河南省周口市太康县2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（含解析）

河南周口太康县2023-2024学年高一上期1月月考试题
数 学
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集，集合，，则等于( )
A． B． C． D．
2．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．若函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义在上的偶函数，且当时，若对任意实数，都有恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的值域为，那么实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列函数中，定义域为的函数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
11．已知是第一象限角，且，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，对关于的方程，下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程有3个实根 B．当时，方程有5个不等实根
C．若方程有2个不等实根，则
D．若方程有6个不等实根，则
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，则的值为____．
14．已知函数的最小正周期是，且的图象过点，则的图象的对称中心坐标为___________.
15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.
16．对任意，一元二次不等式都成立，则实数k的取值范围为______．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中,角的顶点坐标原点,始边为的非负半轴,终边经过点.
(1)求的值;
(2)求的值.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的最大值和对应的取值；
(3)求在的单调递增区间.
19.（本小题满分12分）
已知定义在上的奇函数，在时，且．
(1)求在上的解析式；
(2)若，常数，解关于的不等式．
20.（本小题满分12分）
已知函数是奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)证明函数在上单调递增.
21.（本小题满分12分）
已知函数．
(1)若函数有唯一零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意实数，对任意，恒有成立，求正实数的取值范围．
22.（本小题满分12分）
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
参考答案
1．B 2．D ∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0， ∴0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x为第四象限角，故选D． 3． A
4．C 因为，，，所以.
5．A 依题意，当时，时，在上单调递增，又是定义在上的偶函数，即有在上单调递减，且它的图像关于轴对称，对任意实数，都有恒成立，所以，于是得，两边平方整理得，令，因此，解得或，所以实数的取值范围是．故选：．
6．B 因为函数满足对任意的，都有成立，
所以函数是定义在上的减函数，
所以，解得，所以 故选：B
7．A 当时，函数在上单调递增，其取值集合为，而函数的值域为，因此函数在上的取值集合包含，当时，函数在上的值为常数，不符合要求，当时，函数在上单调递减，取值集合是，不符合要求，于是得，函数在上单调递增，取值集合是，则，解得，所以实数的取值范围是．故选：．
8．A 当时，，，所以，
当时，单调递减，所以；
综上，，所以函数的值域为.故选：A.
9．AC 对于A，函数的定义域为，符合题意；对于B，函数的定义域为，不符合题意 对于C，函数的定义域为，符合题意；
对于D，函数的定义域为R，不符合题意. 故选：AC.
10．AD 对于A，∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故选项A正确； 对于B，当，，，时，有，，但此时，，，故选项B错误； 对于C，当，，时，有，，但此时，，，故选项C错误；对于D，∵，∴，∴，∴，∴， 由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确. 故选：AD.
11．BC 是第一象限角，且，当时， 此时，所以A错误；易知，，所以，又因为，即，所以，即C正确；又因为，所以，因此，即，故B正确；取，则，所以D不成立. 故选：BC.
12．ABD 由函数可知，图象如下：
对于A，当时，
方程即为， 即，所以,而，由图可知与有三个交点，即方程有3个不同的实根.故A正确； 对于B，当时，方程为，即，解得或；
时，由图可知与有三个交点，即此时方程有3个不同的实根，
时，由图可知与有两个交点，即此时方程有2个不同的实根；
综合可知，当时，方程有5个不等实根；即B正确；
对于C，令，则方程等价成；
由图可知，若方程有2个不等实根，包括以下三种情况，
①方程只有一根，且 则，即或 由A可知，时不合题意，舍去；
当时，此时，方程只有一根，不合题意；
②方程只有一根，且， 由①知，此时也不符合题意；
③方程有两个不相等的实数根，且或 或 令
若，需满足解得，不合题意；
若，需满足，解得,即
若，需满足，解得，不合题意；
综上可知，若方程有2个不等实根，则；故C错误；
对于D，若方程有6个不等实根，则需满足方程有两个不相等的实数根，且；
则需满足解得即可得；故D正确. 故选：ABD
. 故答案为：.
由题意函数的最小正周期是，
可知， 再由的图象过点，可得，
则,故, 所以由知：，所以，令，可得，
所以的图象的对称中心坐标为， 故答案为：
设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.
因为对任意，一元二次不等式都成立，
所以，解得，所以实数k的取值范围为
17．解：（1）由题知角终边经过点,,
, , ,
;
（2）由(1)知, 则原式
.
18．解：（1）因为函数， 所以的最小正周期为；
（2）因为， 由，可得，
当时，函数有最大值；
由，可得，
又， 函数的单增区间为.
19．解：（1）∵是上的奇函数且时，，
∴当时，，
又由于为奇函数，∴，∴，
又，，∴，
综上所述，当时，
（2）时，，当时，，
，即，所以，
设，不等式变为， ∵，∴，
∴．
而当时，，且，
又在上单调递增，
所以，所以，
∴，即 所以．
综上可知，不等式的解集是．
20．解：（1）∵函数是奇函数，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴， ∴.
（2）由（1）得，任取，，且，
∴，
∵，∴，，，∴，即，
∴函数在上单调递增.
21．解：（1）函数有唯一零点，
即①有唯一零点，即有唯一零点，
当时，，解得，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，其
当时，，方程有两个相等的实数根，符合题意；
当时，，方程有两个不等的实数根，；
若为①的解，则，解得；
若为①的解，则，解得；
要使①有唯一实数解，则．综上，实数的取值范围为．
（2）函数，其中内部函数在上为减函数，外部函数为增函数， 由复合函数性质知为上的减函数，
，，
不等式转化为，
即转化为，
即
令，，即．
二次函数对称轴为，由，开口向上
（i）当时，，函数在上单调递减，
，解得，不符合题意，舍去；
（ii）当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得，
即；
（iii）当时，，函数在上单调递增，
，解得，
即； 综上可知，正实数的取值范围．
22.解：（1）对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.