武昌区2024届高三年级上学期期末质量检测
数学
本试题卷共4页，共22题.满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（ ）
A.所有三角形都是直角三角形 B.所有三角形都不是直角三角形
C.有些三角形不是直角三角形 D.有些三角形不是锐角三角形
2.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，则（ ）
A.2 B. C. D.1
5.已知集合，若，则集合可以为（ ）
A. B. C. D.
6.为了解决化圆为方问题，古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”，若割圆曲线的方程为，，则（ ）
A.有最大值 B.有最小值
C.随的增大而增大 D.随的增大而减小
7.已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8..已知是坐标原点，过抛物线上异于的点作抛物线的切线交轴于点，则的外接圆方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于随机变量，下列说法正确的有（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知不重合的直线，，和平面，，则（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，，则
D.若，，则
11.已知数列满足，，数列满足，则（ ）
A.
B.
C.存在，使得
D.数列单调递增，且对任意，都有
12.已知，是曲线上不同的两点，为坐标原点，则（ ）
A.的最小值为1
B.
C.若直线与曲线有公共点，则
D.对任意位于轴左侧且不在轴上的点，都存在唯一点，使得曲线在，两点处的切线垂直
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设为所在平面内一点，满足，则__________.
14.若点在圆上，则过的圆的切线方程为__________.
15.楷书也叫正楷、真书、正书，是从隶书逐渐演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范、线条平直自然、结构匀称方正、运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中竖的写法有垂露竖、悬针竖和短竖三种，小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君一行写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则不同的写法共有__________种.（用数字作答）
16.棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为__________.
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知，，分别为的内角，，的对边，且.
（1）求；
（2）若，的面积为2，求.
18.（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.
（1）求证；；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.
19.（12分）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：
项目 速度快 速度慢 合计
准确率高 10 22 32
准确率低 11 17 28
合计 21 39 60
（1）依据的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？
（2）为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.
附：
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中.
20.（12分）已知数列的前项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若表示不超过的最大整数，，求实数的取值范围.
21.（12分）已知双曲线（，），点是的右焦点，的一条渐近线方程为.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与的右支交于，两点，以为直径的圆记为，是否存在定圆与圆内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由.
22.（12分）已知函数，.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若有且仅有1个零点，求的取值范围.武昌区2024届高三年级上学期期末质量检测
数学试题参考答案及评分细则
选择题：
题号
1
23
4567
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
ABD
AD
ABD
AD
填空题：
13.0
14.x-y+1=0
15.232
16.9√5
解答题：
17.(10分)
解：（1D由余弦定理，得ac口+C-B-besin=d-,
(1分)
2ac
化简，得sinA=
b2+c2-a2
,所以sinA=cosA,即anA=l.
2bc
…(3分)
因为A∈(0，π)，所以A=T
(4分)
4
(2)因为△ABC的面积为2，所以-bcsin A=2,即bc=4V5
(6分)
又因为a2=b2+c2-2 bccos A,所以b2+c2=12,
(8分)
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=12+8V2=(2+2V2)2,
所以b+c=2+2√2
(10分)
18.(12分)
解：(1)证明：
因为CC⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以AC⊥CC
………(1分)
又∠ACB=90°，即AC⊥BC,
……（2分)
且BC∩CC,=C,BCC平面BCCB,CC,C平面BCC,B,
所以AC⊥平面BCCB,
(3分)
因为PRC平面BCCB,所以AC⊥PR
…………………
(4分)
(2)以C为原点，分别以CA,CB,CC为x轴、y轴、：轴正方向建立空间直角坐
标系，如图，则R(0,2,1),P(0,1,3),Q(2,0,2),
于是PR=(0,1,-2),QR=(-2,2,-1)
(6分)
高三数学试题参考答案及评分细则第1页（共8页）
设a=(x,y,)是平面PQR的一个法向量，
a1PRm区PR-0,所以
-2z=0,
则
a⊥QR,a·QR-0,
-2x+2y-2=0.
x=3,
取z=2,则{y=4,所以a=(3,4,2)
.…(8分)
z=2
又阝=(0,0,1)是平面AB,C的一个法向量，
…
(9分)
所以，所求二面角的余弦值为
a·B
-2-229
a|lB1√2929
……(12分)
19.(12分)
解：(1)零假设H。：数学考试中准确率与运算速度无关，
x2-6010x17-11×2y_311040
0.424<6.635=0010…
(2分)
21×39×32×28733824
根据小概率值=0.010的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为
H。成立，即数学考试中准确率与运算速度无关
(4分)
(2)记事件A为“甲在3人一组”，则需从除甲以外的9人任选2人与甲形成一组，
再从剩下7人中任选3人形成一组，最后4人形成一组，
所以，P(A)=
C.C.C3
ChC.c-5
….(7分)
A45
记事件AB为“甲在3人一组，乙在4人一组”，则需从除甲、乙以外的8人任选2人
与甲形成一组，再从剩下6人中任选3人与乙形成一组，最后3人形成一组，
所以，P(AB)=
CCC3 4
C。CC15
…(10分)
及
由条件概率公式，得P(B1)=P4B)_4
P(A)9
所以，甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为
9
……
(12分)
20.(12分)
高三数学试题参考答案及评分细则第2页（共8页）
