北师大版九年级数学上册第四章图形的相似第2节平行线分线段成比例
一、选择题
1．如图，直线 ，直线AC分别交 ， ， 于点A，B，C，直线DF分别交 ， ， 于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2016九下·广州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，DE=4，则BC的长是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
5．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO=1：2，那么下列式子正确的是（ ）
A．BO：BC=1：2 B．CD：AB=2：1
C．CO：BC=1：2 D．AD：DO=3：1
6．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E， ，若AE=5，则EC的长度为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，AD∥BE∥CF，直线 、 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
10．如图，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=5，CF=4，AE=BC，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于（ ）
A．7：11 B．4：8 C．4：7 D．3：7
12．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．6
13．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知D为△ABC边AB上一点，AD=2BD，DE∥BC交AC于E，AE=6，则EC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2016九上·北京期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题
16．如图，AD∥BE∥CF，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， ，DE=6，则EF= ．
17．（2015九上·黄冈期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．
18．如图，在△ABC中，若DE∥BC， ，DE=4cm，则BC的长为 cm．
19．如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 ．
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= ．
三、解答题
21．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
22．如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
23．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD=AD：DB．
24．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
25．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵AG=2，GB=1，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
故选：D．
分析：根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算，可求得答案．
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
3．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ．
故选C．
分析：根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
4．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵ ，
∴ ，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选D．
分析：由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得 ，又由 ，DE=4，即可求得BC的长．
5．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴AB：CD=AO：DO=1：2，
∴CD：AB=2：1，
故选B．
【分析】证明△AOB∽△DOC，得到AB：CD=AO：DO=1：2，即可解决问题．
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵DE∥BC交GA于点E，
∴ ， ， ，
A，B，D正确，
故选C．
分析：利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴ ，
故选B．
分析：如图，证明△ADE∽△ABC，得到 ；证明 ，即可解决问题．
8．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴AC=15．
∴ ．
故选A．
分析：根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由DE∥BC得到 ，于是可计算出AC的长，然后利用 进行计算即可．
9．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵AD∥BE∥CF，
∴ ，即 ，
∴DF=4.5．
故选C．
分析：根据平行线分线段成比例，由AD∥BE∥CF得到 ，然后根据比例性质求DF．
10．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：设AE=x，则BC=x，
∵EF∥AB，
∴ ，即 ，解得x=20，
即AE=20，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴ ．
故选D．
分析：设AE=x，则BC=x，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥AB得到 ，解得x=20，再根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，由CD∥AB得到△ECD∽△EAB，所以 ．
11．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵DE∥BC，
且AD：DB=4：7，
∴AE：CE=AD：DB=4：7，
∴CE：AC=7：11；
∵EF∥AB，
∴CF：CB=CE：CA=7：11，
故选A．
【分析】如图，首先运用平行线的性质证明CE：AC=7：11，这是解决问题的关键性结论；再次运用平行线的性质证明CE：AC=CF：CB，即可解决问题．
12．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴，
而AD：DF：FB=3：2：1，
∴，
∴，
∴EC=9．
故选A．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，再利用比例性质由AD：DF：FB=3：2：1得，则，然后把AG=15代入计算即可．
13．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
分析：根据平行线分线段成比例得到 ，然后利用比例性质计算出 ，然后利用计算 即可．
14．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，即=，
∴EC=3．
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例得到=，即=，然后利用比例性质计算EC的长．
15．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD=6，BD=2，
∴AB=AD+BD=8；
又∵DE∥BC，AE=9，
∴ = ，
∴AC=12，
∴EC=AC﹣AE=12﹣9=3；
故选：D．
【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例 = ，据此可以求得AC的长度，所以EC=AC﹣AE．
16．【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，即 ，
∴EF=9．
故答案为9．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，即 ，然后根据比例性质求EF．
17．【答案】12
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
即 ，
∴BC=12cm．
故答案为：12．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
18．【答案】12
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC=12cm．
故答案为：12cm．
【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
19．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥AB，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】直接根据平行线分线段成比例进行计算．
20．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ =，即=，
解得：EC=，
∴AC=AE+EC=2+=，
故答案为：．
【分析】由平行可得到=，代入可求得EC，再利用线段的和可求得AC．
21．【答案】解答：∵PQ∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵AP=AQ， ∴PQ=3．
【知识点】平行线分线段成比例
22．【答案】解答：∵AD=10，AB=15， ∴AD：AB=10：15=2：3， 而AE：AC=2：3， ∴AE：AC=AD：AB， ∴DE∥BC， ∴ ，即 ， ∴BC=12．
【知识点】平行线分线段成比例
23．【答案】证明：∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴，
即AF：FD=AD：DB．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，推出 即可．
24．【答案】解答： 设BE=x，
∵EF=32，GE=8，
∴ FG=32-8=24，
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
则
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴
则 ，
则
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质得出答案．
25．【答案】解答：∵AB∥CD， ∴ ， ∴ ， ∵AB∥EF， ∴ ， 即 ， 解得EF=4cm．
【知识点】平行线分线段成比例
1 / 1北师大版九年级数学上册第四章图形的相似第2节平行线分线段成比例
一、选择题
1．如图，直线 ，直线AC分别交 ， ， 于点A，B，C，直线DF分别交 ， ， 于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵AG=2，GB=1，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
故选：D．
分析：根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算，可求得答案．
2．（2016九下·广州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
即 ，
解得：EC=2，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
3．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ．
故选C．
分析：根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，DE=4，则BC的长是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵ ，
∴ ，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选D．
分析：由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得 ，又由 ，DE=4，即可求得BC的长．
5．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO=1：2，那么下列式子正确的是（ ）
A．BO：BC=1：2 B．CD：AB=2：1
C．CO：BC=1：2 D．AD：DO=3：1
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴AB：CD=AO：DO=1：2，
∴CD：AB=2：1，
故选B．
【分析】证明△AOB∽△DOC，得到AB：CD=AO：DO=1：2，即可解决问题．
6．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵DE∥BC交GA于点E，
∴ ， ， ，
A，B，D正确，
故选C．
分析：利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．
7．如图，△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴C、D正确．
∵DE∥BC，
∴ ，
故选B．
分析：如图，证明△ADE∽△ABC，得到 ；证明 ，即可解决问题．
8．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E， ，若AE=5，则EC的长度为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴AC=15．
∴ ．
故选A．
分析：根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由DE∥BC得到 ，于是可计算出AC的长，然后利用 进行计算即可．
9．如图，AD∥BE∥CF，直线 、 与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，AC=6，DE=1.5，则DF的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵AD∥BE∥CF，
∴ ，即 ，
∴DF=4.5．
故选C．
分析：根据平行线分线段成比例，由AD∥BE∥CF得到 ，然后根据比例性质求DF．
10．如图，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=5，CF=4，AE=BC，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：设AE=x，则BC=x，
∵EF∥AB，
∴ ，即 ，解得x=20，
即AE=20，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴ ．
故选D．
分析：设AE=x，则BC=x，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥AB得到 ，解得x=20，再根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，由CD∥AB得到△ECD∽△EAB，所以 ．
11．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于（ ）
A．7：11 B．4：8 C．4：7 D．3：7
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵DE∥BC，
且AD：DB=4：7，
∴AE：CE=AD：DB=4：7，
∴CE：AC=7：11；
∵EF∥AB，
∴CF：CB=CE：CA=7：11，
故选A．
【分析】如图，首先运用平行线的性质证明CE：AC=7：11，这是解决问题的关键性结论；再次运用平行线的性质证明CE：AC=CF：CB，即可解决问题．
12．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴，
而AD：DF：FB=3：2：1，
∴，
∴，
∴EC=9．
故选A．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，再利用比例性质由AD：DF：FB=3：2：1得，则，然后把AG=15代入计算即可．
13．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】解答：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
分析：根据平行线分线段成比例得到 ，然后利用比例性质计算出 ，然后利用计算 即可．
14．如图，已知D为△ABC边AB上一点，AD=2BD，DE∥BC交AC于E，AE=6，则EC=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，即=，
∴EC=3．
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例得到=，即=，然后利用比例性质计算EC的长．
15．（2016九上·北京期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD=6，BD=2，
∴AB=AD+BD=8；
又∵DE∥BC，AE=9，
∴ = ，
∴AC=12，
∴EC=AC﹣AE=12﹣9=3；
故选：D．
【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例 = ，据此可以求得AC的长度，所以EC=AC﹣AE．
二、填空题
16．如图，AD∥BE∥CF，直线 ， 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F， ，DE=6，则EF= ．
【答案】9
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，即 ，
∴EF=9．
故答案为9．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ，即 ，然后根据比例性质求EF．
17．（2015九上·黄冈期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm．
【答案】12
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴ ，
即 ，
∴BC=12cm．
故答案为：12．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答．
18．如图，在△ABC中，若DE∥BC， ，DE=4cm，则BC的长为 cm．
【答案】12
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC=12cm．
故答案为：12cm．
【分析】因为DE∥BC，可利用平行线分线段成比例定理求出BC的长．
19．如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵DE∥AB，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】直接根据平行线分线段成比例进行计算．
20．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ =，即=，
解得：EC=，
∴AC=AE+EC=2+=，
故答案为：．
【分析】由平行可得到=，代入可求得EC，再利用线段的和可求得AC．
三、解答题
21．如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．
【答案】解答：∵PQ∥BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵AP=AQ， ∴PQ=3．
【知识点】平行线分线段成比例
22．如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
【答案】解答：∵AD=10，AB=15， ∴AD：AB=10：15=2：3， 而AE：AC=2：3， ∴AE：AC=AD：AB， ∴DE∥BC， ∴ ，即 ， ∴BC=12．
【知识点】平行线分线段成比例
23．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求证：AF：FD=AD：DB．
【答案】证明：∵EF∥CD，DE∥BC，
∴，，
∴，
即AF：FD=AD：DB．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，推出 即可．
24．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．
【答案】解答： 设BE=x，
∵EF=32，GE=8，
∴ FG=32-8=24，
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
则
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△CBG，
∴
则 ，
则
解得：x=±16（负数舍去），
故BE=16．
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质得出答案．
25．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．
【答案】解答：∵AB∥CD， ∴ ， ∴ ， ∵AB∥EF， ∴ ， 即 ， 解得EF=4cm．
【知识点】平行线分线段成比例
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