湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题（含答案）

华容县2023－2024学年度第一学期期末监测试卷
高二数学
注意事项：
1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，满分150分。答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷和草稿纸上无效。
3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。
4、考试结束时，将答题卡交回。
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
数列是等比数列，，公比q=3，则(　　)
A. B. C. D.
抛物线的焦点坐标是(　　)
A. B. C. D.
《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗，问：五人各得几何 ”其大意为：有个人分个橘子，他们分得的橘子数成公差为的等差数列，问人各得多少个橘子 这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是(　　)
A. B. C. D.
双曲线的渐近线方程是，则其离心率为(　　)
A. B. C. D.
已知函数的导函数是f'(x)，f'(x)的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.函数在(2, 1)上单调递减 B.函数在x＝3处取得极大值
C.函数在(1, 1)上单调递减 D.函数共有4个极值点
“”是“直线与直线垂直”的(　　)
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
已知圆关于直线对称，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．0
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)
下列四个命题中错误的有(　　)
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.直线倾斜角的取值范围是
C.两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等
D.过点的直线平行于直线
等差数列的前项和记为，若，则下列结论正确的是(　　)
A. B.
C.前项和最大 D.从第项开始，0
已知，则下列结论正确的是(　　)
A. B. //
C.＜＞为钝角 D. 在方向上的投影向量为
已知椭圆的左，右焦点分别为，过点的直线交椭圆于和两点，若的最大值为，则下列说法中正确的是(　　)
A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时，
C. 椭圆的离心率为 D. 的最小值为
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
如果双曲线上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为__________.
在正方体中，点是的中点，且 ，则实数的值为__________
已知数列、为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，且＝，
则＝__________.
已知抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于两点，且，则__________.
四、解答题(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
(10分)已知点P和点Q是曲线y＝x22x3上的两点，且点P的横坐标是2，点Q的纵坐标是4，求：
(1)割线PQ的斜率；
(2)在点P处的切线方程.
(12分)已知数列为公差不为零的等差数列，，记为其前项和，_______.
给出下列三个条件：条件①；条件②成等比数列；条件③。试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
(12分)已知圆C：，直线：.
(1)求证：直线恒过定点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
(12分)如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.
(1)求证：；
(2)试求二面角的余弦值.
(12分)已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为Pn，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
(12分)椭圆的一个顶点为，离心率.
(1)求椭圆方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点.若满足，求直线的方程。
华容县2023－2024学年度第一学期期末考试
高二数学参考答案及评分标准
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
1-4．CCBD 5-8．CBBA
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。)
9．AC 10．ABC 11．BD 12．BCD
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．2 14． 15．2 16．9
四、解答题(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.（1）当x=2时，y=-3，所以点P的坐标为(2，-3）；
当y=-4时，x=1,所以点Q的坐标为（1，-4），
故割线PQ的斜率为1.
（2） 由（1）知点P的的坐标为（2，-3），又因为=2x-2,
当x=2时，=2,所以在点P处的切线的斜率为2，
所以切线方程为2x-y-7=0
18.(1)设等差数列得公差为,
选择①:因为,
所以,.
选择②:因为,,成等比数列,所以,即,化简得,因为,所以,.
选择③:因为,所以,所以,.
(2)因为,
所以.
19.（1）证明：直线l的方程可化为，
令解得，所以直线l恒过定点A（3，1）；
（2）因为圆(x-1)2+(y-2)2=25的圆心C（1，2），半径r=5，点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离，所以点A（3，1）在圆C内，即直线l与圆C相交；当直线l与AC垂直时直线l被圆C截得的弦长最短，直线AC的斜率为-，所以直线l的斜率为2，可解得m=-,又|AC|=．所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为4．
20.（1）该三棱柱是直三棱柱，且，
两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
（2），
，
易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，取，则，
故，，
二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
21.（1）解：设等差数列的公差为.
由已知可得，解得，
所以.由，令得，
当时，，两式相减得，显然也符合上式，
所以.
（2）解：由（1）知.
，
，
两式作差得：，所以Tn=(3n-4) 2n+1+8.
22.(1)由一个顶点为,离心率,可得,,,解得,, 即有椭圆方程为.
(2)由知点在线段的垂直平分线上,
由,消去得,
由,得方程的,即方程有两个不相等的实数根.
设、,线段的中点,
则,所以,
所以,即,
因为,所以直线的斜率为,
由,得,所以,解得:,
即有直线的方程为.