慈溪市2023学年第一学期期末考试
高二数学学科参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
题号123456
78
答案BADCACBD
二、选择题：本大题共4小题，年小愿5分，共20分：全部选对的得5分，有选错的得0分
部分选对的得2分。
题号9101112
答案CD BCD ABD BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.d:
14.150:
15.02:
16.12-8√2
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
17.定义域为(0，+⊙)
…1分
(I)当a=1时，fx)=lnx-x,所以f气=1-l=-
…2分
r
令f(x)>0,则0
1,
…4分
所以函数fx)的递增区间为(0，)，递减区间为L,+)
…5分
(2)因为0=g-1=-x，a>0,
…6分
令f气(x)>0,则0a:
所以函数f(x)在(0，a上单调递增，在(a,+o)上单调递减，
…8分
所以f(x)s=f(a=alna-a
…10分
18。)由题意得，直线1的方程为y-15x+5
即25x+2y+1■0.
…2分
所以圆心到直线的距腐d=
1
2+44
…4分
所以AB=2,4-
3万
…6分
162
(2)由题意知，圆心到直线1的距离d=1.
…7分
若直线1的斜率不存在，则1的方程为x=-5,
,不符合题意
…8分
2
2
若直线1的斜率存在，设直线1的方程为)-1=kx+5,即2-2y+k+2=0
…9分
(高二数学期末)参考答案第1页共4页
则d=
5k+2
=1,解得k=0或k=45,
…11分
4k2+4
所以直线1的方程为y-1=0或45x-y+7=0.
…12分
19.(1)建立以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为xx,:轴的空间直角坐标系，则
A(2,0,0),A(2,03),B2,20),B(2,2,3),C0,20)
E(2.L0).F1,2.0).
…2分
所以DE=(2,L0)，AF=(-1,2,0),A4=(0,0,3)
所以DE.AF=-2+2=0,DE.AA=0
即DE⊥AF,DE⊥AA',
…5分
又因为AF∩AA=A,
所以DE⊥平面A'AF.
6
即-43=0，所以1-号或-号因为>，所以1-号
…7分
所以经0.P兮20，所以E-号-.任-号，正-@-号司
设平面A'EF的一个法向量为n=(:y,),则
0正0.即2-3x=0
EF=0
3
所以取n=(2,63):
…8分
设平而B'EF的一个法向量m=(化，y2),则
m-BE=0
,即
2y-3=0
m.EF=0
2+2y=0
所以取m=(-2,6.1):
…9分
所以cs=
鞋·程
-37-37√4幻
mm7×而
…11分
287
所以平面gEF与平面A"EF的夹角的余弦值为37，个
…12分
287
20.(1)因为1=8+111
a2a,22a'
…1分
所似-1女-，对1
…4分
dan 2 d.
a
所以数列仁-)是以为首项和公比的等比数列。
…5分
a.
(高二数学期末)参考答案第2页共4页慈溪市2023学年第一学期期末测试卷
高二数学学科试卷
说明：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为
A． B． C． D．
2．双曲线的一个焦点坐标为
A． B． C． D．
3．已知曲线在点处的切线方程为，则
A．1 B．0 C． D．
4．已知等差数列的前5项和，且，则公差
A． B． C． D．
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则
A． B． C． D．
6．已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则
A． B． C．0 D．
7．已知A，B是椭圆E：（）的左右顶点，若椭圆E上存在点M满足，则椭圆E的离心率的取值范围为
A． B． C． D．
8．已知定义在R上的函数的导函数为，若，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线的方程为，直线的方程为，
A．则直线的斜率为 B．若，则
C．若，则或 D．则直线过定点
10．下列函数的导数计算正确的是
A．若函数，则
B．若函数（且），则
C．若函数，则（e是自然对数的底数）
D．若函数，则
11．任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），（）．若，记数列的前n项和为，则
A．或16 B． C． D．
12．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．Q是线段上动点，R是线段PQ上动点，则
A．当Q为线段中点时，PQ∥平面
B．当Q为重心时，R到平面的距离为定值
C．当Q在线段上运动时，直线PQ与平面所成角的最大角为
D．过点P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周长为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆C方程为，则圆C的半径为 ．
14．已知等比数列的前n项和为，且，，则 ．
15．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为_ ．
16．设F为抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，且FA⊥FB，则△AFB的面积最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值．
18．（12分）
已知圆内有一点，直线l过点M，与圆交于A，B两点．
（1）若直线l的倾斜角为120°，求；
（2）若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程．
19．（12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中，底面ABCD是正方形，，，E，F分别是棱AB，BC上的动点．
（1）若E，F分别为棱AB，BC中点，求证：DE⊥平面A＇AF；
（2）若，且三棱锥A＇-BEF的体积为，求平面B＇EF与平面A＇EF的夹角的余弦值．
20．（12分）
已知数列的首项，且满足（）．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，令，求数列的前n项和．
21．（12分）
已知函数（）．（其中e是自然对数的底数）
（1）若对任意的时，都有，求实数a的取值范围；
（2）若，求证：．（参考数据：，）
22．（12分）
已知双曲线C的渐近线方程为，且点在C上．
（1）求C的方程；
（2）点A，B在C上，且MA⊥MB，MD⊥AB，D为垂足．证明：存在点N，使得为定值．