人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（五） 同步练习
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
2．（2015九上·大石桥期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．已知∠A=100°，∠C=40°，则∠DFE的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
4．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（ ）
A．240° B．360° C．480° D．540°
5．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
7．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙P为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，则OP的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．（2016九上·新泰期中）如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
二、填空题
9．（2017·宁波模拟）直角三角形两直角边为3，4，则其外接圆和内切圆半径之和为 ．
10．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为 cm．
11．（2018·黄石）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为
12．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
13．（2017·广东模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为 ．
14．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC= 度．
三、解答题
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．求△ABC的内切圆半径 ．
16．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．
17．如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
18．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∴外接圆半径==2.5，
∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆半径==1．
故选C．
【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中a b为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r=；外接圆的半径就是斜边的一半．
2．【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠C=40°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=40°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE=180°﹣∠B=140°，
∴∠DFE= ∠DOE=70°．
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠B=40°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理得出∠DOE=140°，再根据圆周角定理即可得出∠DFE=70°．
3．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
4．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，
故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
故答案为：C．
【分析】这道题的重点理解好每次顺时针旋转转动的角度，三次角度相加即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4
，
∵ BC AD=
（AB+BC+AC） r，
×5×4
=
×20×r，
∴r=
，
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，令AB=7，BC=5，AC=8，设内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．由勾股定理有：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2， 可得关于x的方程，解这个方程即可求得x的值，用面积法即可求得r的值。
6．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，
∵点P是内切圆的圆心，
∴PD=PE=PF，CD=CE，BE=BF
∴四边形PDCE是正方形．
∵△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∴PE=PF=PE==2，
∴BE=BF=6﹣2=4．
∵点O为△ABC的外心，
∴OB=AB=5，
∴OF=OB﹣BF=5﹣4=1，
∴OP===．
故选C．
【分析】过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，由点P是内切圆的圆心可知PD=PE=PF，再由切线长定理可知CD=CE，BE=BF，故 可得出四边形PDCE是正方形，再由勾股定理求出AB的长，故可得出PD的长，由BE=BC﹣CE可得出BE的长，根据点O为直角三角形的外心可得出OB 的长，进而得出OF的长，根据勾股定理即可得出结论．
8．【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，
由垂径定理得：DM= DE，KQ= KH，FN= FG，
∵DE=FG=HK，
∴DM=KQ=FN，
∵OD=OK=OF，
∴由勾股定理得：OM=ON=OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
故选A．
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可．
9．【答案】3.5
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵直角三角形两直角边为3，4，
∴斜边长= =5，
∴外接圆半径= =2.5，内切圆半径= =1，
∴外接圆和内切圆半径之和=2.5+1=3.5．
故答案为：3.5．
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是5，再根据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
10．【答案】
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC=13cm，BC=10cm，
∴BD=5cm，
∴AD=12cm，
根据切线长定理，AE=AB﹣BE=AB﹣BD=13﹣5=8，
设△ABC的内切圆半径为r，
∴AO=12﹣r，
∴（12﹣r）2﹣r2=64，
解得r= ，
故答案为： ．
【分析】根据切线长定理，求出AE的长度，再根据△AEO为直角三角形，利用勾股定理求出半径。
11．【答案】4π
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB= =10，
∴△ABC的内切圆的半径= =2，
∴△ABC内切圆的周长=π 22=4π．
故答案为4π．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形内切圆半径公式得出其内切圆的半径，从而得出内切圆的周长。
12．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
13．【答案】122°
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°﹣64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°﹣58°=122°．
故答案为：122°．
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
14．【答案】115
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （50°+80°）=65°，
∴∠BOC=180°﹣65°=115°．
故答案为：115°.
【分析】由三角形的内切圆性质得到 OB、OC是∠ABC、∠ACB角平分线，利用角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和为 180°，即可求出∠BOC。
15．【答案】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC-AB），
即：r= （6+8-10）=2．
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【分析】由勾股定理，可求出AB的长度，再利用邻边相等以及四个角为直角得出四边形OECF为正方形，利用切线长得出 BE=BD，AF=AD，得出BE＋AF=AB，则BC＋AC-AB=2CE=2r，即可求出r的值。
16．【答案】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形.
（2）解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
由切线长定理得，AF=AE，BD=BF，CD=CE，
∴CD+CE=BC+AC﹣BD﹣AE=BC+AC﹣AB=4，
则CE=2，
即⊙O的半径为2．
【知识点】正方形的判定；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【分析】（1）由三角形内切圆的性质加上邻边相等，可得出四边形ODCE是正方形；
（2）根据三角形勾股定理求出AB的长度，利用切线长定理，得AF=AE，BD=BF，再由 CD+CE=BC+AC﹣BD﹣AE=BC+AC﹣AB，即可得出半径。
17．【答案】（1）解：如图1，⊙O即为所求．
（2）解：如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）该题重点考察三角形内切圆的尺规作图，分三步：
①作任意两个角的角平分线，其交点就是圆心；
②做圆心到其中任意一边的垂线，该垂线的长度就是圆的半径；
③以该交点为圆心，以垂距为半径做圆，即为所求的内切圆。
（2）
求出圆心角 ∠DOE ，利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系，即可求出 ∠EFD 的度数。
18．【答案】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）解：如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB= =5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ r 5+ r 8+ r 5= 3 8，解得r= ，
即QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，即可求出CE；
（2）由（1）可知，AB与AE相等，则证AE与AC相等即可，由线段平行可得出同位角以及内错角相等，再进行等量替换，得出 ∠ACE=∠E ，AE=AC，因此AB=AC得证。
（3）先作图，PQ=PD+DQ即为所求。PD由大圆半径PA-AD即可得出，大圆半径利用勾股定理可求出。DQ即小圆半径，利用小三角形面积之和等于大三角形，求出即可。
1 / 1人教版九年级数学上册 24.2.2 直线和圆的位置关系（五） 同步练习
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∴外接圆半径==2.5，
∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，
∴内切圆半径==1．
故选C．
【分析】直角三角形的内切圆半径和其三边有特殊关系：三边中a b为直角边，c为斜边，内切圆半径为r，则r=；外接圆的半径就是斜边的一半．
2．（2015九上·大石桥期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．已知∠A=100°，∠C=40°，则∠DFE的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠C=40°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=40°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，
∴∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE=180°﹣∠B=140°，
∴∠DFE= ∠DOE=70°．
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠B=40°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理得出∠DOE=140°，再根据圆周角定理即可得出∠DFE=70°．
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
【分析】三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。根据定义可得B符合题意。
4．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（ ）
A．240° B．360° C．480° D．540°
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，
故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
故答案为：C．
【分析】这道题的重点理解好每次顺时针旋转转动的角度，三次角度相加即可。
5．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：如图，AB=7，BC=5，AC=8，内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．
由勾股定理可知：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，
即72﹣x2=82﹣（5﹣x）2，解得x=1，
∴AD=4
，
∵ BC AD=
（AB+BC+AC） r，
×5×4
=
×20×r，
∴r=
，
故答案为：C
【分析】根据题意画出图形，令AB=7，BC=5，AC=8，设内切圆的半径为r，切点为D、E、F，作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=5﹣x．由勾股定理有：AD2=AB2﹣BD2=AC2﹣CD2， 可得关于x的方程，解这个方程即可求得x的值，用面积法即可求得r的值。
6．（2018·烟台）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56° B．62° C．68° D．78°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形内心的定义得出∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，根据三角形的内角和得出∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB），根据圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案。
7．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙P为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，则OP的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，
∵点P是内切圆的圆心，
∴PD=PE=PF，CD=CE，BE=BF
∴四边形PDCE是正方形．
∵△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∴PE=PF=PE==2，
∴BE=BF=6﹣2=4．
∵点O为△ABC的外心，
∴OB=AB=5，
∴OF=OB﹣BF=5﹣4=1，
∴OP===．
故选C．
【分析】过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，PF⊥AB，由点P是内切圆的圆心可知PD=PE=PF，再由切线长定理可知CD=CE，BE=BF，故 可得出四边形PDCE是正方形，再由勾股定理求出AB的长，故可得出PD的长，由BE=BC﹣CE可得出BE的长，根据点O为直角三角形的外心可得出OB 的长，进而得出OF的长，根据勾股定理即可得出结论．
8．（2016九上·新泰期中）如图，⊙O△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心
C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解： 过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，
由垂径定理得：DM= DE，KQ= KH，FN= FG，
∵DE=FG=HK，
∴DM=KQ=FN，
∵OD=OK=OF，
∴由勾股定理得：OM=ON=OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
故选A．
【分析】过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF，根据垂径定理和已知求出DM=KQ=FN，根据勾股定理求出OM=ON=OQ，根据三角形内心的定义求出即可．
二、填空题
9．（2017·宁波模拟）直角三角形两直角边为3，4，则其外接圆和内切圆半径之和为 ．
【答案】3.5
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵直角三角形两直角边为3，4，
∴斜边长= =5，
∴外接圆半径= =2.5，内切圆半径= =1，
∴外接圆和内切圆半径之和=2.5+1=3.5．
故答案为：3.5．
【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是5，再根据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半进行计算．
10．已知等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，则△ABC的内切圆半径为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC=13cm，BC=10cm，
∴BD=5cm，
∴AD=12cm，
根据切线长定理，AE=AB﹣BE=AB﹣BD=13﹣5=8，
设△ABC的内切圆半径为r，
∴AO=12﹣r，
∴（12﹣r）2﹣r2=64，
解得r= ，
故答案为： ．
【分析】根据切线长定理，求出AE的长度，再根据△AEO为直角三角形，利用勾股定理求出半径。
11．（2018·黄石）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为
【答案】4π
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB= =10，
∴△ABC的内切圆的半径= =2，
∴△ABC内切圆的周长=π 22=4π．
故答案为4π．
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，根据三角形内切圆半径公式得出其内切圆的半径，从而得出内切圆的周长。
12．（2018·大庆）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC= ，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即 ，
解得 ．
故答案为：2．
【分析】由三角形的内切圆圆心到各边的距离是半径可得 由勾股定理可求得BC，代入相关值计算，即可求出r．
13．（2017·广东模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为 ．
【答案】122°
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：在⊙O中，∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°﹣64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°﹣58°=122°．
故答案为：122°．
【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．
14．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC= 度．
【答案】115
【知识点】角平分线的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= （50°+80°）=65°，
∴∠BOC=180°﹣65°=115°．
故答案为：115°.
【分析】由三角形的内切圆性质得到 OB、OC是∠ABC、∠ACB角平分线，利用角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和为 180°，即可求出∠BOC。
三、解答题
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．求△ABC的内切圆半径 ．
【答案】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC-AB），
即：r= （6+8-10）=2．
【知识点】勾股定理；切线长定理
【解析】【分析】由勾股定理，可求出AB的长度，再利用邻边相等以及四个角为直角得出四边形OECF为正方形，利用切线长得出 BE=BD，AF=AD，得出BE＋AF=AB，则BC＋AC-AB=2CE=2r，即可求出r的值。
16．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点．
（1）求证：四边形ODCE是正方形；
（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．
【答案】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，又∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形.
（2）解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
由切线长定理得，AF=AE，BD=BF，CD=CE，
∴CD+CE=BC+AC﹣BD﹣AE=BC+AC﹣AB=4，
则CE=2，
即⊙O的半径为2．
【知识点】正方形的判定；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【分析】（1）由三角形内切圆的性质加上邻边相等，可得出四边形ODCE是正方形；
（2）根据三角形勾股定理求出AB的长度，利用切线长定理，得AF=AE，BD=BF，再由 CD+CE=BC+AC﹣BD﹣AE=BC+AC﹣AB，即可得出半径。
17．如图，已知△ABC，∠B=40°．
（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．
【答案】（1）解：如图1，⊙O即为所求．
（2）解：如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
【知识点】圆周角定理；三角形的内切圆与内心；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）该题重点考察三角形内切圆的尺规作图，分三步：
①作任意两个角的角平分线，其交点就是圆心；
②做圆心到其中任意一边的垂线，该垂线的长度就是圆的半径；
③以该交点为圆心，以垂距为半径做圆，即为所求的内切圆。
（2）
求出圆心角 ∠DOE ，利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系，即可求出 ∠EFD 的度数。
18．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【答案】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）解：如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB= =5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ r 5+ r 8+ r 5= 3 8，解得r= ，
即QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，即可求出CE；
（2）由（1）可知，AB与AE相等，则证AE与AC相等即可，由线段平行可得出同位角以及内错角相等，再进行等量替换，得出 ∠ACE=∠E ，AE=AC，因此AB=AC得证。
（3）先作图，PQ=PD+DQ即为所求。PD由大圆半径PA-AD即可得出，大圆半径利用勾股定理可求出。DQ即小圆半径，利用小三角形面积之和等于大三角形，求出即可。
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