2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》
一、选择题
1．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）
A．12 B．13 C．26 D．30
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；
斜边长为 的有6个，它们组成15对全等三角形；
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；
共计26对．
故选C
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏
2．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD
∵CE＝DF
∴DE＝AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA
∴④S△AOB＝S四边形DEOF
∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°
∴∠AFB＋∠EAF＝90°
∴②AE⊥BF一定成立．
错误的结论是：③AO＝OE．
故选A
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质
3．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】解答：解：①连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH＋∠LAF＝90°，
∴∠LHC＋∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
②∵FH⊥AE，FH＝AF，
∴∠HAE＝45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG．
④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．
∴△CEM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．
分析：①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；
②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等
4．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜ ＜3，
且小方格的对角线长 ＜1.5．
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n＝12．
故选D
【分析】要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键
5．（2016九下·重庆期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC= （180°﹣∠BCE）=15°
∵∠BCM= ∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B．
【分析】连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
6．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）
A．13 B．21 C．17 D．25
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；
在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．
故选D
【分析】根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键
7．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）
A．4条 B．8条 C．12条 D．16条
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；正方形的性质
【解析】【解答】解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
【分析】根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键
8．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接DP，
S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC
＝ － ×1× － ×1×
＝ ，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP＝2S△BDF，
∴S△BDF＝ ，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF＝ ×BD×h＝ ，
计算得：h＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】连接DP，根据三角形BDF的面积可求解。
9．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴ ＝ ＝ ，
同理可证： ＝ ＝ ，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为 ＝48cm2，
故选B
【分析】先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝ BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和
10．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）
A．1 B． C． D．1＋
【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE＝1－ －S△CDE，
∵DE＝BD－BE＝ ，△CDE中CD边上的高为 （ －1），
∵S△CDE＝CD× （ －1）＝ － ；
S△BCE＝1－ －S△CDE＝ ；
又∵S△BCE＝S△BPE＋S△BPC＝ BC （PM＋PN）
∴PM＋PN＝ ＝ ．
故答案为：C．
【分析】连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，根据题意可知：S△BCE＝S△BPE＋S△BPC，PM＋PN的长可求解。
11．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．30
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；正方形的性质
【解析】解答：解：连接OA，
过A．D两点的直线方程是 ，即y＝－ ＋16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x＝7.8，
同理求得过A．B两点的直线方程是y＝－ ＋4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，
∴S△AOE＝ ×7.8×6＝23.4，
S△AFO＝ ×4.2×6＝12.6，
∴S△AOE＋S△AFO＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是36
分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E．F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果
12．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP．△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP＝ ，
S△CDP＝ ，
S△BCD＝ ×1×1＝ ，
∴S△BPD＝ ．
故答案为：B．
【分析】由题意知：△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP的面积-△BCD的面积，根据△BPD的面积的构成求解即可。
13．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
【答案】A
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∴C．A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP＋CP的值最小，
∵C．A关于BD对称，
∴CP＝AP，
∴EP＋CP＝AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP＋CP＝AE＝AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
∴EP＋CP＝4，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质可知：EP＋CP的最小值=AE＝AB，而正方形ABCD的面积为16，则AB＝4。
14．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).
【分析】根据正方形的性质，即可轻松解答
15．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是AC＋CE＋EF＋FA＝4×4＝16.
【分析】根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答
二、填空题
16．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是 cm2．
【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 ，
即 ×1×1＝ ，
当有三个三角形时，其面积为 ＋ ＝
当有四个时，其面积为 ＋ ＋ ＝
所以当n个三角形时，其面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据给出的条件可归纳出当n个三角形时，其面积为 .
17．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．
【答案】（0，4）或（0，0）
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EF，
∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，
∵点E是AB的中点，∴BE＝1，
∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，
∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC＝BF＝2，
∴P点坐标为（0，4）或（0，0），
即图中的点P和点P′．
故答案为：（0，4），（0，0）
【分析】连接EF，证Rt△FCP≌Rt△FBE即可。
18．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（ 1 ）BP＝ ，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴ ，
KP＝ ，
阴影部分的面积＝ ×BK×（ ）＝ ×[ ＋ ]×
＝ ＝ ；
（ 2 ）HO1＝ ，HO2＝ ，
根据勾股定理O1O2＝
＝
＝ ．
故答案为： ； ．
【分析】根据已知条件可得△PKO1∽△HO2O1，得出比例式，阴影部分的面积可求；’根据勾股定理可求O1O2的长。
19．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）
【答案】（1，0）；（1，1）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C（1，0），D（1，1）．
故答案为：（1，0），（1，1）．
【分析】根据A、B两点的坐标可知BD∥x轴，AC∥x轴，四边形ABCD是正方形，可得C与D的坐标。
20．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．
【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：图中标出的5个点均为符合题意的点．
故答案为 5．
【分析】根据△ABC的面积为2可知这样的点C有5个。
三、解答题
21．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证： ；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，求BD的长
【答案】（1）解：过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝ AC＋OF，
∴AB－OF＝ AC
（2）解：过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝ A1C1
（3）解：由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）过F作FG⊥AB于G，根据已知条件可证△AOF≌△AGF，结合直角三角形的性质可求解；（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，根据已知条件可得四边形F1G1BH1是矩形，再证四边形F1G1BH1是正方形，则结论可证；（3）在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理可求解。
22．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．
【答案】证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE＝BF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件可证△AFB≌△ADE，结论可证。
23．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．
【答案】解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝ ∠DAG＋ ∠BAG＝ ∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件可证△ABF≌△AGF和△AGE≌△ADE，可得∠BAF＝∠GAF，∠GAE＝∠DAE，则∠EAF的度数可求。
24．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD中，AB＝ ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．
（1）求证：DF＋BE＝EF；
（2）求∠EFC的度数；
（3）求△AEF的面积．
【答案】（1）证明：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，
∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE
（2）解：∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE＝∠AGE＝75°，
∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，
∴∠EFC＝30°
（3）解：∵AB＝BC＝ ，∠BAE＝30°，
∴BE＝1，CE＝ －1，
∵∠EFC＝30°，
∴CF＝3－ ，
∴S△CEF＝ CE CF＝2 －3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，
S△AEF＝ （S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件可证△ABG≌△ADF，可得AG＝AF，然后可证△FAE≌△GAE，则结论可得；（2）由（1）知，△FAE≌△GAE，结合已知条件可得解；（3）根据AEF的面积=正方形ABCD的面积-ADF的面积-AEB的面积-CEF的面积=正方形ABCD的面积-AEF的面积-CEF的面积即可求解。
25．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．
【答案】解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4），E（4，2），F（1，0）．设BE所在直线的解析式是y＝kx，因为BE所在直线经过E点，因此有4k＝2，k＝ ，因此BE所在直线的解析式是y＝ x（1），同理可得出DF所在直线的解析式是y＝ （x－1）（2），联立（1）（2）可解得点G的坐标为（ ， ）．故可求四边形CEGF的面积S＝S△BCE－S△BFG＝ ×4×2－ ×1× ＝ ．
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】以B点为坐标原点建立坐标系，根据已知条件BF＝1cm，CE＝2cm可的A，B，C，D，E，F六个点的坐标，四边形CEGF的面积=BCE的面积-BFG的面积即可求解。
1 / 12017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》
一、选择题
1．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）
A．12 B．13 C．26 D．30
2．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图所示，E．F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
5．（2016九下·重庆期中）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
6．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）在平面直角坐标系中，称横．纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）
A．13 B．21 C．17 D．25
7．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（ ）
A．4条 B．8条 C．12条 D．16条
8．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（ ）
A． B． C． D．
9．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD．AN．CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（ ）
A．96cm2 B．48cm2 C．24cm2 D．以上都不对
10．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE＝BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM＋PN＝（ ）
A．1 B． C． D．1＋
11．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（ ）
A．25 B．36 C．49 D．30
12．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4 B．2 C．2 D．2
14．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
15．（新人教版数学八年级下册第十八章平行四边形《正方形》同步练习）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题
16．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是 cm2．
17．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE＝FP，则P点坐标为 ．
18．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．
19．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为 和 ．（只写一组）
20．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有 个．
三、解答题
21．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证： ；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与 三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E1＝6，C1E1＝4时，求BD的长
22．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE＝BF．
23．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF为多少度．
24．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）如图，正方形ABCD中，AB＝ ，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15度．
（1）求证：DF＋BE＝EF；
（2）求∠EFC的度数；
（3）求△AEF的面积．
25．（2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 18.2.3《正方形》）已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF＝1cm，CE＝2cm，BE，DF相交于点G，求四边形CEGF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】解答：解：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；
斜边长为 的有6个，它们组成15对全等三角形；
斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；
共计26对．
故选C
分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．本题考查了全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形和正方形的性质，解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏
2．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD
∵CE＝DF
∴DE＝AF
∴△ADE≌△BAF
∴①AE＝BF，S△ADE＝S△BAF，∠DEA＝∠AFB，∠EAD＝∠FBA
∴④S△AOB＝S四边形DEOF
∵∠ABF＋∠AFB＝∠DAE＋∠DEA＝90°
∴∠AFB＋∠EAF＝90°
∴②AE⊥BF一定成立．
错误的结论是：③AO＝OE．
故选A
【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE＝DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE＝BF，以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB＝S四边形DEOF；可以证出∠ABO＋∠BAO＝90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO＝OE．本题考查了全等三角形的判定和正方形的判定和性质
3．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】解答：解：①连接FC，延长HF交AD于点L，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°．
∵AD＝CD，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF．
∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．
∵∠ALH＋∠LAF＝90°，
∴∠LHC＋∠DAF＝90°．
∵∠ECF＝∠DAF，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC．
∴FH＝AF．
②∵FH⊥AE，FH＝AF，
∴∠HAE＝45°．
③连接AC交BD于点O，可知：BD＝2OA，
∵∠AFO＋∠GFH＝∠GHF＋∠GFH，
∴∠AFO＝∠GHF．
∵AF＝HF，∠AOF＝∠FGH＝90°，
∴△AOF≌△FGH．
∴OA＝GF．
∵BD＝2OA，
∴BD＝2FG．
④延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则：LI＝HC，
根据△MEC≌△MIC，可得：CE＝IM，
同理，可得：AL＝HE，
∴HE＋HC＋EC＝AL＋LI＋IM＝AM＝8．
∴△CEM的周长为8，为定值．
故（1）（2）（3）（4）结论都正确．
故选D．
分析：①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；
②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°；
③作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD＝2FG，只需证OA＝GF即可，根据△AOF≌△FGH，可证OA＝GF，故可证BD＝2FG；（4）作辅助线，延长AD至点M，使AD＝DM，过点C作CI∥HL，则IL＝HC，可证AL＝HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CI＝IM，故△CEM的周长为边AM的长，为定值
解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵卡片的边长为1.5，∴卡片的对角线长为2＜ ＜3，
且小方格的对角线长 ＜1.5．
故该卡片可以按照如图所示放置：
图示为n取最大值的时候，n＝12．
故选D
【分析】要n取最大值，就让边长为1.5的正方形卡片边与小方格的边成一定角度．本题考查的是已知正方形边长正方形对角线长的计算，旋转正方形卡片并且找到合适的位置使得n为最大值，是解题的关键
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC= （180°﹣∠BCE）=15°
∵∠BCM= ∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°﹣（∠BCM+∠EBC）=120°，
∴∠AMB=180°﹣∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°
故选B．
【分析】连接BD，根据BD，AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线，所以∠AMD=AMB，要求∠AMD，求∠AMB即可．
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】正方形边上的整点为（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（4，1）、（5，2）、（1，4）、（2，5）、（3，6）；
在其内的整点有（1，3）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（5，3）．
故选D
【分析】根据正方形边长的计算，计算出边长上的整点，并且根据边长的坐标找出在正方形范围内的整点．本题考查的是正方形四条边上整点的计算，找到每条边上整点变化的规律是解本题的关键
7．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；正方形的性质
【解析】【解答】解：符合题目要求的一共16条直线，
下图虚线所示直线均符合题目要求．
【分析】根据正方形的性质，一个值为另一个值的3倍，所以本题需要分类讨论，①该直线切割正方形，确定直线的位置；②该直线在正方形外，确定直线的位置．本题考查了分类讨论计算点到直线的距离，找到直线的位置是解题的关键
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接DP，
S△BDP＝S△BDC－S△DPC－S△BPC
＝ － ×1× － ×1×
＝ ，
∵F为BP的中点，∴P到BD的距离为F到BD的距离的2倍．
∴S△BDP＝2S△BDF，
∴S△BDF＝ ，
设F到BD的距离为h，
根据三角形面积计算公式，S△BDF＝ ×BD×h＝ ，
计算得：h＝ ＝ ．
故答案为：D．
【分析】连接DP，根据三角形BDF的面积可求解。
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：找到CD的中点E，找到AD的中点F，连接CF，AE，
则CM∥EA，AN∥FC，△BOM∽△BKA，
∴ ＝ ＝ ，
同理可证： ＝ ＝ ，
故DK＝KO＝OB，
∴△BOC和△BOA的面积和为 正方形ABCD的面积，
∵CN＝NB＝AM＝BM，
∴△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和，
∴△OCN的面积为 ＝48cm2，
故选B
【分析】先证明BO为正方形ABCD的对角线BD的 ，再求证△CNO，△NBO，△AMO，△BMO的面积相等，即△CON的面积为正方形面积的 ．本题考查了正方形内中位线的应用，考查了正方形四边均相等的性质，解本题的关键是求证BO＝ BD，△OCN的面积为 △BOC和△BOA的面积和
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，
S△BCE＝1－ －S△CDE，
∵DE＝BD－BE＝ ，△CDE中CD边上的高为 （ －1），
∵S△CDE＝CD× （ －1）＝ － ；
S△BCE＝1－ －S△CDE＝ ；
又∵S△BCE＝S△BPE＋S△BPC＝ BC （PM＋PN）
∴PM＋PN＝ ＝ ．
故答案为：C．
【分析】连接BP，作EH⊥BC，则PM．PN分别为△BPE和△BCP的高，且底边长均为1，根据题意可知：S△BCE＝S△BPE＋S△BPC，PM＋PN的长可求解。
11．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；正方形的性质
【解析】解答：解：连接OA，
过A．D两点的直线方程是 ，即y＝－ ＋16，解得它与x轴的交点E的横坐标是x＝7.8，
同理求得过A．B两点的直线方程是y＝－ ＋4.2，解得它与y轴的交点E的纵坐标是y＝4.2，
∴S△AOE＝ ×7.8×6＝23.4，
S△AFO＝ ×4.2×6＝12.6，
∴S△AOE＋S△AFO＝23.4＋12.6＝36，即顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是36
分析：根据正方形的顶点坐标，求出直线AD的方程，由方程式知AD与x轴的交点E的坐标，同理求得AB与y轴的交点F的坐标，连接OA，再去求两个三角形的面积，从而求得正方形在第一象限的面积．解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用直角三角形求面积，在本题中，借助直线方程求的点E．F在坐标轴上的坐标，据此解得所求三角形的边长，代入面积公式求得结果
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积
因此本题求解△BCP．△CDP面积和△BCD的面积即可，
S△BCP＝ ，
S△CDP＝ ，
S△BCD＝ ×1×1＝ ，
∴S△BPD＝ ．
故答案为：B．
【分析】由题意知：△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP的面积-△BCD的面积，根据△BPD的面积的构成求解即可。
13．【答案】A
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝OC，
∴C．A关于BD对称，
即C关于BD的对称点是A，
连接AE交BD于P，
则此时EP＋CP的值最小，
∵C．A关于BD对称，
∴CP＝AP，
∴EP＋CP＝AE，
∵等边三角形ABE，
∴EP＋CP＝AE＝AB，
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
∴EP＋CP＝4，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质可知：EP＋CP的最小值=AE＝AB，而正方形ABCD的面积为16，则AB＝4。
14．【答案】A
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵四边形CEFD是正方形，AD＝BC＝10cm，BE＝6cm，∴CE＝EF＝CD＝10－6＝4(cm).
【分析】根据正方形的性质，即可轻松解答
15．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的周长是AC＋CE＋EF＋FA＝4×4＝16.
【分析】根据正方形和菱形的性质，即可轻松解答
16．【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点
∴两个三角形之间的阴影面积为正方形总面积的 ，
即 ×1×1＝ ，
当有三个三角形时，其面积为 ＋ ＝
当有四个时，其面积为 ＋ ＋ ＝
所以当n个三角形时，其面积为 ．
故答案为 ．
【分析】根据给出的条件可归纳出当n个三角形时，其面积为 .
17．【答案】（0，4）或（0，0）
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EF，
∵OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，
∵点E是AB的中点，∴BE＝1，
∵BF＝AB，∴CF＝BE＝1，
∵FE＝FP，∴Rt△FCP≌Rt△FBE，
∴PC＝BF＝2，
∴P点坐标为（0，4）或（0，0），
即图中的点P和点P′．
故答案为：（0，4），（0，0）
【分析】连接EF，证Rt△FCP≌Rt△FBE即可。
18．【答案】；
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（ 1 ）BP＝ ，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴ ，
KP＝ ，
阴影部分的面积＝ ×BK×（ ）＝ ×[ ＋ ]×
＝ ＝ ；
（ 2 ）HO1＝ ，HO2＝ ，
根据勾股定理O1O2＝
＝
＝ ．
故答案为： ； ．
【分析】根据已知条件可得△PKO1∽△HO2O1，得出比例式，阴影部分的面积可求；’根据勾股定理可求O1O2的长。
19．【答案】（1，0）；（1，1）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），
∴BD∥x轴，AC∥x轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，
分别为：C（1，0），D（1，1）．
故答案为：（1，0），（1，1）．
【分析】根据A、B两点的坐标可知BD∥x轴，AC∥x轴，四边形ABCD是正方形，可得C与D的坐标。
20．【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：图中标出的5个点均为符合题意的点．
故答案为 5．
【分析】根据△ABC的面积为2可知这样的点C有5个。
21．【答案】（1）解：过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝ AC＋OF，
∴AB－OF＝ AC
（2）解：过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
同（1）可得EF1＝F1G，因此四边形F1G1BH1是正方形．
∴EF1＝G1F1＝F1H1，即：F1是三角形A1BC1的内心，∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，∴A1B＋BC1＝2AB，因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，即AB－EF1＝ A1C1
（3）解：由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【分析】（1）过F作FG⊥AB于G，根据已知条件可证△AOF≌△AGF，结合直角三角形的性质可求解；（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，根据已知条件可得四边形F1G1BH1是矩形，再证四边形F1G1BH1是正方形，则结论可证；（3）在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理可求解。
22．【答案】证明：∵∠FAB＋∠BAE＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
∵∠AB＝AD，∠ABF＝∠ADE，
∴△AFB≌△ADE，
∴DE＝BF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件可证△AFB≌△ADE，结论可证。
23．【答案】解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠G＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝ ∠DAG＋ ∠BAG＝ ∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件可证△ABF≌△AGF和△AGE≌△ADE，可得∠BAF＝∠GAF，∠GAE＝∠DAE，则∠EAF的度数可求。
24．【答案】（1）证明：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，
∴AG＝AF，
∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，∴∠FAE＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，
∴△FAE≌△GAE，
∴EF＝EG＝GB＋BE＝DF＋BE
（2）解：∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE＝∠AGE＝75°，
∵∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝180°－75°－75°＝30°，
∴∠EFC＝30°
（3）解：∵AB＝BC＝ ，∠BAE＝30°，
∴BE＝1，CE＝ －1，
∵∠EFC＝30°，
∴CF＝3－ ，
∴S△CEF＝ CE CF＝2 －3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADF－S△AEB－S△CEF＝S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF，
S△AEF＝ （S正方形ABCD－S△AEF－S△CEF）＝3－
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件可证△ABG≌△ADF，可得AG＝AF，然后可证△FAE≌△GAE，则结论可得；（2）由（1）知，△FAE≌△GAE，结合已知条件可得解；（3）根据AEF的面积=正方形ABCD的面积-ADF的面积-AEB的面积-CEF的面积=正方形ABCD的面积-AEF的面积-CEF的面积即可求解。
25．【答案】解：以B点为坐标原点建立坐标系，如下图：由题意可得几个点的坐标A（0，4），B（0，0），C（4，0），D（4，4），E（4，2），F（1，0）．设BE所在直线的解析式是y＝kx，因为BE所在直线经过E点，因此有4k＝2，k＝ ，因此BE所在直线的解析式是y＝ x（1），同理可得出DF所在直线的解析式是y＝ （x－1）（2），联立（1）（2）可解得点G的坐标为（ ， ）．故可求四边形CEGF的面积S＝S△BCE－S△BFG＝ ×4×2－ ×1× ＝ ．
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】以B点为坐标原点建立坐标系，根据已知条件BF＝1cm，CE＝2cm可的A，B，C，D，E，F六个点的坐标，四边形CEGF的面积=BCE的面积-BFG的面积即可求解。
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