2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高一（上）期末数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年内蒙古赤峰市红山区高一（上）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.在下列区间中，方程的解所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，且，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是( )
A. B. C. D.
6.已知在上是减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，最小正周期为的有( )
A. B. C. D.
10.若，则下列关系式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则( )
A. B. C. 的值可能是 D. 的值可能是
12.已知函数，，下列说法正确的是( )
A. 若有两个零点，则
B. 只有一个零点
C. 若有两个零点．，，则
D. 若有四个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.求值： ______ ．
14.已知函数，则函数的单调递减区间是 ______ ．
15.不等式的解集是 ______ ．
16.已知实数，且，则的最小值是 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求值：；
求函数的定义域．
18.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
19.本小题分
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
为了研究其种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为，，根据实验数据，用表示第“天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：；，其中且．
根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
若第天和第天观测的群落单位数量分别为和，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过．
21.本小题分
已知，不等式的解集是．
求的解析式；
不等式组的正整数解仅有个，求实数取值范围；
若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数与．
判断的奇偶性；
若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
则集合．
故选：．
由已知结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，且，，且为增函数，
根据函数零点存在定理知，方程在区间内有唯一的解．
故选：．
根据函数零点存在定理求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以．
故选：．
由可得，再根据余弦函数的定义求解即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
故．
故选：．
根据已知条件，结合指数函数、对数函数、正切函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据表格中的数据，作出散点图，如图所示，
根据散点图可知，随着的增大，的值增大，并且增长速度越来越快，
结合选项：函数增长速度越来越缓慢，不符合题意；
函数增长速度越来越快，符合题意；
函数，增长速度不变，不符合题意；
而函数，当时，可得；当时，可得，
此时与真实数据误差较大，
所以最接近的一个函数是．
故选：．
根据表格中的数据，作出散点图，结合选项和函数的单调性，逐项判定，即可求解．
本题主要考查函数模型及其应用，函数模型的选择等知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，在上是减函数，
则有，解可得．
故选：．
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得答案．
本题考查函数的单调性，涉及分段函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，由，即且且，
故函数的定义域为，
由，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除；
当时，，，所以，可排除；
由，，，即，可排除．
故选：．
先判断函数的奇偶性，可排除；当时，，可排除；由，可排除．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
由，则在上恒成立，
的定义域为，
又，
则，
是定义在上的奇函数，
令，则为奇函数，
当时，，均为增函数，
在上单调递增，
为奇函数，
在上单调递增，且，
在上单调递增，
在上单调递增，
对任意实数恒成立，即，
对任意实数恒成立，即，
又，当且仅当，即时等号成立，
，即的取值范围为．
故选：．
由题意可得的定义域为，利用奇函数的定义可得是定义在上的奇函数，构造函数，则为奇函数，结合当时，，均为增函数，可得在上单调递增，即在上单调递增，即在上单调递增，题意转化为对任意实数恒成立，即，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查函数的恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由于函数的最小正周期为，故A正确；
由于函数的最小正周期为，故B正确；
由于函数的最小正周期为，故C错误；
由于函数的最小正周期为，故D错误，
故选：．
由题意，利用三角函数的周期性，得出结论．
本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：为上的减函数，
由，得，
对于，为增函数，故，A正确；
对于，为增函数，故，B错误；
对于，为增函数，故，C正确；
对于，令，，则，，D错误．
故选：．
依题意，可得，再利用基本初等函数的性质逐项判断可得答案．
本题考查不等关系与不等式的应用，考查构造法与特值的运用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，属于中档题．
由偶函数的定义域关于原点对称，可求得值，根据函数解析式可求得函数单调性，由函数的单调性和奇偶性将不等式转化为，再求出的取值范围，即可得解．
【解答】
解：由题意可得，则，故A正确，B错误；
因为是偶函数，所以，
当时，单调递增，
因为是偶函数，
所以当时，单调递减，
因为，所以，
所以
解得或，
故C错误，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由题设，时，且递增，
时，在上递减，上递增且值域均为，又，
所以只有一个零点，其函数图象如下：
故B正确；
由图，若有两个零点，则或，故A错误；
两个零点，均在上，则，即，C正确；
要使有个零点，即对应两个不同的值，
若零点分别为，且，
所以当，即时，由，故排除；
若，，有四个零点，此时，无解；
若，，有四个零点，此时，无解；
若，，有四个零点，，可得．
综上，有四个零点时，，D正确．
故选：．
由函数解析式分析的性质并画出函数图象判断；
数形结合法判断、，；
合二次函数性质，讨论零点，且的位置情况，求 的范围判断．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，属于中档题，数形结合是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：
故答案为：．
利用诱导公式进行化简求值即可．
本题考查运用三角函数间的诱导公式进行化简求值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数，令，求得，或，
可得函数的定义域为，且．
函数的单调递减区间，即函数在上的增区间．
再利用二次函数的性质可得，函数在上的增区间为．
故答案为：．
由题意，令，则，本题即求函数的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：令，，
则原不等式可化为，
解得或，
即或，
所以或．
故答案为：或．
由已知结合指数函数及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了指数函数及二次函数的性质在不等式求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
因此，当且时，的最小值是．
故答案为：．
根据题意，利用“”的代换及基本不等式求目标式的最小值，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、利用基本不等式求最值及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：
；
由题意得，
解得，
可得，
所以原函数的定义域是．
【解析】利用指数函数和对数函数的运算性质即可求解；
利用三角函数的性质即可求解．
本题考查了指数函数和对数函数的运算性质，考查了三角函数的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：，
为第三象限角，
，
；
原式
．
【解析】由同角三角函数的基本关系求解；
根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值．
本题主要考查运用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题．
19.【答案】解：由；
得 ；
所以函数的单调递增区间为．
令 ，
得 ．
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
又 ．
所以 在区间上的最大值为，最小值为．
【解析】利用整体思想求出函数的单调递增区间；
利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：对于函数模型：把，，及相应值代入，
得，
解得，，，所以；
对于函数模型：把，，及相应值代入得：，
解得，，，所以．
对于模型，当时，；当时，，故模型不符合观测数据；
对于模型，当时，；当时，，符合观测数据，
所以函数模型更合适．
要使，则，
即从第天开始该微生物的群落单位数量超过．
【解析】对于函数模型：把，，及相应值代入，能求出函数模型的解析式．
对于函数模型：把，，及相应值代入，能求出函数模型的解析式．
对于模型，当和代入，得到模型不符合观测数据；对于模型，当和代入，得到函数模型更合适．要使，则，由此能求出从第天开始该微生物的群落单位数量超过．
本题考查函数模型的应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力，是中档题．
21.【答案】解：，不等式的解集是，
，是一元二次方程的两个实数根，
，解得，
；
不等式组，即，
解得，
原不等式组的正整数解仅有个，
该正整数解为、，
，解得，则实数取值范围是；
对于任意，不等式 恒成立，
，
当时，恒成立；
当时，函数 在上单调递减，
只需满足，解得；
当时，函数 在上单调递增，
只需满足 ，解得 ，
综上所述，的取值范围是．
【解析】由题意得，是一元二次方程的两个实数根，即，求解即可得出答案；
由题意得，解得，结合题意可得该正整数解为、，，求解即可得出答案；
由题意得，分类讨论，，，求解即可得出答案．
本题考查函数的恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为，
，
，
为偶函数；
函数只有一个零点，
即只有一个零点，
即方程 有且只有一个实根，
令，则方程有且只有一个正根，
当时，，不合题意；
当时，若方程有两相等正根，则 ，
且 ，解得，满足题意 ，
若方程有一个正根和一个负根，则 ，
即时，满足题意．
或．
【解析】求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义验证可得出结论；
令，分析可知，方程有且只有一个正根，然后对实数的取值进行分类讨论，利用二次方程根的分布可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围．
本题考查了函数的奇偶性、函数的零点、转化思想，考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题．
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