广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题（含解析）

玉林市2023年秋季期高二年级期末教学质量监测
数学
（试卷总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名 班级 考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知等比数列中，，则（ ）
A. B.1 C.2 D.4
2.已知曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，是的中点.设，用表示，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的下支的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若直线在轴 轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
6.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（ ）
A. B. C.1 D.2
7.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（ ）
A.561 B.595 C.630 D.666
8.已知是双曲线的左 右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知空间向量，则下列说法不正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的焦点坐标是
B.焦点到准线的距离是2
C.若点的坐标为，则的最小值为2
D.若为线段中点，则的坐标可以是
11.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A.是递减数列 B.
C.当时， D.当或5时，取得最大值
12.过点作两条相互垂直的射线与圆分别交于两点，则弦长可能的取值是（ ）
A. B.4 C.5 D.6
三 填空题：本题共4小题，包小题5分，共20分
13.直线与直线平行，则__________.
14.数列的前项和为，若，则__________.
15.已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则此椭圆的短轴长为__________；弦长__________.
16.在中，为边上的动点，沿将折起形成直二面角，当最短时，__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.
17.（10分）已知等差数列的前项和为，若，且__________.在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答.
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（12分）如图，在正方体中，为平面的中心.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）已知双曲线经过点，一条浙近线的倾斜角为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若点，过双曲线的右焦点的直线交双曲线于.以为直径的圆是否恒过点，请说明理由.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且.
（1）求证，平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
21.（12分）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系.
（1）求出建筑物的中心的坐标；
（2）由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.
（附：参考数据.）
22.（12分）定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.
玉林市2023年秋季期高二年级期末教学质量监测
数学参考答案与试题解析
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D B C B C A
1.【解答】等比数列中，，解得.故选：.
2.【解答】因为表示焦点在轴上的椭圆，则，即.故选：.
3.【解答】在四面体中，是的中点，，
.故选：D.
4.【解答】满足的点的轨迹是整个双曲线；
满足的点在双曲线的下支；
满足的点在双曲线的上支；
满足，不存在满足的点；故选：.
5.【解答】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，
直线方程为，或，将点代入上式，解得
直线的方程为或.故选：C.
6.【解答】如图所示，，过点作，垂足为.
，
设，则，解得.
的面积.故选：.
7.【解答】设各层球的个数构成数列，
由题意可知，
故，故选：.
8.【解答】不妨设，椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，
虚半轴长为，由椭圆及双曲线定义可得，即，
因为，且分别为的中点，所以，
又到渐近线的距离，
所以，又，解得①，
因为，所以，即，整理得②，
联立①②，解得，所以.故选：.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ABD BD ACD ABC
9.【解答】由，得，故错误；，故错误；
又，故正确；
，所以与不垂直，故错误.故选：.
10.【解答】由题意，故错误；焦点到准线的距离是正确；
对于，过点作垂直于准线，垂足为，则
，
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故错误；
对于，假设的坐标是，设，则，
由，两式相减得，即，
所以，即，所以直线的方程为，即，
将代入得，所以直线过点，符合题意，
所以的坐标可以是，故正确.故选：.
11.【解答】当时，，又，
所以，则是递减数列，故正确；，故错误；
当时，，故正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而是正整数，且或5距离对称轴一样远，
所以当或5时，取得最大值，故正确.故选：.
12.【解答】如图，圆的圆心，半径为3，圆的直径为6，过圆心的直线的端点与，不存在的情况，否则在圆上，所以排除选项.
当轴时，，故正确；
当与正方向成角时，
，
，解得，
此时，故正确；
同理当与正方向成角时，可得故正确；故选：.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
题号 13 14 15 16
答案 1
13.【解答】由解得或.经检验不合题意，所以，
14.【解答】因为，
所以.故答案为：.
15.【解答】直线经过椭圆的左焦点，则，
的周长为，解得，故，椭圆的短轴长为.
由得，
16.【解答】作于点，连接，
设，则，所以，
在中，由余弦定理可得，
，
因为为直二面角，所以面，所以，
则，
当最短时，，所以，即此时为的角平分线，
由角平分线定理可得，.故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程和演算步骤.
17.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
若选择条件①，由题可得，
解得，
若选择条件②，
由题可得，
解得，
（2）由（1）知，选择两个条件中的任何一个，都有，则
.
18.解：解法一：（1）证明：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的坐标系.
，
设面的法向量为，
，
令，则，
且平面
平面
（2）设到面的距离为，
.
解法二：（1）如图，连接
且，平行四边形中
平面平面，同理，则平面
且平面平面，
又为的中点，平面平面
解法三：连接交交于点，连接，
为平面的中心是的中点，
四边形是平行四边形
是的中点，是的中点，，
四边形是平行四边形，
平面平面平面
（2）设设到面的距离为
由，得，解得
19.解：（1）因为双曲线的一条渐近线倾斜角为，所以
故，故，所以双曲线.
（2）双曲线的右焦点为，当直线斜率不为零时，设直线的方程为：，设，，
由得
恒成立，
，
即以直径的圆恒过点.
当直线斜率为零时，此时以为直径的圆为过点
综上，以直径的圆恒过点.
20.解：（1）证明：平面平面，
平面，
平面平面平面.
（2）解法一：，且，
，
为等腰直角三角形，
，取中点，连接，
，即，
由（1）可得，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立如图所示的坐标系，
由（1）可得，平面，
为直线与平面所成角，即，
，
又，
所以，
，
设平面的法向量为，
，令，则，
轴平面平面的法向量，
设为二面角的平面角，且为锐角，
.二面角的余弦值为.
解法二：，且，
，
为等腰直角三角形，，
由（1）可得，平面为直线与平面所成角，即，
，又，
过作垂直于的延长线交于，过作交于，则
平面平面
又平面
又平面
为二面角的平面角
，
由得，
，二面角的余弦值为.
21.解：（1）解法一：由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
设圆的方程为，
则，
解得，
圆的方程为，即，
建筑物的中心的坐标为.
解法二：由题可知，
由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，
线段中点为，且线段的垂直平分线为，
线段中点为，且，线段的垂直平分线为，
联立，得建筑物的中心的坐标为
（2）因为为建筑物的中心坐标，
设线段的中点为，由垂径定理得的长度为点到的最小距离，
，圆的半径为，
点到的距离为，
开通的这条路的最低造价为（万元）.
22.解：（1）因为，且数列为“数列”，所以
即，所以是以首项为，公差的等差数列，所以.
（2）由数列，是“（2）数列”得，所以，
即，
所以，所以时，，
当时上式也成立，故.
假设存在正整数，使得，则，
由，可知，所以，又因为为正整数，所以
又，所以.
，
.
故存在满足条件的正整数，且.