北京市通州区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

通州区2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测
数学试卷
2024年1月
本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知等差数列,则等于（ ）
A． B．0 C．2 D．5
2．已知P为双曲线右支上一点，为双曲线的左右焦点，等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
3．已知椭圆的左右焦点为,上下顶点为,若四边形为正方形，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在抛物线上，且点A到抛物线准线的距离为3，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已如双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列,则等于（ ）
A．511 B．1022 C．1023 D．2047
7．已知等差数列的前n项和为，若,公差，则（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最大值为30 D．有最小值为30
8．已知首项为,公比为q的等比数列,其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于A,B两点，若面积是面积的2倍，则m等于（ ）
A．6 B． C． D．
10．已知数列的通项公式为，给出下列四个结论：
①数列为单调递增数列，且存在常数，使得恒成立；
②数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立；
③数列为单调递增数列，且存在常数,使得恒成立；
④数列为单调递减数列，且存在常数，使得恒成立．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知等比数列,则__________．
12．若抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则__________．
13．已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为__________．
14．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行使车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于,已行车道AB总宽度,则车辆通过隧道的限制高度为__________m．
15．已知曲线．关于曲线W有四个结论：
①曲线W既是轴对称图形又是中心对称图形；
②曲线W的渐近线方程为；
③当时曲线W为双曲线，此时实轴长为2；
①当时曲线W为双曲线，此时离心率为．
则所有正确结论的序号为__________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本小题12分）
已知圆,点．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）求过P点的圆C的切线方程．
17．（本小题14分）
已知直线与抛物线相交于A,B两点．
（Ⅰ）求弦长及线段的中点坐标；
（Ⅱ）试判断以为直径的圆是否经过坐标原点O 并说明理由．
18．（本小题14分）
设数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
条件①：且;
条件②：且；
条件③：且．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题15分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点B到平面的距离．
20．（本小题15分）
已知椭圆，点A,B为椭圆C的左右顶点（A点在左，,离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆C交于（与A,B不重合）两点，直线与交于点P,证明：点P在定直线上．
21．（本小题15分）
已知数列满足：．
（注：）
（Ⅰ）若,求及数列的通项公式；
（Ⅱ）若,求的值．
通州区2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分标准
2024年1月
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C D A C C A D B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．27 12．4 13．5（答案不唯一，中的一个值） 14．3.25
15．①②④
说明：15题全选对5分，漏选3分，其他情况0分．
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本小题12分）
解：（Ⅰ）圆C的圆心坐标为，半径为1． 4分
（Ⅱ）设过P点的圆C的切线的斜率为k,
则切线方程为． 6分
圆心到直线的距离为． 8分
因为直线与圆C相切，
所以．
解得． 10分
所以过P点的圆C的切线方程为． 12分
17．（本小题14分）
解：（Ⅰ）设, 1分
联立直线与抛物线方程，可得方程组 3分
消去y整理得，而且是该方程的两个根， 4分
由韦达定理可知 6分
所以, 8分
线段的中点坐标为． 10分
（Ⅱ）以为直径的圆不经过坐标原点O． 11分
因为， 13分
所以与不垂直，所以以为直径的圆不经过坐标原点O． 14分
18．（本小题14分）
解：设等差数列的首项为,公差为d．
选择条件①：且,
解得,不合题意．
选择条件②：且,
（Ⅰ）因为,
由等差数列的通项公式及前n项和公式得 4分
解得． 6分
所以等差数列的通项公式为． 7分
（Ⅱ）因为,
所以 10分
所以
． 14分
选择条件③：且．
（Ⅰ）因为,
由等差数列前n项和公式得 4分
解得． 6分
所以等差数列的通项公式为． 7分
（Ⅱ）因为,
所以． 10分
所以
． 14分
19-21．略