求；
（2）求向量与向量夹角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
已知、分别是双曲线C：（，）的两个焦点，若双曲线的一条渐近线与直线恰好平行．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若，M为双曲线上一点，且，求的值﹒
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，，，E为PC中点，F为AB中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求点B到平面DEF的距离．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线M：，若O为坐标原点，A、B为抛物线上异于O的两点．
（1）若，P在抛物线上，求的最小值；
（2）若．求证：直线AB必过定点．
21．（本小题满分12分）
已知直棱柱中，，，，，D为线段上任一点，E，F分别为AC，中点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，平面DEC与平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆T以坐标原点O为对称中心，以坐标轴为对称轴，且过，．
（1）求椭圆T的标准方程；
（2）若A、B为椭圆上两点，且以线段AB为直径的圆经过O点．
①求证：为定值；
②求△AOB面积的取值范围．
乐山市高中2025届期末教学质量检测
数学参考答案及评分意见
2024.1
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．； 14．； 15．； 16．；．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：
（1）．
∴
．
（2）．
∴．
∴
．
∴．
18．解：
（1）∵渐近线为，
∴即．
∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴或．
∵，
∴．
19．证明：
（1）取PD中点G，连结AG，EG．
∵E，G分别是PC，PD的中点，
∴EG∥DC且．
∵F是AB中点，AB∥CD，
∴EG∥AF且．
∴AFEG为平行四边形．
∴EF∥AG．
又∵平面PAD，平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）∵E是PC中点，
∴点E到平面ABCD的距离为．
∵，，，
∴且．
∴．
∵AFEG为平行四边形，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∴点B到平面DEF的距离．
20．解：
（1）设，
∵P在抛物线上，
∴．
∴．
∴的最小值为．
（2）显然直线斜率不为零，设直线AB的方程为，，
联立得，
有两个交点故．
∴，．
∵，
∴．
∴，得，
∴或（舍）．
∴直线AB过定点．
21．解：
（1）∵，，，
∴．
∵．
∴BC⊥AB．
建立如图所示空间直角坐标系，
设，
则，，，．
∴，．
∴
∴．
（注：取BC中点G，通过，也可以证明）
（2）∵，，
设平面DEC的法向量为：
∴
令，
∴．
∵AB⊥平面，
∴平面的法向量为：．
∴．
∴当时，平面DEC与平面所成的二面角的正弦值最小，最小值为．
22．解：
（1）设椭圆T的方程为，（，，），
∴，
解得．
则椭圆的标准方程为．
（2）①以线段AB为直径的圆经过O点，
∴OA⊥OB．
当直线OA的斜率不存在时，，，
∴．
当直线OA的斜率存在时，设：（），则：．
设、，
联立得．
同理可得．
∵，
∴．
∴．
②当直线OA斜率不存在时，显然．
当直线OA的斜率存在时，
由①知，，
∴．
令，
∴．
∵，
∴，即．
综上，△AOB的面积的范围是．
（注：）