2015快乐暑假初三升初四衔接复习部分——矩形（附答案）

2015快乐暑假初三升初四衔接复习部分——矩形（附答案）
一、知识梳理：矩形的性质：
1、矩形的四个角 ；矩形的对角线 。
2、矩形既是 图形，又是 图形。
矩形的判定：1、有一个角是 的平行四边形是矩形。
2、对角线 的平行四边形是矩形。
3、 的平行四边形是矩形。
二、典例解析
1、（2015 滕州市校级二模）如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明．
　
2、（2015 聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
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3、（2015 泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（　　）
　 A．2 B．4 C． D． 2
　
（3题图） （4题图） （5题图）
4、（2015 临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
5、（2015 海南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　　　　　．
6．（2015 哈尔滨）在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为　　　　　　．
7、（2015 得荣县三模）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
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8、（2015 攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　　　　　　．
（8题图） （9题图） （10题图）
9、如图，以△AOD的三边为边，在AD的同侧作三个等边三角形△AED、△BOD、△AOF，请回答下列问题并说明理由：
（1）四边形OBEF是什么四边形？
（2）当△AOD满足什么条件时，四边形OBEF是菱形？是矩形？
（3）当△AOD满足什么条件时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在？
10、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
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11、3．（2015 肥城市一模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）
　 A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D． AC=BD
　
（11题图） （14题图） （15题图） （16题图）
12、（2015 兰州二模）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　）
　 A．对角线相等且互相平分 B． 对角线相等且互相垂直平分
　 C．对角线互相平分 D． 四条边相等，四个角相等
13、（2015 漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
　 A．四条边相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角 D．对角线相等
14、（2015 泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为　　　　　　．
15、（2015 宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　　　　　　．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．
16、（2013秋 微山县期末）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是　　　　　　．
17、（2015 滨江区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，BE=CE=AD．
（1）求证：四边形ECDA是矩形；
（2）当△ABC是什么类型的三角形时，四边形ECDA是正方形？请说明理由．
　
18、（2015 阳山县一模）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=　　　　　　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
19、（2013 大庆）已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF．
（1）求证：△ABF≌△ACE；
（2）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．
20、（2012 青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
2015快乐暑假初三升初四衔接复习部分——矩形参考答案
1、（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABC=∠BCD=90°，∴∠AEB+∠BAE=90°，
∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM，理由为：
证明：∵EF⊥AE，∴∠ABC=∠BGA=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF．
∵BG⊥AC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∠BAG+∠ECM=90°，
∴∠ABG=∠ECM．∴△ABH∽△ECM．
2、证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴ BECD是矩形．
B．4、B．5、14．
6、5.5，或0.5　．
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，
∵四边形BCFE为菱形，∴CF=EF=BE=BC=5，∴DF===3，
∴AF=AD+DF=8，
∵M是EF的中点，∴MF=EF=2.5，∴AM=AF﹣DF=8﹣2.5=5.5；
②如图2所示：同①得：AE=3，
∵M是EF的中点，∴ME=2.5，∴AM=AE﹣ME=0.5；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；
7、∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=8，CF=6，∴EF==10，∴OC=EF=5；
（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
8、（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．
解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
9、解：（1）平行四边形；
∵△AED和△OBD都是等边三角形，∴∠ADE=∠ODB=60°，AD=ED OD=BD，
∴∠ADE﹣∠ODE=∠ODB﹣∠ODE 即∠ADO=∠EDB，
∴△ADO≌△EDB．∴AO=EB，
∵△AOF是等边三角形，AO=FO，∴FO=EB
同理：BO=FE ∴四边形OBEF是平行四边形
（2）当OA=OD时，四边形OBEF为菱形，
当∠AOD=150°时，四边形OBEF为矩形；
（3）当∠AOD=60°时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在．
10、解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，
∵AF=BD，∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），
∴∠ADB=90°，∴ AFBD是矩形．
11、D．12、C．13、D．14、　20　．15、AC=BD．答案不唯一．16、对角线互相垂直　．
17、（1）证明：∵在四边形AECD中，AD∥EC且AD=EC，∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB=AC，BE=CE，∴AE⊥BC，∠AEC=90°，∴四边形AECD是矩形；
（2）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ECDA是正方形．
∵△ABC等腰直角三角形时，∠AEC=90°，
又∵BE=CE∴AE==CE，又∵四边形AECD是矩形，∴四边形ECDA是正方形．
18、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
，∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．∴四边形MENF是菱形．
（3）解：
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．
∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°．同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
故答案为：2：1．
19、（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，AE∥BD，∴∠EFA=∠BAC=60°，∠CAE=∠ACB=60°，
∴△EAF是等边三角形，∴AF=AE，
在△ABF和△ACE中，∵，∴△ABF≌△ACE（SAS）．
（2）△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
理由：连接AD，
∵DE∥AB，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，
∵D是BC中点，∴BD=DC，∴AE=DC，
∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥DC，∴四边形ADCE是矩形，∴△DCE是直角三角形，∠DCE=90°．
20、（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵点O是EF的中点，∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，
又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，
∴BD=AC，
∴ ABCD是矩形．
一、知识梳理：
二、典例解析
三、巩固提升
四、拔高训练
五、课堂检测